基于满意度水平的多目标群决策问题的迭代算法

1、基于满意度水平的多目标群决策问题的迭代算法摘要 基于满意度水平的概念，本文提出了在实现决策个体各自的满意度水平的基础 上,使群体的联合满意度极人化的祥决策规则。根据这一规则去求多目标群决策问题的最佳 调和解。由于h标间的冲突性，当各决策个体的满意度水平过高时,会导致群决策的最佳调和 解集为空集。本文讨论并给iii 了降低和修正各决策个体满意度水平的迭代方法，并将整个求 解过程总结为一种算法，使z易于在计算机上实现;文中故后述给出了数值算例。关键词：满意度，权，最佳调和解1引言现已右为数不少的解决多目标群决策问题的方法。集结个人的效川成为群效川，然后对 群效川极人化求解1,2就是其中一种常用的方

2、法。这种方法在概念上非常清楚，其理论价值 也较高，但是由于个人效用函数常不易确定,即使确定出来也不是唯一的在基数效用函数 的基础上经过正线性变换,仍然能作为效用函数而同样正确地反映一个人的偏好。丁是效用 函数的基点和单位不尽相同，难于进行人与人之间的效用比较，从而就难于正确地构造群效用 函数，这就使该方法在实际应用上存在相当的困难。另一种常用的方法是用对策论方法。诚 然，对策论方法可以比较有效地用于解决某些具有冲突忖标的实际问题，但对策论中的方 法几乎都基于类似nash平衡点这样的解概念，而许多实际廿标群决策问题并不存在这样的 解。鉴于群效用函数难以建立及nash解存在性的难以保证，我们试图绕

3、过上述困难，另辟蹊 径。基于满意度水平的概念,本文设计了一种算法，用这种算法可以求得一种方案，该方案就群 体的联合满意度来说是最优的，同吋对各决策个体来说乂是较为满意和较为公平合理的。2 满意度概念设决策群体g由n个有效决策个体dmi(i=l,2,n)组成。其中每个dmi的 决策问题经过规范化处理后可表达为maxf心)=(屛(工)，咒(工)，几心)(1)x 此处1,2,，m)为第个决策个体dmi的第j个目标函数,x为决策方案集。从而 多目标群决策问题的数学模型为叫匚(对=(fi(x),f2(x),-*.,fn(x)r(2)rc x定义1 称函数p(x)为决策个体dmf对目标j的满意度函数，如果

4、1(,(,当 f；(g > 也；pg =£厂亍当就'/；(x) < m(3)j ttl ；0当 f(x) < 其中曲和m；分别为/；( x)在x上的最小值和最大值。即m 'r =m 'r = ni ax f',( x)( 4)显然有：(1)0 < p(x) < i; (2)当目标值/；(x)接近决策人的理想值时，p；(h)接近 或等于1;反之，p；(h)接近或等于0; (3)若有f；(q)> £g),则p；(")p；(工2),即p；(工) 对每个目标都是递增的.由p(x)可以导出决策个体dm,-的

5、总体满意度函数p.(r):中入;满足:入；0,尸1,2,，心£入；=1从而求解多目标群决策间题(2)可转化为求解 r i题(6):ni axp(x) = (pi( x), p2(x), pn(x) )r(6)rc x八定义2 设心 0,1 ,若存在工 x,使得p.( x) >心，则称心为决策个体dmi在x上 一个满意度水平.易知，下列间题叫.(刀卩心；),(8)的确定(9)m axp,( x) = f ajp；( x)r x. |最优解集(记为x；)是问题(1)的pa花lo最优i?集的子集，任取上； x；,记仅；応 可被认为是dm,这时的最大满意度水平在得到个体的总体满意度函数

6、肓,可用以下函数pc(x)= x p.p.(x)i- i为群体的联合满意度函数，其中小满足乩1,2,厂kp心)和pu(尤)中权向量入'=(a；, a1, ., a«.) 7和=(“，“，“)i a* -(入;，心尽y的确定记工；=arg ra ax/；( x)>j = 1,2,= x造目标函数支付表e如表1所示：表ifl/水|x；-几 几小-f叫(10)1中几=f；(灵)1,2,，特别地几=/；(x； ) = m.令； 几m ；中f；z为支付表中第j列的最小元素，将厲(j = 1,2,，仕)作归一化处理后，有a；= g/另 o；(11)r i如果儿(1 < j0&

7、lt; 的值较小，则p；o(x)这一项对工的变化不敏感，因此，在求解问题(7) 时p；0(x)的作用不很重要将入;乘以p；(r)后，就突出了那些对工的变化敏感的满意度函数的 作用。这样，由(10)式和(11)式我们求得了权向量入、(氐&，儿y.3.2 pw (at| > p2> > p.)t 的确定假设：i)各决策个体对选择pc(x)中的权向量("2,，冷)均负有责任；2)对任意 的1,2,，町个体dm 对其余i个个体中的每个个体j都指定一个权血，岭满足 理解为决策群体中除个体j外的其余池1个个体对个体j所赋权值九（=1,，ji,mi,，町的总体水平（注意比

8、=0,因此厂 £九），把通过解方程组（14）得到的在条件 f- ii- i（15）下的唯一解作为权向量（均，代,：，宀）的值,那么上述事实表明：若个体j被赋权值 汗（“ 11,j+ 1,n）的总体水平较高，则最终得到的权值儿亦较大；也就是说，这 样的宀值是对群体中每个除j外的个体对他所赋权值并（l 1,-., j- 1,j+ 1,山）的较公 平的调和；因此将解方程组（14）得到的在条件（15）下的唯一解作为权“=（小，宀，宀”的 值是较为合理的.4 群决策规则和群体最佳调和解群决策的目的在于寻找一种方案,该方案对群体而言是最优或较优的（在某种意义上），同 时对各决策个体而言又是较为满

9、意和较为公平的.为此，给出如下群袂策规则。群决策规则在实现各袂策个体各自满意度水平的基础上，使群体的联合满意度极大化.定义 3 记 s（工"，0（；=仏（工；）（工； x； ）,（ft；,叫.0（2> > %）（&； 0,1 , / = 1,2,，wi,仇 < ci ）,对于仇=£ 入;a；,称集合f ix? = x x|s（h） > oc.（16）为决策个体dm.-在g水平下的满意解集。定义4 称问题nrn axpc（ w 工 d（工）n（17）,x xtt= qxp的最优解为多目标群决策间题的最佳调和解设间题（17）的最优解集为x'

10、; ,问题（6）在x”上的pareto最优解集为x?,则有下面的定 理：定理2 x' s x?证 对v x，若xt x?,则由paio解的定义知，存在y x：使得对一切的j =1, 2,，?1,都有f（y） > p,（h）,且至少有一个j（比如说jo）满足pp（y） > p“,而0（/ =1、2、小、故有7171s> x 宀匚（工），j* 1厂 i即pc（y） > pc（x）,这与pc（x）为x。上的最大值矛盾.定理3 对v x x' ,有®（工）g证可由问题（17）的构造及集x的定义直接得出.定理2和定理3表明：由问题（17）求得的最优解（即

11、群决策的最佳调和解）既实现了各决 策个体的满意度水平，又在集x。上具有pareto最优性，同时还使群体的联合满意度极大化.5 满意度水平的调整和修正目标间的冲突性和决策人间利益的抵触性是多目标群袂策问题的基本特点当决策个(19)(20)这里 x( f)(/ = 由体的满意度水平心较高时，e很可能成立，从而导致r = e,此时群体最佳调和解不i-1存在.因此某些决策个体必须作出让步，相应降低其满意度水平，使x沖 4 用"(f)表示dmi在第t轮迭代时的满意度水平.令g( t + 1) = ctt( t)%(t)(1 8)其中表示dm,在第t轮后满意度水平的降低值.一般说来，各决策个体在

12、决策过程中的重要性程度是不一样的，因此，他们在每一轮迭代 中的让步总量也应该不一样.从概念上讲，让步量的确定应由与各个体有关的某个“利益"准 则来决定，但这个“利益”通常具有较强的主观色彩，难以找到一种适当的可以公度的度量.我 们这里给出一种确定让步量的规则：个体的让步总量的大小与他在决策过程中的重要性程度成反向变化，个体的重要性程度用他的权值来度量.设j = 1,2,，？i)是在第3节由方程组(1 4)求得的权值，n( 1), tt( 2) > , tt(n)是1, 2, n的一个排列，满足pf(i)“琅2)，p心)根据上述规则，dm.在第t轮迭代后的让步总量讯十)可由下式确

13、定：c“( f) = k “只卄 i °,i =1,2,n其中左为一正系数，一般可取ni ax p i i gc o1,2,m)表示dm,.在第t轮时对目标j的满意度.毋另入;4( 0卷* "心 i -x 71* i - i)即5z < s咼严(臥此表明每个决策个体的让步总量不超过他的总体满意度.r |有了让步总量g(t),决策个体dm.可根据自身的总体满意度极大化原则来确定每个目标 的让步分量8；(十)=oj；(t)：(£),其中皿 可通过求解下列优化问题(21)得到.max 刀 - (4(f) c( t)t 0 < oj；( t) <j =

14、1, 2,，m ,g( t)进而，可得到dm,在第1轮时对各个目标的满意度c(；(i 1) = t) - aft*(t) = 0(；(t)-曲g")(22)和总体满意度水平叫0(.( t 1) = e 入揪;(1)(23)然后可求出在g( t十1)水平下的满意解集x6 算法步骤现将上述求解多目标群决策间题的方法以算法的形式加以总结，其步骤如下：step 1 由(4)式计算咄和m；,再由(3)式计算p；(h),j= 1,2,，g i= 1,2,，氐step 2由(9)式计算上'；,构造目标函数支付表，其中几=f ；(攵：)，匕j = 1 > 2,由 (10)式和(11)式

15、确定入;'根据(5)式导出dm,-的总体满意度函数p,(x),step 3 每个决策个体dm,对其余1个个体赋权/ = 1,，i- 1,i+ 1,，町， 均满足(i 2)式和(1 3)式；将解方程组(i 4)得到的在条件(i 5)下的唯一解作为权向量卩=(小， 小，旳)的直 由(8)式算出群体联合满意度函数pc(x).step 4 解问题(7)得 x；.任取工； x；,令 a； = j5.(x； ),a； = p.(x；),以 作为 dm.- 的初始满意度水平;置£: = 0, tt.(t): = 0(； , x眇：=x；steps 判断= nx?-to是否为空集。若x&qu

16、ot;为空集e,继续下一步，否则转step 8.step 6由(19)式和(20)式确定各决策个体的让步总量s(t);解问题(21 )得到个体dm 在各个目标上的让步分量系数uj；(t),分别由(23)式和(22)式算出g(t+ 1)和a；(t+ 1 ), j = 1,2,，化；记1 ) = (0(；(t+ 1),(x；(t+ 1),.，(t+ 1)step 7 求dm,在ft.( t + 1)水平下的满意解集x 少x x|s(h)> ft.( 14- i)置 t: = t + 1 ,转回 step 5.step 8 若 x" h 解问题(24):m axpc( x)= x &

17、quot;f i)< 1_ (24).x x"所得的解”作为群决策的最佳调和解,决策过程结束，算法终止.7数值算例/l（x） = x + 0. 4, /?（x）八才 + 5, 尸（工）=1口工，考虑有三个决策者，各有两个目标函数的决策间题.设各个体的目标函数分别为: 从)八宀7;f；g =(上卜 i)'-2;幷(工)=x + 2;个决策个体都认为目标值越大越好.设决策空间为1,2,赋权矩阵表2f/(x)pl)(入m)xa.(0)dm.r1(0. 455. 0. 545) 1 252)0. 557(0. 252. 0. bl 1 )dm1+(1八口(0. 51 2. 0.

18、 1 . 342)0. 520( 0. 733. 0. 297)dm2idx/jd 2 jc 4 2(0. 500. 0. 500) 1 443)0. 543( 0. 529. 0. 557)表3c.(0)(d)詔(0)a.( 1)x )dm, 0. 520(0.0. 51 5)(0. 252. 0. 544)0. 41 11 252, 1 539 dm2 0.390(0. 238, 0. 762)(0. 640. 0. 297)0. 4731 342, 1 . 442 dm2 0. 520(0. 500, 0. 500)(0. 269. 0. 297)0. 2831. 205, 1 . 703 3因为x*0 - n - 1.342, 1.