CH52换元积分法’课件

1、CH52换元积分法PPT课件dxxx sectan3求求复复 习习解：原式解：原式= =dxxxx sectantan2)(sectan2xdx )(secsectan xxx)(sec)1(sec2xdx cxx 3sec31secCH52换元积分法PPT课件以上的例子中运气很好，被积函数以上的例子中运气很好，被积函数g(x)有形式有形式),)()(x( xfxg至多差一个常数因子，接下来研究运气稍差一点至多差一个常数因子，接下来研究运气稍差一点例子，仍然可经过一适当换元，求出原函数。例子，仍然可经过一适当换元，求出原函数。CH52换元积分法PPT课件例例 xxxd 23)7(3求求解：解：

2、取中间变量取中间变量u=3 2x, 注意到注意到du= 2dx, 因子因子(x+7)dx不是变量不是变量u的微分的微分, 不能使用第一换元法。不能使用第一换元法。现在将积分号下的每一部分变为换为现在将积分号下的每一部分变为换为u的函数，包括因子的函数，包括因子x+7.因因此此,223ux 72237 ux,2217u u=32x, 得得CH52换元积分法PPT课件得得代代入入原原积积分分因因此此又又, .d21d,d2duxxu uuuxxxd)2217(21d23)7(33 uuud)17(413 uuud)17(413431CH52换元积分法PPT课件Cuu )1341131117(411

3、34131Cuu )73451(413734Cxx )23(73)23(451(413734CH52换元积分法PPT课件3323 223 1uxux.换换成成了了能能积积分分的的部部分分复复杂杂的的代代入入后后将将被被积积函函数数中中最最取取 uxud21d . 2 包包括括的的函函数数，表表示示成成将将被被积积函函数数中中每每一一部部分分3. 求出关于求出关于u 的积分，取反函数的积分，取反函数u=3-2x代回原变量代回原变量x.CH52换元积分法PPT课件练习练习 求求解解: :1.1dxx 令令tx 2xt11xxd 112t ttd 21tdtt 112()tttdd 2dxtdt 1

4、2 (1)1dtt 1121tdtt CH52换元积分法PPT课件1(1)12tdttd 22ln 1ttC22ln 1xxC tx 10 x 22ln(1)xxC CH52换元积分法PPT课件 dxxf)( dxxxf)()( 好好求求！()xu 令令难难求求！)(tx 令令好好求求！难难求求！相反的情况相反的情况 duuf)(dtttf)()( 技巧性要求高技巧性要求高第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题第第二二类类换换元元法法则用第二类换元积分法则用第二类换元积分法 .CH52换元积分法PPT课件第二换元法CH52换元积分法PPT课件1( )( ) ( )( )txf x dxf

5、tt dt 则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式1( )( ) ( )( )txf x dxftt dt 第二类积分换元法第二类积分换元法= =变量代换变量代换+ +第一换元法第一换元法+ +变量代换变量代换CH52换元积分法PPT课件例例2. 2. 求求),(aa 函数的定义域函数的定义域. )0(d22axxa解解: : 则则)2,2( ,sin ttax令令0)(sin2 tta-at22sinttdtaxcosd CH52换元积分法PPT课件taaxa22222sin ta2sin1 tacos cost22t)2,2( ,sin ttax令令 t

6、tataxxadcoscosd22 ttadcos22 ttad22cos12Ctata 2sin4222CH52换元积分法PPT课件则则取取反反函函数数,arcsin axt , sinaxt 2221sin1cosaxtt Cttaaxaxxacossin24arcsin2d2222Cxaxaxa2222arcsin2ax22xa tCH52换元积分法PPT课件例例3. 3. 求求. )0(d22aaxx解解: : 令令, ),(,tan22ttax则则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22

7、ax tln)ln(1aCCCaxx22lnxa1C22ax a书书151151页页例例4 4SecSec2 2t=1+tant=1+tan2 2t tCH52换元积分法PPT课件例例4. 4. 求求. )0(d22aaxx解解: :,时当ax 令令, ),0(,sec2ttax则则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCtta22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axaxCH52换元积分法PPT课件,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln

8、22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22lnCH52换元积分法PPT课件求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 0,2t dxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 练练 习习CH52换元积分法PPT课件Caxaxaaxdx ln21)13(22Caxaaxdx arctan1)11(22C

9、axxadx arcsin)12(22 三个积分公式三个积分公式CH52换元积分法PPT课件说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换. .三角代换的三角代换的目的目的是是化掉根式化掉根式. .一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令sin ;cosxatxat或或22)2(xa 可令可令tan ;cotxatxat或或22)3(ax 可令可令sec ;csc .xatxat或或221tansecxx 221cotcscxx CH52换元积分法PPT课件 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用

10、三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定. .说明说明(2)(2)例例5 5 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解CH52换元积分法PPT课件求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx练练 习习CH5

11、2换元积分法PPT课件说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, , 可采用倒代换可采用倒代换.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解CH52换元积分法PPT课件原式原式21) 1(22ta221a例例7. 7. 求求.d422xxxa解解: : 令令,1tx 则则txtdd21原式原式ttd12tttad) 1(2122,0时时当当 x42112tta Cata2223) 1(23当当 x 0 时时, , 类似可得同

12、样结果类似可得同样结果 . .Cxaxa32223)(23) 1(d22taCH52换元积分法PPT课件例例8 8 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu CH52换元积分法PPT课件 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx CH52换元积分法PPT课件练习,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 两边求导两边求导, 得得)(5xfx,12xx则1dd)(24xxxxxf)1(x

13、t 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原变量代回原变量) CH52换元积分法PPT课件说明说明(4)(4) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例9 9 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216CH52换元积分法PPT课件 dttt221116 dtt

14、21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx CH52换元积分法PPT课件练习练习 1d24xxx求求解：解：方法：作变换方法：作变换tx1有有两两支支这这时时曲曲线线tx1 一一段段。上上单单调调，首首先先讨讨论论在在), 0(), 0()0 ,( 252424211111,ddttttxxttxCH52换元积分法PPT课件tttxxxd11d2324tttttd1)1(22221dd1tttttt22221)1 (d21)1 (d121ttttCtt22321)1 (31CH52换元积分法PPT课件Ctt221)2(31Cxxx2321312完完全全相相同同的的结结果果。

15、可可获获得得形形式式上上时时，作作同同样样变变换换当当txx1)0 ,( CH52换元积分法PPT课件注注: : 一般地，第一类换元法比第二类换元法用一般地，第一类换元法比第二类换元法用起来方便（起来方便（不需要变换可逆不需要变换可逆）。）。例例1010dxxex 求求解法一解法一dxxex tdttetttx2 )(0,2 dtet 2 Cet 2 . 2 Cex 解法二解法二dxxex uduueuxu2 dueu 2 Ceu 2 . 2 Cex 第二类第一类CH52换元积分法PPT课件基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)ta

16、nln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa CH52换元积分法PPT课件;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax CH52换元积分法PPT课件三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)(2)CH52换元积分法PPT课件(k是常数)，m 1)，

17、,) 1 (Ckxkdx,11)2(1Cxdxxmmm,|ln1)3(Cxdxx,arctan11)4(2Cxdxx,arcsin11)5(2Cxdxx,sincos)6(Cxxdx,cossin)7(Cxxdx,) 1 (Ckxkdx,11)2(1Cxdxxmmm,|ln1)3(Cxdxx,arctan11)4(2Cxdxx,arcsin11)5(2Cxdxx,sincos)6(Cxxdx,cossin)7(CxxdxCH52换元积分法PPT课件,tanseccos1)8(22Cxdxxdxx,cotcscsin1)9(22Cxdxxdxx,sectansec)10(Cxxdxx,csccotcsc)11(Cxxdxx,)12(Cedxexx,ln)13(Caadxaxx,)14(Cchxshxdx.)15(Cshxchxdx,tanseccos1)8(22Cxdxxdxx,cotcscsin1)9(22Cxdxxdxx,sectansec)10(Cxxdxx,csccotcsc)11(Cxxdxx,)12(Cedxexx,ln)13(Caadx