ch53基本积分法课件

1、ch53基本积分法PPT课件1一、凑微分法一、凑微分法例例 cos2xdx分析分析:如果能把被积表达式改变一下如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与使得被积函数的变量与积分变量变得相同积分变量变得相同, 那么就可用公式那么就可用公式cossinuduuC求出此不定积分求出此不定积分. (u是是x的函数的函数)不同！不同！ cossinxdxxC5.3 5.3 基本积分法基本积分法ch53基本积分法PPT课件21cos 2cos 2(2 )2xdxxdx12cos2uxudu令1cos 2(2 )2xdx1sin2uC1sin 22uxC回代注注: : 这种方法的实质是当被积函数为复

2、合函数时这种方法的实质是当被积函数为复合函数时, ,可采用可采用 恒等变形将原来的微分恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分凑成新的微分d d ( (x x) )(可不必换元可不必换元) ),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算使原积分变成一个可直接用积分公式来计算. .这种方法称为凑微分法这种方法称为凑微分法. 其理论依据为其理论依据为122dxdx解ch53基本积分法PPT课件3定理定理4 4 ( )( ), ( ),f u duF uCux设且具有连续导数 则( ( )( ) ( )( ) ( ).fxx dxfx dxFxC ( ( )( ( )( )uxFxCFufxx注：注：定理定

3、理4 4中中, ,若若u u为自变量时为自变量时, ,当然有当然有 ( )( )f u duF uC当当u 换为换为 (x)时时, , 就有就有 ( )( ) ( )fx dxFxC成立成立.不定积分的这一性质称为不定积分的这一性质称为积分形式的不变性积分形式的不变性. .2 2、步骤：凑微分法的关键是、步骤：凑微分法的关键是“凑凑”, “, “凑凑”的目的是把不易计算的的目的是把不易计算的不定积分化为容易用不定积分化为容易用“直接计算法直接计算法”计算或查表计算的计算或查表计算的不定积分：不定积分：1. ( )( )fxx dx 分分拆拆2. ( )( )fx dx凑凑微微分分成立成立;(

4、)g x dx3.( )( )uxf u du 换换元元4( )F uC. .直直接接积积分分5 ( ).FxC . .回回代代证证：（第（第3 3、4 4步可以省略）步可以省略）1、公式公式：ch53基本积分法PPT课件41 1.()dxd axa112.(1),1x dxdx 1()( ,0)d axb a baa为常数24.(arcsin )(arccos )1dxdxdxx 1(2)dxdxx 3.,lnxxaa dxda,xxe dxde()xxeedxd25.(arctan )(cot )1dxdxd arcxx 6.ln ,dxdxxln(1)1dxdxx7.sincos ,co

5、ssinxdxdxxdxdx 常见的凑微分公式：常见的凑微分公式：ch53基本积分法PPT课件5例例8 求下列各式的不定积分321(2).xedx1( 2 )(1)3 223 2dxdxxx解332211322(2)13xxedxedx 解（）结论结论1:1()() ()f axb dxf axb d axba8.(sincos )( cossin )xx dxdxx29.(21)()xdx d xx210.tancosdxdxx211.cotsindxdxx1(3 2 )23 2dxx 1ln3 22xC32123xeC (1) ;32dxxch53基本积分法PPT课件622(3)dxax1

6、11 2dxaaxax解 原式1111()()22d axd axaaxaax11lnln22axaxCaa1ln2axCaax22(4) (0)dxaax22(1 ( ) )dxxaa解原式2( )(1 ( ) )xa daxaa2( )(1 ( ) )xdaxaarcsinxCach53基本积分法PPT课件722(5)dxax22(1 ( ) )dxxaa解原式22( )11 ( )xa daxaa2( )11arctan1 ( )xdxaCxaaaa例例9 求下列各式的不定积分求下列各式的不定积分2332(1)23xdxxx33(23) 23d xxxx解 原式3ln23xxC结论结论2

7、:( )ln( )( )fxdxf xCf x(2) tan xdxsincosxdxx解原式coscosdxx ln cosln sec.xCxC 同理可得cotln sinln cscxdxxCxC ch53基本积分法PPT课件81 ln(3)xdxx 1 lnlnxdx解 原式1ln(1ln )xdx322(1 ln )3xC例例10 求下列各式的不定积分(4)1xxedxe (1)1xxd ee解 原式21xeC 2(1)34xdxx 221 234dxx解 原式221(34)32 34dxx21343xCch53基本积分法PPT课件9结论结论3:11()() ()nnnnxf axb

8、 dxf axb d axbansin(4)xdxx232(2)(1)xxdx3231(1)(1)3xd x解原式331(1)9xC211(3)cos dxxx11cos( )dxx 解原式1sinCx 2 sinxd x解 原式2cos xC注：注：若被积函数的一部分若被积函数的一部分 ( (x x) )的导数是另一个因子的导数是另一个因子 （位于分子），（位于分子）， ( )x则可以这样凑微分则可以这样凑微分：( )( )x dxdxch53基本积分法PPT课件10(5) secxdx1cosdxx解原式或原式或原式tansecsectansecxxxdxxx同理可得同理可得cscln c

9、sccotxdxxxC22cossincos1 sinxdxdxxx11 sinln21 sinxCx211 sinln2cosxCx2sec tansectansecxxxdxxx(sectan )tansecdxxxxln sectanxxCln sectanxxCch53基本积分法PPT课件112(1) sin xdx1 cos22xdx解原式1cos22dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin224xxC例例11 求下列各式的不定积分求下列各式的不定积分同理可得同理可得211cossin224xdxxxC结论结论4: 一般地一般地, 对形如对形如sin, cosnnxdx

10、xdx3(2) sin xdx2sincosxdxx 解 原式2(cos1) cosxdx31coscos.3xxc这样的不定积分这样的不定积分当当n为偶数时应先降次后再积分；当为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分为奇数时应先凑微分再积分；再积分；ch53基本积分法PPT课件122(3) sincosxxdx231sinsinsin3xdxxC解原式sincosnmxxdx一般地一般地, ,对形如对形如这样的不定积分这样的不定积分若若nmnm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；若同为偶，则化为若同为偶，则化为sin, cosnnxdxxd

11、x 来积分.nm若，(4) sinsinmxnxdx对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分. .1cos()cos() 2mn xmn x dx解原式sin()sin()2()2()mn xmn xCmnmn则化为则化为 来积分来积分1sin22nx dx （） ch53基本积分法PPT课件13注注: :对于同一个不定积分对于同一个不定积分, ,采用的方法不同采用的方法不同, ,有时得到的原函数有时得到的原函数的表达式就完全不同的表达式就完全不同, ,但这些不同的表达式之间仅相差一个但这些不同的表达式之间仅相差一个常数常数. .如如21sin coss

12、insinsin2xxdxxdxxC21sin coscoscoscos2xxdxsxdxxC 111sin cossin2sin22s2244xxdxxdxxd xcoxC 法一:法二:法三:sincosxxdx例例12 (1) 设函数设函数(x)的一个原函数是的一个原函数是arctanx,求不定积分求不定积分2(1).xfxdx解解 由题意知由题意知( )arctanf x dxxC则则2221(1)(1) (1)2xfxdxfxdx 21arctan(1)2xC ch53基本积分法PPT课件14(2) 若己知若己知 ( )( )f x dxF xC, , 求：求：22()xxef edx

13、22 ()xxef edx故 ( )( )f x dxF xC解 因21()2xF eC 221()2xxf ede 211(3)( )( ),( )( ),( )( ), ( )( ) ()1, ( ).4F xf xG xf xF xGxf xf xff x设且求2( )( )F xGx解 222( )1( )( )2( )( )fxfxfxfxfx222( )( ) 1( ) 1fxfxfxch53基本积分法PPT课件152( )1( )fx dxdxfx2( )arctan( )1( )df xf xxCfx()104fC又代入上式得( )tanf xx2( ) 11( )fxfx故两

14、端积分,得ch53基本积分法PPT课件16课堂练习课堂练习: 求下列各式求下列各式321. 12;2. ;3. 3;xexxxdxedxx edx122324. ;5. cos;6. sincos;xadxxxdxxxdxch53基本积分法PPT课件17222217.;sincos8.;16259.;49dxxxdxxdxx210.;1 cosarcsin11.;1cot12.sindxxxdxxdch53基本积分法PPT课件181 xdxx例13 求注注: :用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的. .但作变但作变换换1(0)xt t 2 1xt 即2d

15、xtdt2 21ttdtt原式2221tdtt22arctanttC二、第二类换元法二、第二类换元法212 11dtt212arctan1txxC 回代ch53基本积分法PPT课件19定理定理5 5 设函数设函数(x)连续连续, x= (t)单调且有连续的导函数单调且有连续的导函数 ,而而( ) t ( )( )( ),ftt dtF tC1( )( )f x dxFxC证明 ( )( )( ), ftt dtF tC1( ) ( ) .F ttx由和复合而成1 ( ) ( )txFxCF tt即1( )( )f x dxFxC1 ( )Fx而，1( )tF tx1 ( )( )( ( )(

16、)( )fttftf xt1( ) ( ) .Fxf x则是的一个原函数则1、公式公式 ( ) ( ) ( ),F tftt则ch53基本积分法PPT课件20注注1 换元积分法是先换元换元积分法是先换元,再积分再积分,最后回代最后回代.这与凑微分法这与凑微分法(先凑后换元先凑后换元)不一样不一样。重点不同，目标相同。重点不同，目标相同。注注2 求解步骤为：求解步骤为：2、注意、注意1. ( ) ( )ftt dt 换换元元( )f x dx2.F(t)+C 积积分分3.-1F(x)+C 回回代代ch53基本积分法PPT课件211(1)11xdxx2 11xtxt 解 令22 2 11tttdt

17、dttt原式21 1122 (1)11tdttdttt 2(1)ln 1ttC3、常用换元公式：、常用换元公式：（1 1）. .被积函数含有被积函数含有 的因子时的因子时, ,可令可令,nntbtaxbxa令即 (0, )naxb an为正整数化简函数后再积分化简函数后再积分.例例14 求下列各式求下列各式2dxtdt2( 11)ln 11xxCch53基本积分法PPT课件2244 22xtxt 令4(2)22dxxx()请同学们自行求解3(3)dxxx322441t dtt dtttt原式14 (1)1tdtt 214ln(1)2tttC 441422ln(21)2xxxC6(0)xtt令令

18、34,dxt dt则21 141tdtt ch53基本积分法PPT课件2322( )aax含sin, ()22xatt 令2222 (1 sin)cos .axatat则2222,(0)axxaa（2 2）. .被积函数含有被积函数含有 的因子时的因子时, ,可作可作三角变换三角变换, ,利用三角函数恒等式使二次根式有理化利用三角函数恒等式使二次根式有理化. .tax22axsinxtacosdxatdt例15 求下列各式22(1)ax dx解 sin () arcsin,22xxattta 令则cosdxatdt2222coscoscosax dxat atdtatdt21 cos22tad

19、t221(sin2 )(sin cos )222aattCtttC222(arcsin)2taxxaxCaaa回代2221arcsin.22axx axCach53基本积分法PPT课件242 tan () sec22xattdxatdt 解 令则tax22ax222secsecsecdxatdttdtatxa1ln sectanttC如图tanxta22(2)dxxa221lnaxxCaa221ln(ln ).xaxCCa22( )bax含tan, ()22xatt 令2222 (1tan)sec ,axatat则2secdxatdtch53基本积分法PPT课件2522sectansectan

20、dxattdttdtatxa sec (0) sectan2xattdxattdt 令则ta22xax22(3)dxxa22221lnlnxxaCxxaCaa1ln sectanttC22( )cxa含sec ,0.)(, 22 ,xat t令 2222 (sec1)| tan |.xaatat则sectandxattdt :xa解时xauxua 时,令，同理可证ch53基本积分法PPT课件26（3 3）. .倒代换倒代换 当被积函数的分母的次数与分子的次数之差当被积函数的分母的次数与分子的次数之差大于大于1 1时时, ,利用倒代换可消去被积函数分母中的变量因子利用倒代换可消去被积函数分母中的

21、变量因子x.x.例例16 求241xdxx211 , . xdxdttt 解 令则从而122(1)ttdt 241 xdxx12221(1)(1)2td t 224111()1tdttt3221(1)3tC 32231 (1)3xCx ch53基本积分法PPT课件27例17 求2(0)1dxxx x法一: 三角代换令sectansectanttdtdttCtt 法二: 根式代换令法三:凑微分法,原式=2221( )111 ( )1 ( )ddxxxxx 21,tx原式=sec (0),2xtt 2arctan1dttCtt21x x11arccosCx2arctan1xC1arcsinCx 2

22、211tdtttt 原式ch53基本积分法PPT课件28法四法四: 倒代换令倒代换令2221111( )1dtdttttt 原式1tx1arcsinCx 回代arcsintC 注：通过上述几种积分方法的学习注：通过上述几种积分方法的学习, ,可将以下几个公式补可将以下几个公式补充在充在基本积分表里基本积分表里： tanln cosln secxxCxC cotln sinln cscxdxxCxC ch53基本积分法PPT课件29secln sectanxdxxxCcscln csccotxdxxxC222221arcsin22axax dxx axCa2222lndxxxaCxa221ln2

23、dxaxCaxaaxch53基本积分法PPT课件30ln, arctan,sinxxdxxdxexdx定理定理5 5 设函数设函数u=u(x)u=u(x)及及v=v(x)v=v(x)具有连续的导数具有连续的导数, ,则则udvuvvdu直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问题题;但对形如但对形如等类型的不定积分等类型的不定积分,采用这两种方法却无法采用这两种方法却无法.换元积分法是在复合函数求导法则换元积分法是在复合函数求导法则的基础上得到的的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得下面利用两个函数乘积的求导法则来推得分部

24、积分法分部积分法.证证 由由 d(uv)=vdu+udv, 得得 udv= d(uv)vdu ,对此式两边同时求不定积分对此式两边同时求不定积分, 得得1、公式、公式udvuvvduuv dxuvvu dx三、分部积分法三、分部积分法ch53基本积分法PPT课件31而不定积分而不定积分 易计算易计算, ,udvvdu则可采用分部积分公式则可采用分部积分公式, ,使计算大为简化使计算大为简化. .注注1:1:不定积分不定积分 不易计算不易计算, ,例例18 求求(1) ln(2)xdxarctgxdx解解 (1) 设设u=lnx,dv=dx,则则v=x ,由分部积分公式得由分部积分公式得lnln

25、lnxdxxxxdx1lnxxxdxx2、步骤：步骤：( )f x dx1.uv dx 分分拆拆uvvdu 注注2 2：如何正确地选定如何正确地选定u u和和v v却显得非常重要却显得非常重要. .一般说来要一般说来要考虑以下三点考虑以下三点: :积分容易者选作积分容易者选作dv; 求导容易者选作求导容易者选作u; 不可兼得时以前者为优先。不可兼得时以前者为优先。2.u vd凑凑微微分分3.分分部部积积分分lnxxxCch53基本积分法PPT课件32例例19 求求cosxxdx cossinxxdxxdx解sinsinxxxdx(2)arctanarctanxxxdx原式2arctan1xxx

26、dxx21arctanln(1)2xxxC否则若否则若 21coscos2xxdxxdx比原积分更难积出比原积分更难积出.2211arctan12 1xxdxx（ + ）sincosxxxC22cossin22xxxxdxch53基本积分法PPT课件33例例20 求下列不定积分求下列不定积分(1)(2)arctanxxe dxxxdxxxxe dxxde(1)解21 (2)arctan2xdx原式xxxee dx221arctanarctan 2xxx dx2221arctan21xxxdxx222111arctan21xxxdxx21arctanarctan .2xxxxCxxxeeCch5

27、3基本积分法PPT课件3422ln(1)1xdxxxxx2(3) ln(1)xxdx22ln(1)ln(1)xxxxdxx解原式222212 1ln(1)1xxxxxxdxxx2221(1)ln(1)21dxxxxx1222ln(1)(1)xxxxCch53基本积分法PPT课件351122lnln2 lnxdxxxdxxdxx解ln(4).xdxx2ln2lnxxxdx122ln2xxxdx练习：练习：22(1)(2) (2)cosxx e dxxxdx2ln4.xxxCch53基本积分法PPT课件36例例21 求求1sinxexdx（ ） sinsinxxexdxxde解这是一个关于这是一个

28、关于 的方程的方程,移项并两边同除以移项并两边同除以2,得得sinxexdx1sin(sincos )2xxexdxexxCsinsinxxexe dxsincosxxexexdxsincosxxexxdesincossinxxxexexexdx222(0)ax dx a（ ）222222 ax dxx axxd ax解22222xx axdxax 2222222ax axdxax dxax 移项移项:22ax dx2221arcsin22axx axca ch53基本积分法PPT课件3723)(nxnIx e dxnI（ 求的递推公式 为非负整数）；并求nxnxxnnIx dex ee dx

29、解：11nxnxnxnx en xe dxx enI11nxnIxe dx其中01(1)xxxxIe dxecIxe dxxec22212xxIx e dxx eI2(22)xxxecch53基本积分法PPT课件383cos(2)sinxxdxx例22 求(1)xedx解 令2, ,xtxt则2tetdt原式2ttde22ttteeC22tttee dt22111csc2sin2xdxdxx 3sin sinxdxx解 原式221( csccsc)2xxxdx 21( csccot )2xxxC 22xxxeeC注注: :有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用. .2dxtdtch53基本积分法PPT课件39arcsin2arcsin(3)