D14连续性间断点课件

1、D14连续性间断点一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第一章 1D14连续性间断点可见 , 函数)(xf在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 2D14连续性间断点continue)()(lim, )

2、,(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3D14连续性间断点对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxx

3、fx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4D14连续性间断点例例1. 证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 结束 5D14连续性间断点在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(

4、xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 6D14连续性间断点间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称

5、0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 7D14连续性间断点xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 结束 8D14连续性间断点1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(

6、f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 9D14连续性间断点注意注意：)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 10D14连续性间断点定理定理2. 连续单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个

7、函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 11D14连续性间断点定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu

8、于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 12D14连续性间断点四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 13D14连续性间断点例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xx

9、ax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当, ea 时, 有0 x)1ln(x1xexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 14D14连续性间断点例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动 目录 上页 下页 返回

10、 结束 x215D14连续性间断点1,41,)(xxxxx例例5. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16D14连续性间断点第四节（一）（一）、最值定理、最值定理 （二）、介值定理（二）、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、闭区间上连续函数的性质 第一章 17

11、D14连续性间断点注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .(一一)、最值定理、最值定理定理定理4 4. .在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 18D14连续性间断点例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 19D14连续性间断点,)(b

12、axf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .(二二)、介值定理、介值定理定理定理5. ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 20D14连续性间断点定理定理6. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(b

13、a证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 21D14连续性间断点例例6. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的

14、中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则22D14连续性间断点 内容小结一内容小结一基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 23D14连续性间断点内容小结二内容小结二则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小

15、值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：P26 16,1724D14连续性间断点小结三：1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)27D14连续性间断点可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型

16、振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x26D14连续性间断点备用题备用题1. 确定函数间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 27D14连续性间断点备用题备用题2. 求则有0limcosxxx解解1: 令,yx2100limcoslim(cos )xyxxxy21cos1cos10lim1 (cos1)yyyxy22112cos10lim1 (cos1

17、)yyyxy12e机动 目录 上页 下页 返回 结束 28D14连续性间断点备用题备用题2. 求0limcosxxx解解2: 12200limcoslim(1 sin)xxxxxx221sin22sin0lim1 sinxxxxx2122sin0lim1 sin)xxxxx12e机动 目录 上页 下页 返回 结束 29D14连续性间断点备用题备用题3. 求lim abnnnn ee解解:lim lim (1)(1)ababnnnnnnn een ee 1111limabnneennnlim11nabnnnnab机动 目录 上页 下页 返回 结束 30D14连续性间断点备用题备用题4. 设分析：

18、对带有极限符号的函数，先去掉极限符号2122( )lim1nnnxaxbxf xx为连续函数，试确定为连续函数，试确定a及及b。| 1x 1( );f xx2( );f xaxbx21,| 1, | 1( )1,121,12xxaxbxxf xabxabx 111lim( )lim1xxf xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 31解：当时当|x|0时，00lim( )lim0 xxf xx 则x=0是f(x)的第二类间断点，而f(x)的连续区间为D14连续性间断点( )()(1)xebf xxa x1.有无穷间断点x=0;2.可去间断点x=1。 01lim( ),a=0b1xbf xa故，1limxf (