D85曲面方程课件

1、D85曲面方程PPT课件第五节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第八八章 D85曲面方程PPT课件一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222(1)(2)(3)xyz26270 xyz 化简得化简得即即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上

2、的点的坐标不满足此方程. .222(2)(1)(4)xyz 解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为( , , ),M x y z,BMAM 则轨迹轨迹方程方程. . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D85曲面方程PPT课件定义定义1. ( , , ) 0F x y z Szyxo如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F(

3、x, y, z ) = 0 的的图形图形.两个基本问题两个基本问题( (不记不记) :) :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D85曲面方程PPT课件故所求方程为故所求方程为例例1. 求球心在求球心在( , , ),M x y z0000(,),Mxy z特别特别, ,当当M0在原点时在原点

4、时, ,球面方程为球面方程为解解: 设球面上任一点为设球面上任一点为0M MR 即即依题意依题意半径为半径为 R 的球面方程的球面方程xyzoM0M222zRxy 表示上表示上(下下)球面球面 .222000()()()xxyyzzR 2222000()()()xxyyzzR 2222xyzR 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D85曲面方程PPT课件例例2. 研究方程研究方程222240 xyzxy 解解: : 配方得配方得50(1, 2, 0),M 此方程表示此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它

5、的图形都可通过配方研究它的图形. .其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面. . 表示表示怎样怎样半径为半径为的球面的球面. .222()0A xyzDxEyFzG 球心为球心为 一个一个球面球面, , 或或点点 , , 或或虚轨迹虚轨迹. .222(1)(2)5xyz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D85曲面方程PPT课件定义定义2. . 一条平面曲线一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面. .该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :机动机动 目录

6、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D85曲面方程PPT课件故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为11(,)0f y z 设点设点M (x,y,z)是曲面上任一点是曲面上任一点,给定给定yoz 面上曲线面上曲线 C: 1,zz 22(, )0fxyz 过点过点M 作与作与 z 轴轴则有则有( , )0,f y z 圆心圆心N的坐标为（的坐标为（0,0,z）111(0,),My z垂直的平面垂直的平面, 此平面交此平面交z 轴于点轴于点N,求曲线求曲线C 绕绕z 轴旋转所成曲面的方程轴旋转所成曲面的方程.()M x,y,zozyxC与曲线与曲线C的交点为的交点为221yxy N111(0,)

7、My zD85曲面方程PPT课件同理：同理：yoz面上曲线面上曲线 C：( , )0f y z oyxz22(,)0fyxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕绕 y 轴旋转时，旋转曲面方程为：轴旋转时，旋转曲面方程为：D85曲面方程PPT课件说明说明: :( 1 ) 旋转曲面方程的求法旋转曲面方程的求法: :（2） 旋转曲面方程的特点旋转曲面方程的特点: :方程中有两个变量以平方和形式出现方程中有两个变量以平方和形式出现. .平方和开方的平方和开方的正负正负代替另一变量代替另一变量. .与旋转轴同名的变量不变与旋转轴同名的变量不变,用其它两个变量的用其它两个变量的D85曲面方程PPT课件

8、例例3. 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角半顶角解解: 在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotzy 绕绕z z 轴旋转时轴旋转时, ,22cotzxy 2222()zaxycota 令令 两边平方两边平方L机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 圆锥面的方程为圆锥面的方程为xyzo为为的圆锥面方程的圆锥面方程. 平方和开方的平方和开方的正负正负代替另一变量代替另一变量. .与旋转轴同名的变量不变与旋转轴同名的变量不变,用其它两个变量的用其它两个变量的D85曲面方程PPT课件例例4. 求坐标面求坐标面 xoz 上的椭圆上的椭

9、圆绕绕 x 轴轴旋转一周所生成的旋转曲面方程旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕绕 x 轴轴,222222()1yzxac 这种曲面叫做这种曲面叫做旋转椭球面旋转椭球面. .旋转曲面方程为旋转曲面方程为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 平方和开方的平方和开方的正负正负代替另一变量代替另一变量. .与旋转轴同名的变量不变与旋转轴同名的变量不变,用其它两个变量的用其它两个变量的22221zxaca- ccxzo- aa- ccxyzo- aD85曲面方程PPT课件例例5. 指出旋转指出旋转曲曲面面 221zxy 是由那个坐标是由那个坐标面面上的什么曲线绕那个坐标轴

10、旋转一周所生成上的什么曲线绕那个坐标轴旋转一周所生成. 解解: :21zy绕绕 z 轴旋转所成轴旋转所成. .yoz面曲线面曲线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zoxy或或21zx 绕绕 z 轴旋转所成轴旋转所成. .xoz面曲线面曲线zxyo111-1平方和开方的平方和开方的正负正负代替另一变量代替另一变量. .与旋转轴同名的变量不变与旋转轴同名的变量不变,用其它两个变量的用其它两个变量的D85曲面方程PPT课件xyz三、柱面三、柱面引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222xyR 解解: :在在 xoy

11、 面上面上，表示圆表示圆C, 222xyR 222,xyR 当平行于当平行于 z 轴直线轴直线L沿曲线沿曲线C移动一周，便得该曲面形状。移动一周，便得该曲面形状。在空间在空间222xyR 过此点作过此点作曲面曲面对任意对任意 z ,平行平行 z 轴的直线轴的直线 L,表示表示圆柱面圆柱面oC在圆在圆C上任取一点上任取一点 1( , ,0),Mx yL1M),(zyxM点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 所以直线所以直线 L位于该曲面上位于该曲面上MD85曲面方程PPT课件l定义定义3. 平行定直线平行定直线L并沿定曲线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l形成的轨迹

12、叫做形成的轨迹叫做柱面柱面.CC 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 L一般地一般地 , 在三维空间在三维空间平行于平行于 z 轴轴; ;柱面柱面, ,准线为准线为xoy 面上的曲线面上的曲线F(x,y)=0母线母线( , )0F x y 方方程程表表示示母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线表示表示抛物柱面抛物柱面,2yx 例如例如:2yx xyzo2yx D85曲面方程PPT课件柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x 轴轴; ;平行于平行于 y 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面

13、上的曲线H(z,x)=0母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线G(y,z)=0. 母线母线( , )0G y z 方方程程表表示示( , )0H z x 方方程程表表示示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D85曲面方程PPT课件例例6. 指出下列柱面的准线与母线方向，并画出其图形。指出下列柱面的准线与母线方向，并画出其图形。（2） x + z = 1 （1） z = y 2zoxyzoxyzoxy22221xyab (3)椭圆柱面椭圆柱面平面平面抛物柱面抛物柱面D85曲面方程PPT课件柱面举例柱面举例: :抛物柱面抛物柱面21zx柱面柱面, ,平行于平行于 y

14、 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线H(z,x)=0母线母线( , )0H z x 方方程程表表示示xyzoD85曲面方程PPT课件5x 229xy 1yx 斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yoz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面例例7. 指出下列方程的图形指出下列方程的图形:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D85曲面方程PPT课件习题习题P362, 3, 4, 5, 7(1)(2), 8, 9.D85曲面方程PPT课件内容小结内容小结 空间曲面空间曲面三元方程三元方程( , )0F xy z 球面球面2222000()()()xxyyzzR 旋转曲面旋转曲面如如, 曲线曲线( , )00f y zx 绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:22(, )0fxyz 柱面柱面如如,曲面曲面( ,)0F xy 表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱