D27函数的连续性课件

1、D27函数的连续性一、函数连续性的定义一、函数连续性的定义 第七节函数的连续性 第一章 二、二、 函数的间断点函数的间断点 D27函数的连续性一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义a:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , )(lim0 xfx则称函数.)(0连续在xxf设函数且xx 0 xx 0y y 0 xx0y)(xf)()(lim000 xfxxfx , 0 0 xx0y)(xfxx 0 xx 0y y D27函数的连续性可见 , 函数)(xf在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义b:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00

2、xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00左极限存在, 右极限存在, 且左极限 =右极限D27函数的连续性)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()

3、()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxxD27函数的连续性对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:D27函数的连续性例例. 证明函数2xy 在给定点 处连续 .0 x证证: )()(00 xyxxyy 2020)(xxx 20

4、)(2xxx 00limlim xxy2xy 0)(220 xxx在给定点 处连续 .0 x连续定义有三种形式: A:一条, B:三条, C:五条D27函数的连续性例例1. 证明函数3xy 在给定点 处连续 .0 x证证: )()(00 xyxxyy 3030)(xxx 32020)()(33xxxxx 00limlim xxy3xy 在给定点 处连续 .0 x0)()(3332020 xxxxx),(0 xD27函数的连续性例例. 证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim

5、0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0D27函数的连续性例例3. 证明函数xycos 在),(内连续 .证证: ),(0 x00cos)cos(xxxy 220sin)sin(2xxx 220sin)sin(2xxxy 212x x0 x即0lim0yx这说明xycos 在),(内连续 .02cos2cos2coscosyxyxyx 2sin2sin2coscosyxyxyx CBAx1o和差化积ybaxbaD27函数的连续性和差化积和差化积2cos2sin2sinsinyxyxyx 2sin2cos2sinsinyxyxyx 2cos2cos2

6、coscosyxyxyx 2sin2sin2coscosyxyxyx bababasinsincoscos)cos( bababasincoscossin)sin( bababasinsincoscos)cos( bababasincoscossin)sin( ybaxbaD27函数的连续性例例2. 欲使 2,2,223)(2xaxxxxxf是连续函数, a 应为何值? .解解: )2(lim)(lim02xfxfxx ,)2(af 22)12)(22(lim0 xxxx223)2(3)2(lim20 xxxx1)12(lim0 xxf (x)是连续 函数.当当 )(lim1)2(2xfafx

7、 D27函数的连续性例例3. 欲使0,1sin0,0,sin1)(xqxxxpxxxxf在x = 0处连续, 则 p, q 应为何值? 解解: 1sin1lim)(lim00 xxxfxx,)0(pf 当当 )0()(lim)(lim00fxfxfxxqqqxxxfxx 0)1sin(lim)(lim00即即 f (x) 在 x = 0 处连续 .pq 1D27函数的连续性在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :

8、0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;D27函数的连续性间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .D27函数的连续性xytan) 1 (2x为其

9、无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0D27函数的连续性1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .D27函数的连续性内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式D27函数的连续性思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,)2)(1()1)(1()( xxxxxfD27函数的连续性备用题