D24极限运算法则课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件 第二章 一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 第四节第四节极限运算法则极限运算法则目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA 因为是无穷小, 再利用极限与无穷小量BA的关系定理 , 知定理

2、结论成立 .定理定理 1 . 若（微积分的（微积分的“序序”：运算顺序的交换）运算顺序的交换）目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件推论推论: 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA)()()(xgxfx说明说明: 定理定理 1可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件定理定理 2. 若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理证明 .说明说明: 定理 2 可推广到有

3、限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )BAlim( ),1,2,., )iiif xA kin是常数，(则有1lim( )niiik f x1lim( )niiikf x推论推论 3 . 若目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件为无穷小B2B1)(1xg)(0 xUx定理定理 3 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgA

4、xf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(因此 为无穷小, 目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件xxxxxxx 00011lim sinlimlimsin0注意公式使用的条件！注意公式使用的条件！ xxxxxxxxx lim1limlim10目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件定理定理4 . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnn

5、nlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理1 , 2 , 3 直接得出结论 .目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn直接求函数值直接求函数值例例3. . 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)

6、()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 . 若目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231分解因式，分解因式，约去零因子约去零因子00型：为什么可以为什么可以约去约去x-3?目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时,3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因将无穷

7、大量转化为无穷小量研究。将无穷大量转化为无穷小量研究。目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件22216. lim ()42xxxx 例例222(2) :lim4 xxxx 解解 原原式式2(2)(1)lim(2)(2)xxxxx 通分；通分；约去零因子约去零因子型：21lim2xxx 213224 目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件220427.lim93例例xxx2222220424293:lim939342（） （） （）解解原原式式（） （） （）xxxxxxx2222093lim42xxxxx（）有理化分子分母！有理化分子分母！22093li

8、m42xxx22093634204200型：目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件例例8 . 求.125934lim22xxxxx解解: ,分子时x.分母22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54“ 抓大头抓大头”原式型：目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当无穷小分出法无穷小分出法: :以分子分母中自变量的最高次幂以分子分母中自变量的最高次幂除分子除分子, ,分母分母, ,以分

9、出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件22tan9. lim2例例xx arcxxx2222tanlim2解解:原:原式式= =xx arcxxxxxtanlim12xarcxx=limtan1lim2xxarcxx=2204=目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件112510.lim25例例nnnnn1111112555=lim2555解解: :原原式式nnnnnnnnn11 215 55lim215nnn110155015目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件2211.lim

10、11例例nnnn 2222221111=lim11解解:原:原式式nnnnnnnn 222211=lim11nnnnnn 222=lim11nnnn 222=lim1111nnn2=1101 00 型：00化成 或 型目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件解例例 . )2( 1lim xxxx求) )( ( )2( 1lim xxxxxxxxxxxx2)2)(2( 1limxxxx2 12lim . 1111111 2limxxx目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件解例例, 0 ,0 , 1)(xbxxexfx问问 b 取何值时取何值时, ,)(lim

11、0 xfx存在存在, , 并求其值并求其值. .若若 由函数的极限与其左、右极限的关系由函数的极限与其左、右极限的关系, , 得得 . 2)(lim 0 xfx b = 2 , )(lim 0 xfx2) 1(lim0 xxe,)(lim0 xfxbbxx)(lim0,目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件1100111(1).limarctan; (2).limarctan.1xxxxexxe 0 01 , lim 0 xxuuxx 当时令则当时故应当考虑左、右极限故应当考虑左、右极限. .解解: :(1)(1)011lim arctanlim arctanuxuuxx

12、令2 011lim arctanlim arctanuxuuxx 令2 01limarctanxx不存在例例目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件解：解：111000111111(2). limarctanlimlim arctan111xxxxxxxeexxee 1101101limarctan,01221xxxexe ,2 11011limarctan21xxxexe 目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 ,与已知条件矛盾.问目录 上页 下页 返回 结束 D24极限运算法则PPT课件2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时,下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递