D24B无穷小比较课件

1、D24B无穷小比较 第二章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,第七节引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较D24B无穷小比较,0limCk定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作D24B无穷小比较例如例如 , 当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxar

2、csinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且D24B无穷小比较例例3. 当nnnn11,与与时时 是同阶无穷小.nnnx11lim 证:1111lim nxnnnnnnnx 1)1)(1(lim11lim11 nx211011)1(nn )1(nn 同阶同阶D24B无穷小比较例例4. 求) 12(lim3xxx解:121lim3 xxx )122(limxxx1)12(lim12 xxx011 据无穷大与无穷小的关系D24B无穷小比较例例5. 证明: 当0 x时, sinarcsin x

3、x; 1sinlim0 xxx tanarctan xxxxxxxxxxarctan,arcsin,tan,sin证证:; 1sinlimarcsinlim00 xxx; 111cos1sinlimtanlim00 xxxxxxx1tanlimarctanlim00 xxxD24B无穷小比较例例5. 证明: 当0 x时,xexxx1,)1ln( 证证: xxx)1ln(lim0 xexx1lim01 xeT)1ln(1lim0 xxx )1ln(lim0TTT Tex 1xxx10)1ln(lim 1 Tex 1xxx10)1(limln )1ln(Tx eln ; 1 0limxD24B无穷

4、小比较例例5. 证明: 当0 x时,2sin2cos12xx 221cos1xx 证证:220212sin2limxxx220)2(22sin2limxxx 22sinlim22sinlim00 xxxxxx ; 111 2021cos1limxxxD24B无穷小比较例例6. 求:1tan)3(lim20 xxexx解解:xxxexxxxx)3(lim1tan)3(lim2020 xxtanxex1 3)3(lim20 xx例例7. 求:30sintanlimxxxx 解解:)0(x 30sintanlimxxxxxxxxxxxxcoslimcos1limsinlim0200 201cos1s

5、inlimxxxxx 2112/11 D24B无穷小比较例例1. 证明: 当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nbD24B无穷小比较利用利用等价无穷小量等价无穷小量代换代换求极限求极限2.7D24B无穷小比较定理定理1. )(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxxD24B无穷小比较定理定理2 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:l

6、imlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052D24B无穷小比较 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 和差极限不能用和差极限不能用等价无穷小代换等价无穷小代换! 是如何代换的?D24B无穷小比较231x221x例例2. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1

7、)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32D24B无穷小比较内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0limCk1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小返回D24B无穷小比较2. 等价无穷小替换定理,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等价无穷小 :作业阅读阅读 p32-34P32 1单，单，2单，单，3单单 D24B无穷小比较设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则,limlim且.时此结论未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2D24B无穷小比较(3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界,