多解类数学问题的成因探析

1、多解类数学问题成因浅析姜垠市克强学校李齐荣关键词：数学问题多解成因探析内容摘要：一些需要分类讨论、答案不唯一的数学问题，许多学生不能正 确解答，分析其原因主要是题意语言表述模糊，学生思维定势，他们不能 全面地理解题意，不能发散思维，因此不能止确地解出这类问题。教者若 能在f1常教学过程中持之以恒地培养学生多角度、全方位地思考问题，突 破单一的思维模式，引导学生转换角度，发散思维，探索多途径解题，形 成基本技能和技巧，将有助于提高学生解决这类问题的水平。近年来，随着开放性题型的考查日益增多，数学试题屮常冇许多问题 不是唯一解，需要进行分类讨论。同学们会受思维定势和思维局限性的影 响，只能考虑出其

2、中一种情况或部分情况，而不能打破原有的思维模式， 展开联想和想象，从多角度、多方位、多层次进行思考，全面地、正确地 解决这类问题。探析这类问题的成因，主要是题意表述语言的模糊，学生 不能正确把握题意，生成对应思维。常见的有以下几种情况：一、初中数学中部分概念，定义时本身就使用了模糊语言，未表述清 楚。如等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。（在 三角形屮有三边，是哪两边相等呢？指代不明，要分类讨论。）等腰三角 形中，相等的两条边叫做腰，这两条相等的边所夹的角叫做顶角，除了顶 角z外的两个角叫做底角。对于这段文字，许多老师上课时会用各种方法 协助学生理解、记忆，然而检测时，学生对

3、概念的理解及应用类问题的正 确率往往并不高。许多同学深受思维定势和思维局限性的影响，解题时答 案不全面。例1：（1）有两边长分别为2、3的等腰三角形的周氏为（2）冇两边长分别为1、3的等腰三角形的周长为（3）有一角度数为30。的等腰三角形的其它两角的度数分别为（4）有一角度数为100°的等腰三角形的其它两角的度数分别为这类数学问题主要考查了学生对基木概念的理解及应用，使用的“技巧”就是文字表述不清。许多学生未能形成发散性思维，主观臆断。上述 问题中的边、角，出题者并未说清楚、说具体是什么边？（底边还是腰？） 是什么角？（顶角还是底角？）如问题（3）中的一角，同学们会主观地、 片面地认

4、为已知角是顶角或底角中的一种，而不是这样去分析，三角形屮 的角有顶角和底角之分，这个角未说清楚是顶角还是底角，那可能是顶角， 也可能是底角，要分两种情况去解这个问题。当然在解决这类问题时述要 注意考查的隐含知识点。如问题（1）、（2）中的三角形三边关系定理，问 题（3）、（4）中的三角形的内角和为180°等。例2：已知反比例函数）匸纟和一次函数尸2x1,其屮一次函数的图象经过（方），（a+k, b+k+2）两点。（1）求反比例函数的解析式？（2）已知a在第一象限，是两个函数的交点，求a点处标？（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点p,使aaop为等腰 三角形？分析：上题（3

5、）中，“ aaop为等腰三角形”，题意中未说清楚aaop是 以谁为顶点的等腰三角形，故要分为三种情况，当以a为顶点时，ao=ap； 当以0为顶点吋，a0二0p；当以p为顶点时，p0二ap。“在x轴上是否存在 点p”，点p可能在x轴正半轴，也有可能在x轴负半轴（坐标原点不满足 题意，舍）。若变式为“在坐标轴上是否存在点p”，则“坐标轴”述要分 为x轴和y轴两种情况去讨论。因此，在不知出题者貝体考查意图时，我 们要注意分类讨论各种口j能情况，逐一解答，才能使解题过程完整、完美。二、部分数学问题，文字语言的模糊性与符号语言的精确性有本质的 区别。如上例中“等腰zkaop”与“在aaop中,a0二ap

6、”，两句话都说出了 aa0p为等腰三角形，但前者未说清楚aaop是以谁为顶点的等腰三角形, 故要分为三种情况解题，而后者表述清楚、明了、唯一。因此，对部分使 用文字语言表述的数学问题，在将文字语言转化为符号语言时，要分情况 讨论。例3：已知力尿7的三边长分别为6 cm, 7. 5 cm, 9 cm,、def的一 边长为4 cm,求化尸的另两边长是多少时，这两个三角形相似。分析：题中只说这两个三角形相似，而未说清楚是 abc-adefaabcadfe aabcaedfaabcafde,即 4 cm 的边的对 应边不确定，要分三种情况，当4与6对应时，7. 5与9的对应边是多少？当4与7. 5对应

7、吋，6与9的对应边是多少？当4与9对应吋，6与7. 5的对应边是多少？例4：如图，点a (in, /+ 1), b (/ + 3, in 1)都在反比例函数y = x的图象上.(1) 求/，&的值；(2) 如果必为x轴上一点，为y轴上一 点，以点弭，b, m, n为顶点的四边形是平行 四边形，试求直线必v的函数表达式.分析：题屮只说“以点力，b, m, n为顶点的四边形是平行四边形”,而未说清楚是平行四边形abmn呢？还是平行四边形abnm?要分两种情况 情况讨论。三、部分数学问题设计时语言模糊，有歧义，不严谨。例5： a、b两地之间相距2700千米，一辆中巴以每小时50千米的速100

8、aa财八、b图(1)度从a地出发，一辆小汽车以每小吋80千米的速度从b地同时出发，相向而行，问多长时间后两车相距100千米？分析：本题“问多长时间后两车相距100千米？ ”时未说清楚是如图(1)吋两车相距100-t米，还是两车相遇后，继续前行，如图(2)吋 两车相距100千米。解：设经过x小时后两车相距100千米。界0若是如图(1)所示情况时，叮a图(2)b列方程：(80+50) x二2700-100,得 x二20若是如图(2)所示情况时，列方程：(80+50) x=2700+100,得x二型13 答：经过20小时或型小时后两车相距100 t*米。13例6：超市给一批散装大米装袋，要求每袋大米

9、的重量相同。第一次 拿岀大米总量的40%,装了 30袋还余下15千克；第二次把剩余的散装大米止好又装了 50袋（每袋大米的重量与第一次装袋时相同）。这批大米共有多少千克？分析：题屮“第二次把剩余的散装大米正好又装了 50袋”对“剩余 的散装大米”指代不明，有这儿种可能。第一种：“剩余的散装大米”可以理解为“第一次拿出大米总量的40% 后，剩余总数的60%”，若设这批大米共有x千克，方程列式：0.4x-15 = 0ar3050第二种：“剩余的散装大米”可以理解为“笫一次拿出大米总量的40%,装了 30袋述余下15千克没装完的大米”，若设这批大米共冇x千克,方程列式:0.4兀一15 _ 15-30

10、 50即上第三种：“剩余的散装大米”可以理解为“所有的剩余大米”述所说的两者z和，此时若设这批大米共冇x千克，方程列式为：0.4% 15 _ 0.6x + 153050-以上三种不同的理解，其答案也不同，无论是用哪种方法作答，都说 明学生已经很好地掌握了方程的解题方法和能力，但，因为本题中“剩余 的大米”指的主体不明，题意不严谨让很多考生和老师困惑，因此， 每一位数学教师要不断加强人文索养，养成表达简练、含义明确、逻辑严 密的语言习惯。新课程背景下的数学教学，要求教师必须具备新的教学理念。能善于 沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多 层次去引导学生认识。在教学过程中

11、，我们可以尝试对问题进行一题多变, 一题多问，一题多解，挖掘例题的深度与广度，扩大例题的辐射面，提高 能力，发散思维。如，对例1中的问题（1）,教者可以作如下变式：变式1：已知等腰三角形的腰长是2,底长是3,求周长。（基础题） 变式2：已知等腰三角形一腰长为2,周长为7,求底边长。（这是考查逆向思维能力）变式3：已知等腰三角形一边长为2,另一边长为3,求周长。（意同原题，需要改变思维策略，进行分类讨论）变式4：已知等腰三角形一边长为1,另一边长为3,求周长。（意同 例1中的问题（2）,显然“1”只能为底边，否则与三角形两边之和大于 第三边矛盾，这有利于培养学生思维的严密性）变式5：己知等腰三角

12、形的腰长为x,底边为y,周长是7,请写出x 与y的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（本题要求较高，特别 是对条件0<y<2x的理解应用，是完成此题的难点及关键。）教者教学时通过对例题进行层层变式，引导学生深入理解等腰三角形 的定义及三角形三边之间的关系，帮助学生形成思维定势，而又要打破思 维定势，有利于培养学生思维的变通性、灵活性及发散性。多解类的数学问题有助于培养学生思维，捉高学生能力。因此，教师 在口常教学过程中，首先要止确引导学生准确把握题意，然后科学地运用 一题多变，一题多问的方法，让学生体会文字语言的博大精深，着力引导 学生形成严谨的思维模式，提高学生突破陈规、大胆

13、地提出独特见解的能 力。最后，诱导学生转换角度，发散思维，探索多种解题方法，持之以恒 地培养他们多角度、全方位的解题思路，形成解决多解类数学的基本技能 和技巧。（二0 0年）江苏省教育学会优秀教育论文参评申报表 编号:7 匸会 利县 毬市z(x数1者 作荣 李者 作 合无编 邮务 1 一中 称 职诚信承诺0 哋同 口 城彳 8 狗人 刀 绝意 6 j凤年 ( o 亦礎201 m如荣 题处李 伽如 字 就h签 詐 人 係赤诺 划為承 、 、1 2论文关键词、只要论点、 -有无发表析檢甘叽创 探述解位途 珂意剣全 索 解题和角亀饬 多问 ，多思题 厶 ec it> aww i2 点不恒换生文 词论，以转学本 键要意 z 生高 关主题持学提子术组初审意见 八旨学会专家组复 审意见及等级评 字 签 委 评注：木表山参评者自填。注意：1、编号及木表故后两栏不填。2、教案分类要填正确，参见类别填写