D653高斯公式课件

1、D653高斯公式PPT课件第六节Green Gauss 推广推广一、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度二、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第六章 D653高斯公式PPT课件一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 高斯 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件231zyxyxD) ,(yxRyxyxRdd) ,(,

2、),(:11yxzz 证明证明: 设yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd为XY型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz定理1 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQd

3、ddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件例例1. 用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若

4、为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件例例2. 利用Gauss 公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyxhozyx解解: 作辅助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件zyxzyxIddd)(2利用重心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxh

5、yxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件二、通量与散度二、通量与散度引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为kzyxRjz

6、yxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, M在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点:

7、 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. ),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件定义定义: 设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称曲面, 其单位法向量 n, SnAd为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量) .在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作AdivzRyQxP机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件0divA表明该点处有正源, 0divA表明该点处有负源, 0div

8、A表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.P16 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且D653高斯公式PPT课件内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件2. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),(RQPASnAdzRyQxPAdiv机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 D653高斯公式PPT课件00cosrn00rn 备用题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y