ch3定积分习题课件

1、ch3定积分习题PPT课件一、主要内容一、主要内容 、 定积分定积分问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()(d)(aFbFxxfba 1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）iniixfA )(lim10 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线 )(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）i

2、niitvs )(lim10 设设某某物物体体作作直直线线运运动动，已已知知速速度度)(tvv 是是时时间间间间隔隔,21TT上上t的的一一个个连连续续函函数数，且且0)( tv，求求物物体体在在这这段段时时间间内内所所经经过过的的路路程程 S.方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，在在,ba中中任任意意若若干干若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上

3、上任任取取一一点点i （iix ），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfS )(1 ，可积的两个可积的两个条件：条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba

4、上上连连续续时时， 定理定理1定理定理2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个第一类间断点，则且只有有限个第一类间断点，则)(xf 在区间在区间,ba上可积上可积. . 3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( ( k为常数为常数 ) 性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性质性质3dxba 1dxba ab 性质性质4 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5如如

5、果果在在区区间间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2） 则则0)( dxxfba )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf， （3）, 0)( xf且且如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设M及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abM

6、dxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数 dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数 是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上上连续，则积分上限的函数连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个原函数上的一个原函数.定理定理

7、 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)(xF是连续函是连续函数数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于一一个个连连续续函函数数在在区区间间表表明明baba6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv、广义积

8、分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(l

9、im0ch3定积分习题PPT课件、定积分的应用、定积分的应用微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式1 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 2 2、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法

10、计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ；就就可可以以考考虑虑用用定定积

11、积分分来来表表达达这这个个量量U.3 3、所求量的特点、所求量的特点1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量，并确定它的变化区间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dx

12、xfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U4 4、解题步骤、解题步骤5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起

13、点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )(

14、 t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧(5) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( )(为线密度为线密度x (7) 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比

15、比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(10) 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12ch3定积分习题PPT课件二、典型例题二、典型例题例例1 1解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原原式式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ设设,220 dxJI则则

16、20cossincossindxxxxxJI 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 I故得故得.4 I即即例例3 3解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 则则 62)sincos(cosdtttt原原式式 262sincosdtttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln( 例例4 4解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2

17、440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I例例5 5. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例6 6.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原原式式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例7 7.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求设设解解 10022)1(2dxdyexxyy原原式式 102310

18、02322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e例例8 8.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf证证明明上上连连续续在在设设证证, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左左边边,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxx

19、xfdxxxxf 例例9 9.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证证明明上上连连续续，且且在在区区间间设设证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()( dtxftftfxfxFxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即例例1010

20、.123)2(;94)1(:2122 xxxdxxxdx求下列广义积分求下列广义积分解解 (1) 02029494xxdxxxdx原原式式 bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim .5 (2),1231lim)(lim211 xxxxfxx.)(1的瑕点的瑕点为为xfx 2120123lim xxxdx原式原式)11(2)11(lim21220 xxd210211arcsinlim x.43arcsin2 例例1111.)3;)2;)1)0(sincos33旋转体体积旋转体体积它绕轴旋转而成的它绕轴旋转而成的

21、它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设设弧弧长长为为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .30V设旋转体的体积为设旋转体的体积为由对称性由对称性,有有 axdxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例1212.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )2562