ch23函数的微分课件

1、2008年11月10日ch23函数的微分1 第第3节节 函数的微分函数的微分 1 1 问题的提出问题的提出2 2 微分的定义微分的定义4 微分的几何意义微分的几何意义5 5 微分的求法微分的求法 3 3 可微的条件可微的条件6 6 微分形式的不变性微分形式的不变性7 7 高阶高阶8 8 近似近似2008年11月10日ch23函数的微分21 1 问题的提出问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,2xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,

2、的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 02008年11月10日ch23函数的微分3再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的的高高阶阶无无穷穷小小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :是否所有函数的改变量都对应有一个线性函是否所有函数

3、的改变量都对应有一个线性函数数(改变量的主要部分改变量的主要部分)?它是什么它是什么?如何求如何求?2008年11月10日ch23函数的微分42 2 微分的定义微分的定义,)(在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数xfy ,00在这区间内在这区间内及及xxx 如果如果)()()(00 xoxAxfxxfy ),(无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立xA 则则称称函函数数)(xfy ,0可可微微在在点点 x为为函函数数并并且且称称xA 相应于自变量相应于自变量在点在点0)(xxfy ,的微分的微分增量增量 x 定义：定义：2008年11月10日ch23函数的微分5.的的线线性性主主

4、部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) )记记作作),(00 xdfdyxx或或 .0 xAdyxx 即即由定义知由定义知: :;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy 2008年11月10日ch23函数的微分6;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx 2008年11月10日ch23函数的微分73

5、 3 可微的条件可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数2008年11月10日ch23函数的微分8(2) 充分性充分性,)(0 xxxfy 从从而而,)(0 xfxy即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(0

6、0Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数2008年11月10日ch23函数的微分9例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导

7、数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy2008年11月10日ch23函数的微分104 4 微分的几何意义微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义 ( (如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 2008年11月10日ch23函数的微分115 5 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导

8、数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式(csc )csc cotdxxxdx (sec )sectandxxxdx 2(tan )secdxxdx 2(cot )cscdxxdx (sin )cosdxxdx (cos )sindxxdx 1()d xxdx ( )0d C 2008年11月10日ch23函数的微分12dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、

9、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdcducuddvduvud arc2008年11月10日ch23函数的微分13例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 2008年11月10日ch23函数的微分146 6 微分形式的不变性

10、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),( ,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 2008年11月10日ch23函数的微分15例例5 5解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebx

11、bdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 2008年11月10日ch23函数的微分16例例6 62( )sin,( ),.yf xxxttdy 设设求求.注意可以利用一阶微分的形式不变性2008年11月10日ch23函数的微分177 7 高阶微分高阶微分阶微分阶微分n 一阶微分：一阶微分：dxxfdf)( 二阶微分：二阶微分：22)( dxxffd nnndxxffd)()( 222)

12、( )( )( )(dxxfdxxfdxxfddfdfd 2222 () ; ().dxdxd xx注意指表示 的一阶微分 （有形式不变性）（有形式不变性） （没有形式不变性）（没有形式不变性）必须是自变量必须是自变量2008年11月10日ch23函数的微分18例例6 622( )sin,( ),d.yf xxxttdyy 设设求求错误解法错误解法:222222222222( ), ( )sinsin ,244 sind ffx dxfxxtdxdxtdtt dtd ftt dt利用公式则，故原因原因: x为中间变量为中间变量, 而二阶以上微分无形式不变性而二阶以上微分无形式不变性.正确解法正

13、确解法:2 ( ) ( ), sin,xtyf xyt 先先将将代代入入得得2222 2 cos,2cos4sin.yttyttt 于于是是由由 (1) 得得22222d( 2cos4sin)d.ytttt 2008年11月10日ch23函数的微分198 8 近似计算近似计算.)(0 xxf 00 xxxxdyy 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值 （以直代曲）（以直代曲）;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 x

14、xf.)0()0()(xffxf ., 00 xxx 令令2008年11月10日ch23函数的微分20例例7 7?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 2008年11月10日ch23函数的微分21例例8 8.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso

15、3603sin3cos 3602321 .4924. 0 2008年11月10日ch23函数的微分22常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为为弧弧度度为为弧弧度度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 2008年11月10日ch23函数的微分23例例9 9.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3

16、)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 2008年11月10日ch23函数的微分24微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可可微微可可导导 小结小结2008年11月10日ch23函数的微分25导数与微分的区别导数与微分的区别:., ,)(),()(. 10