ch112数列极限课件

1、2021-11-20福福 州州 大大 学学22021-11-20课程特点课程特点 本课程与中学数学课程有很大不同，本课程与中学数学课程有很大不同，课程相当紧凑，每一节课讲的内容多，课程相当紧凑，每一节课讲的内容多，进度快。进度快。 较多的内容需要演算论证和较多的内容需要演算论证和逻辑推理，还有一些运算比较复杂，需要逻辑推理，还有一些运算比较复杂，需要有耐心和细心。有耐心和细心。 高数是学习专业基础课、专业课高数是学习专业基础课、专业课 一一种重要的数学工具。种重要的数学工具。 福福 州州 大大 学学32021-11-20教学安排教学安排第一章第一章 极限与连续极限与连续 16学时学时第二章第二

2、章 一元函数微分学一元函数微分学 20学时学时第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学 24学时学时第四章第四章 微分方程微分方程 12学时学时(期中考期中考 复习复习 2 学时学时)期末总复习期末总复习 6 学时学时本学期授课内容从第一章至第四章。本学期授课内容从第一章至第四章。 福福 州州 大大 学学42021-11-20基本要求基本要求 一、课前要预习一、课前要预习 二、课堂上要认真听讲，适当做一些二、课堂上要认真听讲，适当做一些课堂笔记以便课后复习。课堂笔记以便课后复习。 三、课后要认真三、课后要认真独立独立完成布置的作业，完成布置的作业，作业要准时交。每次上课前交。作业要准时交。每

3、次上课前交。 ,至少要翻一下书，至少要翻一下书，知道上课讲什么。知道上课讲什么。(自学能力自学能力)2021-11-20参考书目：参考书目：高等数学全真课堂高等数学全真课堂 北京大学数学科学院编，北京大学数学科学院编，学苑出版社，学苑出版社， 2003年年 高等数学习题集高等数学习题集 北京大学数学科学学院北京大学数学科学学院 韩松韩松 主编，主编，科学技术文献出版社，科学技术文献出版社，2000年年 2021-11-20福福 州州 大大 学学72021-11-20第一节第一节 微积分中的极限方法微积分中的极限方法例例1、曲边三角形面积问题、曲边三角形面积问题求求 y = x2 与与 x 轴、

4、直线轴、直线 x = 1所围曲边三角形的面积所围曲边三角形的面积 S. o1 xy2xy n个小矩形面积个小矩形面积 Sn1nin2n1in 22211nnnnn 211nSnn niin1231)12)(1(6113 nnnn)12)(11(61nn )12)(11(61limnnn nnSS lim13 福福 州州 大大 学学82021-11-20例例2、瞬时速度问题、瞬时速度问题设质点沿直线运动的位置函数为设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ，求其在时刻求其在时刻 t0 的的(瞬时瞬时)速度速度. )(0ts)(ts0ttsot0 到到 t 的平均速度为的平均速度为stv 故

5、在故在 t0 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0000( )( )( )limtts ts tv tttt ,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间,0时时当当tt 0( ),vv t00( )( )s ts ttt福福 州州 大大 学学92021-11-20第二节第二节 数列极限的定义数列极限的定义一、概念的引入一、概念的引入二、数列的定义二、数列的定义三、数列的极限三、数列的极限四、数列极限的性质四、数列极限的性质福福 州州 大大 学学102021-11-201 1、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一

6、天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1一、概念的引入一、概念的引入福福 州州 大大 学学112021-11-20“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽福福 州州 大大 学学122021-11-20二、数列的定义二、数列的定义数列定义数列定义 按照某一法则按照某一法则 , , 对每个自然数对每个自然数 n , , 都有确定

7、的实数都有确定的实数xn与之对应，这列有序的数：与之对应，这列有序的数： x1 , x2 , . , xn , . 称为称为数列数列 (sequence),数列中的每个数叫做数列的项数列中的每个数叫做数列的项，第第 n 项项 xn 叫做数列的叫做数列的一般项一般项或或通项通项, , 1)(nnx数列数列简记为简记为福福 州州 大大 学学132021-11-20例如例如,2 , 8 , 4 , 2) in;2nnx 1)2(nn,21,81,41,21ii)n;21nnx 121nn,)1( , 1 , 1, 1iii)1 n;)1(1 nnx 11)1(nn,)1(,34,21, 2iv)1n

8、nn 11)1(nnnn;)1(1nnxnn 福福 州州 大大 学学142021-11-20注意：注意：1.数列对应着数轴上一个数列对应着数轴上一个点列点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx,333,33, 3 2. 数列数列实质上实质上是定义在是定义在正整数集正整数集上的函数：上的函数： xn = f ( n )，n Z+整标函数整标函数福福 州州 大大 学学152021-11-20nxn播放播放三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn11 4122 3(),n nn nn n

9、福福 州州 大大 学学162021-11-20问题问题: 当当 n 无限增大时无限增大时, xn 的变化趋势如何？的变化趋势如何？把把n无限增大无限增大这个重要的变化过程记为这个重要的变化过程记为 n。.1)1(1,1无无限限接接近近于于时时当当nxnnn .021,无无限限接接近近于于时时当当nnxn .2,无限增大无限增大时时当当nnxn .)1(,没有确定的变化趋势没有确定的变化趋势时时当当nnxn 福福 州州 大大 学学172021-11-20：的的变变化化趋趋势势分分为为三三类类时时当当nxn, .)1axn常常数数无无限限接接近近于于某某个个确确定定的的.,)2即即趋趋向向无无穷穷

10、大大无无限限增增大大nx.)3没没有有确确定定的的变变化化趋趋势势nx.lim,)(,)(11axaxaxnxnnnnnnn 并并记记为为的的极极限限是是则则称称定定数数一一个个无无限限接接近近于于时时若若当当对对数数列列,1)1(1lim1 nnn,021lim nn.)1(,2没没有有极极限限而而数数列列nnnnxx 2limn nn n (不存在不存在)福福 州州 大大 学学182021-11-20问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 ,1001给定给定,10011 n由由100,n 只只要要11,10

11、0nx 要要,10001给定给定 只只要要n11,10000nx 要要,100001给定给定11,1000nx 要要,1)1(1lim1 nnn例如例如(xn 与与1 的距离的距离)1000, 只只要要n10000,无论给定多么小的正数无论给定多么小的正数(距离距离), 0 给给定定1nx 要要成成立立，1N . 只只要要n(这时这时, xn就无限接近于就无限接近于1)(条件条件)(结论结论)福福 州州 大大 学学192021-11-20如果这样的常数如果这样的常数 a 不存在不存在, 就说数列没有极限就说数列没有极限,或说数列是发散的或说数列是发散的.例子例子说明：说明：;. 1的的无无限限

12、接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn 但未必是但未必是 的函数的函数; 一般一般, 取越小取越小, 相应相应 N 就越大就越大,例子例子3. N与与n无关无关, N不是唯一的不是唯一的.2. N可能与可能与 有关，有关，例子例子福福 州州 大大 学学202021-11-20下列陈述是否能作为极限下列陈述是否能作为极限 的定义？的定义？若不能，请举例说明若不能，请举例说明. .limnnxa(1) 对任意的对任意的0, 存在存在N,当当n N时时, 成立成立 xn a 0, 存在无限个存在无限个xn , 满足满足|xn a| 条件跟条件跟 无关无关N不受限制不受限制, 不是不是 的函

13、数的函数 福福 州州 大大 学学222021-11-20例例2. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给1,nx 要要,1 n只只要要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使定义N当当说明说明: 1.用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时,关键关键:任意任意给定给定 寻寻找找 N ,但不必要求最小的但不必要求最小的 N., 0 2. 具有具有任意性任意性和和相对稳定性相对稳定性的的双重意义双重意义.任意性任意性

14、刻划了刻划了xn 与与 A 无限接近程度无限接近程度.相对稳定性相对稳定性:一经取定就确定下来了一经取定就确定下来了.注：注： N与与n无关无关, N不是唯一的不是唯一的.福福 州州 大大 学学232021-11-20例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证0, ,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 01(), ？福福 州州 大大 学学242021-11-20用定义证明用定义证明 xn= a，就是，就是证明对证明对 0，N存在存在.

15、 nlim从从 |xn a| 找找 N 与解不等式与解不等式 |xn a| 意义不同意义不同.证明的过程就是证明的过程就是寻找寻找 N 的过程，证明的的过程，证明的方法方法是是从分析从分析 |xn a| ( )于是可取于是可取 ( ) 为为 N。由于。由于N 不唯一不唯一，故可把故可把 |xn a| 适当放大适当放大，得到一个新的不等式，得到一个新的不等式，再找再找 N。注意：注意：福福 州州 大大 学学252021-11-20 x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点

16、时时当当NaaxNnn 推论推论).,(),( aUxaUaaxnn 只只有有有有限限多多项项邻邻域域的的任任一一对对收收敛敛于于数数列列数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意：., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使定义N当当领域领域(N+1项以后项以后)(问问:N项以前呢？项以前呢？)福福 州州 大大 学学262021-11-20邻域邻域: (neighborhood) 补充补充a),(0aU0( , )(, ) ( ,) |U aaaa ax axaxa 且且点点 的去心的去心 邻域邻域a|),(),(axaxaaaU: ),(aU

17、点点 的的 邻域邻域0),(aUa),(aU实数实数 称为称为 的的半径半径， 称为称为 的的中心中心xa a a (a R)其中，其中，福福 州州 大大 学学272021-11-20四、数列极限的性质四、数列极限的性质定理定理1 若极限若极限 存在，则极限是惟一的存在，则极限是惟一的.nnx lim1. 极限的惟一性极限的惟一性1)有界有界(无界无界)数列的定义数列的定义2. 收敛数列的有界性收敛数列的有界性对数列对数列 , 若存在正数若存在正数 M , 使得对使得对一切一切自然自然数数 n , 恒有恒有 成立成立, 则称则称数列数列 有界有界,否则否则, 称为称为无界无界.Mxn | 1)

18、(nnx 1)(nnx例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列有界有界无界无界数轴上对应于数轴上对应于有界数列有界数列的点的点xn都都落在闭区间落在闭区间-M,M上上.福福 州州 大大 学学282021-11-202 2） 定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义,1, 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数.)(1有界有界故故 nnx(全局全局有界性）有界性）., 0, 0lim axNnNaxnnn

19、恒有恒有时时使使定义N当当福福 州州 大大 学学292021-11-20定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注意：注意：有界性是数列收敛的有界性是数列收敛的必要非充分必要非充分条件条件.如：如：.,)1(1但但却却是是发发散散的的是是有有界界数数列列数数列列 nnx (即即 作业作业P4 P4 二二3)3)证：证： 000000,lim, limnnnnnnnnnnnnnnxMxMyNZnNyyMMx yxyM yMx yM 由由于于有有界界 所所以以存存在在使使又又因因此此当当时，时，福福 州州 大大 学学302021-1

20、1-203. 极限的保号性极限的保号性).0(0,0, )0(0,lim nnnnxxNnNAAAx或或时时当当则则或或且且若若定理定理3 N Z+220,0AAnANZnNxA 证：若，取则当时有2220,0.AAAnANZnNxAA 若，取则当时有福福 州州 大大 学学312021-11-20定理定理4 4 如果如果数列收敛，则它的任一个子数列数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同也收敛，且极限相同. .212 limlimlim.nnnnnnxaxxa 定理5(作业：作业：P4 二二4)4.4.子数列的归并性子数列的归并性( (子数列的收敛性子数列的收敛性) )在数列在数列 中任

21、意抽取无穷多项并中任意抽取无穷多项并保持保持这些这些项在原数列中的先后项在原数列中的先后顺序顺序 , 这样得到的数列记这样得到的数列记为为 , 称为数列称为数列 的的子数列子数列. 1)(nnx 1)(nnx 1)(knkx 1)(knkx推论推论).,(),( aUxaUaaxnn 只只有有有有限限多多项项邻邻域域的的任任一一对对收收敛敛于于数数列列福福 州州 大大 学学322021-11-20五五.小结小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性有界性 唯一性唯一性.作业

22、：作业： 作业本中作业本中1.1 -1.2 那页那页福福 州州 大大 学学332021-11-202 2、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽福福 州州 大大 学学342021-11-202 2、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽福福 州州 大大 学学352021-11-20“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割

23、，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽福福 州州 大大 学学362021-11-20“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽福福 州州 大大 学学372021-11-20“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽福福 州州 大大 学学382021-11-20“割之弥细，所割之弥细

24、，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽福福 州州 大大 学学392021-11-20“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽福福 州州 大大 学学402021-11-20“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽福福 州州 大大 学学412021-11-20“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽福福 州州 大大 学学422021-11-20.)1(1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnnn三、数列的极限三、数列的极限福福 州州 大大 学学432021-11-20三、数列的极限三、数列的极限.)1(1(1