高考数学-函数与导数(知识点归纳+习题)

1、专题六函数导数专题【命题趋向 】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、 思辨性和应用意识解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、 分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则这些综合地统揽各种知识

2、、 应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性高考中， 函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用， 而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性 在一套高考试卷中一般有2-3 个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一【考点透析 】函数和导数的主要考点包括函数的概念、

3、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等【例题解析 】题型 1 函数的概念及其表示例 1 （2008 高考山东文5）设函数2211( )21xxf xxxx，则1(2)ff的值为（）a1516b2716c89d18分析 ：由内向外逐步计算解析：1124,24ff，故211115124416fff答案 a点评 ：本 题考查分段函数的概念和运算能力解决的关键是由内到外“ 逐步有选择 ” 的代入函数解析式，求出函数值例 2 如图，函数fx的图象是曲线oab， 其中点,o a b的坐标分别为0,0 ,(1,2),(3,1)， 则13ff的值等于分析 ：从图象上理

4、解自变量与函数值的对应关系解析 ：对于(3)1,f(1)2f点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质题型 2 函数的图象与性质例 3 已知m为非零实数，若函数ln(1)1myx的图象关于原点中心对称，则m分析 ：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x都有fxfx点特点可得一个关于x的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m的值，特别地0000fff也可以解决问题解析：对于函数ln(1)1myx的图象关于原点中心对称,则对于00f，因此有ln(1)0,11,2mmm答案2点评 ：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种

5、对称性，这二者之间是可以相互转换的例 4 设0.213121log 3,23abc，则（）aabcbcbaccabdbac分析 ：以0和1为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决解析 ：对于0.213121log30,1,213abo c，因此abc答案 a点评 ：大小比较问题， 可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线题型 3 函数与方程例 5函数23123xxfxx的零点的个数是a0b1c2d3分析 ：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决解 析 ： 对 于22131()024fxxxx， 因 此

6、 函 数fx在r上 单 调 递 增 ， 而 对 于523( 2)0,(2)033ff，因此其零点的个数为1个答案 b点评： 本例和例9 在本质方法上是一致的，其基本道理就是“ 单调函数至多有一个零点” ，再结合连续函数的零点定理，探究问题的答案例 6函数221fxmxx有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是a,1b,01c,00,1d,1分析 ：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决解析： 当0m时，12x为函数的零点；当0m是，若0，即1m时，1x是函数唯一的零点，若0， 显 然 函 数0 x不 是 函 数 的 零 点 ， 这

7、样 函 数 有 且 仅 有 一 个 正 实 数 零 点 等 价 与 方 程2210fxmxx有一个正根一个负根，即00mf，即0m综合知答案b点评： 分类讨论思想、 函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致还要注意函数的零点有“ 变号零点 ” 和“ 不变号零点 ” ，如本题中的1x就是函数的 “ 不变号零点 ” ，对于 “ 不变号零点 ” ，函数的零点定理是“ 无能为力 ” 的，在解决函数的零点时要注意这个问题题型 4 简单的函数模型及其应用例 7经市场调查， 某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量 （件） 与价格 （元） 均为时间t（天）的函数，且销售量近似满

8、足802g tt（件），价格近似满足1( )20|10|2f tt（元）（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（020t）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值分析 ：函数模型就是销售量乘以价格，价格函数带有绝对值，去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可解析： （ 1）1( )( )(802 ) (20|10|)(40)(40|10 |)2yg tf ttttt(30)(40), (010),(40)(50), (1020).tttttt （2）当010t时，y的取值范围是1200,1225，在5t时，y取得最大值为1225；当1020t

9、1 时，y的取值范围是600,1200，在20t时，y取得最小值为600答案 ：总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；第20天，日销售额y取得最小为600元点评：分段函数模型是课标的考试大纲所明确提出要求的一个，分段函数在一些情况下可以用一个带有绝对值的解析式统一表达，要知道带有绝对值的函数本质上是分段函数，可以通过 “ 零点分区 ” 的方法去掉绝对值号再把它化为分段函数题型 5 导数的意义、运算以及简单应用例 8（ 2008 高考江苏8） 直线bxy21是曲线)0(lnxxy的一条切线，则实数b分析 ：切线的斜率是12，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来b的值解析 ：方法一

10、1yx，令12y得2x，即切点的横坐标是2，则纵坐标是ln 2，切线过点2,ln 2，所以ln 21b方法二：设曲线上一点点坐标是00,lnxx，由1yx知道过该点的曲线的切线的斜率是01x，故过该点的曲线的切线方程是0001lnyxxxx， 即001l n1yxx， 根据已知这条直线和直线bxy21重合，故002,ln1ln 2 1xbx答案：ln 21点评 ：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，解题的突破口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略在解题中不少考生往往忽视“ 切点在切线上 ” 这个简单的事实，要引以为戒例 9已知物体的运

11、动方程为tts32（t是时间，s是位移），则物体在时刻2t时的速度为a419b417c415d413分析 ：对运动方程求导就是速度非常解析：232stt，将2t代入即得答案d点评 ： 本题考查导数概念的实际背景，考试大纲明确提出“ 了解导数概念的实际背景” ， 要注意这样的考点例 10 若函数3213fxxa x满足：对于任意的12,0,1x x都有12| 1fxfx恒成立， 则a的取值范围是分析 ：问题等价于函数fx在区间0,1的最大值与最小值的差不大于1，可以通过求函数fx在0,1上的最值解决解析 ：问题等价于函数在0,1的maxmin1fxfx22fxxa，函数3213fxxa x的极小

12、值点是xa， 若1a， 则函数fx在0,1上单调递减， 故只要011ff， 即只要243a，即2 313a；若1a，此时322min1233fxfaaa aaa，由于2100,13ffa，故当33a时，max1fxf，此时只要2212133aaa即可，即222133aa，由于33a，故223110333a，故此时成立；当313a时，此时max0fxf，故只要2213aa即可，此显然故43a，即a的取值范围是223,333点评 ：三次函数一直以来都是大纲区高考的一个主要考点，主要用这个函数考查考生对用导数研究函数性质、研究不等式等问题的理解和掌握程度，随着课标的考试大纲对导数公式的强化，课标区高

13、考的函数导数解答题已经把函数的范围拓宽到了指数函数、对数函数、三角函数等（包括文科），但三次函数是高中阶段可以用导数研究的最为透彻的函数之一，高考也不会忽视了这个函数! 题型 6 导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合运用例 11 已知函数( )lnaf xxx，（1）当0a时，判断( )f x在定义域上的单调性；（2）若( )f x在1, e上的最小值为32，求a的值；（3）若2( )f xx在(1,)上恒成立，求a的取值范围分析 ：（ 1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间1, e上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准；（3）由于参数a是“ 孤立

14、 ” 的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决解析 ：（ 1）由题意：( )f x的定义域为(0,)，且221( )axafxxxx0,( )0afx，故( )f x在(0,)上是单调递增函数（2）由（ 1）可知：2( )xafxx 若1a，则0 xa，即( )0fx在1, e上恒成立，此时( )fx在1, e上为增函数，min33( )(1),22f xfaa（舍去） 若ae，则0 xa，即( )0fx在1, e上恒成立，此时( )fx在1, e上为减函数，min3( )( )122aef xf eae（舍去） 若1ea，令( )0fx得xa，当1xa时，( )0,( )fxf

15、x在(1,)a上为减函数，当axe时，( )0,( )fxf x在(, )a e上为增函数，min3( )()ln()12f xfaaae，综上可知：ae（3）22( ),lnafxxxxx又30,lnxaxxx令232116( )ln, ( )( )1ln3,( )6xg xxxxh xgxxxh xxxx，( )h x在1,)上是减函数，( )(1)2h xh，即( )0g x，( )g x在1,)上也是减函数，( )(1)1g xg令1a得( )ag x，当2( )f xx在(1,)恒成立时，1a点评 ：本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质，地三问是借助于导数研究不等式

16、，这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性确立分类讨论的标准本题第三问实际上是对函数g x两次求导，也要注意这个方法例 12已知函数)0()(txtxxf和点)0,1(p，过点p作曲线)(xfy的两条切线pm、pn，切点分别为),(11yxm、),(22yxn（1）求证：21,xx为关于x的方程022ttxx的两根；（2）设)(tgmn，求函数)(tg的表达式；（3）在（ 2）的条件下，若在区间16,2内总存在1m个实数121,ma aa（可以相同），使得不等式)()()()(

17、121mmagagagag成立，求m的最大值分析 ：（ 1）写出曲线上任意一点处的切线方程后，把点p点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数t的方程，而两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数t为系数的一个方程的两个解；（ 2）根据第一的结果和两点间距离公式解决；（3）根据第二问的结果探究解题方案解析 ：（ 1）由题意可知：112212,ttyxyxxx，21)(xtxf， 切线pm的方程为：)(1 ()(12111xxxtxtxy，又切线pm过点)0 ,1 (p，有)1)(1()(012111xxtxtx，即02121ttxx，同理，由切线pn也过点)0, 1 (p，得0

18、2222ttxx由、，可得21,xx是方程022ttxx（ * ）的两根（2）由（* ）知.,22121txxtxx22211221)()(xtxxtxxxmn)1(14)(22121221xxtxxxxtt20202，)0(2020)(2ttttg（3）易知)(tg在区间16,2上为增函数，)16()()2(gaggi)1, 2, 1(mi，则)16()()()()()2(121gagagagaggmmm即)16()2(ggm，即1620612022022022m，所以3136m，由于m为正整数，所以6m又当6m时，存在2621aaa，167a满足条件，所以m的最大值为6点评 ：本题第一问的

19、解决方法具有一般的意义，许多过一点作曲线的两条切线、两个切点的横坐标之间的关系都可以得到这个结论，这对进一步解决问题往往是关键的一步本题第三问的解决方法用的是先估计、再确定的方法，也只得仔细体会例 13已知ln()ln,0 ,( )xfxaxxxeg xx，其中e是自然常数，.ar（1）讨论1a时, ( )f x的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，1|( )|( )2f xg x；（3）是否存在实数a，使( )f x的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由分析 ：（ 1）求导后解决；（2）去绝对值后构造函数、利用函数的单调性解决，或是证明函数mi nma x12fxg

20、 x；（ 3）根据极值点是不是在区间,0e确立分类讨论的标准，分类解决解析 ：（ 1）xxxflnxxxxf111当1xe时，0 xf，此时xf为单调递减，当01x时，0 xf，此时xf为单调递增，xf的极小值为11f（2）xf的极小值，即xf在0 , e的最小值为1，1minxf令21ln21xxxgxh又2ln()1xhxx， 当0 xe时0 xhxh在0, e上单调递减minmax12121211xfeehxh当0, ex时，21xgxf（3）假设存在实数a，使xaxxfln有最小值3，0, ex，xaxf1当ea1时，由于0, ex，则01xaxf函数xaxxfln是0, e上的增函数

21、31minaeefxf解得eea14（舍去）当ea1时，则当axe1时，01xaxf此时xaxxfln是减函数当01xa时，01xaxf，此时xaxxfln是增函数31ln11minaafxf解得2ea点评： 本题的第二问实际上可以加强为证明对任意的12,0 x xe证明1212fxg x；第三问的解答方法具有一般的意义，即求函数在指定闭区间上的最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进行的题型 7 函数的应用、生活中的优化问题例 14（2008 高考江苏卷17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形abcd的顶点ba,及cd的中点p处，已知20,10abkm bckm，为了处理三家工厂的污水，现

22、要在该矩形abcd的区域上（含边界），且与ba,等距离的一点o处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道opboao,，设排污管道的总长为ykm（1）按下列要求建立函数关系式：设()baorad，将y表示为的函数；设()opx km，将y表示为x的函数关（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短分析 ：（ 1）已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；（2）根据建立的函数模型，选择合理的模型和方法解决解析 ：（ 1）如图，延长po交ab于点q，由条件知pq垂直平分ab，若baorad，则10coscosaqoabao，故10cosob又1010op

23、tan，所以10101010coscosyoaoboptan所求函数关系式为2010sin10(0)cos4y若()opx km，则10oqx，所以222(10)1020200oaobxxx所求函数关系式为2220200(010)yxxxx（2）选择函数模型方法一 ：（使用导数的方法）2210coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)coscosy令0y得1sin2，046， 当( 0 , )6时0y，y是的减函数； 当(,)64时0y，y是的增函数所以函数在6处取得极小值，这个极小值就是函数y在0,4的最小值，min120 1021010 31032y当6时，1020 33c

24、os6aobokm因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到,a b两点的距离均为20 33km时，铺设的排污管道的总长度最短方法二 ：（传统的方法）2010sin2sin101010coscosy，记2sincost，则sincos2t，化为22sin1t，其中221cos,sin11ttt，由正弦函数的有界性知2211t，解得3t或3t，又当04时2sin0cost，故3t，即t的最小值为3，当3t时，13sin1,cos,sin22，由此知可以取3，此时6，即当6时，函数y有最小值（下同方法一）方法三 ：（从几何意义上考虑）同方法二，2sincost，则t可以看作是平面上的定点m0,2，与动点

25、cos ,sinn上连点的斜率，而动点n是单位圆221xy在第二象限的后半区的一段弧，设过点0,2m的直线方程为2ytx，由于圆心到直线的距离不大于圆的半径，则2211t(下面的分析类似解法一)选用函数模型：方法一：（导数的方法）2220120200 xyxx，令0y则220200202xxx，平方得23602000 xx，解得10 3103x，由于010 x，故10 3103x，并且可以判断这个是函数的最小值点，此时10 33oq，下面对实际问题的解释类似上面的解法方法二 ：（判别式的方法）将函数y看作常数，移项，平方，整理得223240800-0 xyxy，由于x是实数，故2244012

26、8000yy，即2208000yy，解得1010 3y，或1010 3y，由于0y，舍掉这个解，故函数y的最小值是1010 3，当1010 3y时，方程223240800-0 xyxy有两个相等的实数根2 1010 34024010 3102363yx（下面对实际问题的解释类似于上面的解法）点评：本题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力 命题者匠心独具地把对同一个问题让考生用不同的变量建立数学模型，而在接下来的第二问中又要求考生选用所建立的两个函数模型中的一个来解决优化问题，这就要求考生有对数学模型较高的鉴赏能力， 选用的模型不同，其简繁

27、程度就不同，使考生在比较鉴别中体会数学的美学价值，是一道值得称道的优秀试题题型 8 定积分（理科）例 15若20(sincos )2xax dx，则实数a等于a1b1c3d3分析 ：根据微积分基本定理计算定积分，利用方程解决解析：20(sincos )(cossin)12,120 xax dxxaxaa答案 a点评 ：根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，使这个函数的导数等于被积函数，同时要合理地利用定积分的性质和函数的性质简化计算例 16（广东潮州市20082009 学年度第一学期高三级期末质量检测理科第13 题） 两曲线xxyyx2,02所围成的图形的面积是_分析：根据函数图象

28、把所求的面积表示为函数的定积分，根据微积分基本定理求出这个定积分即可解析 ：由xxyyx202，解得00yx，或33yx，即两曲线的交点)0,0(o和)3,3(a，所求图形的面积为29|)3123()2(3032230 xxdxxxxs答案29点评 ：定积分的简单应用主要就是求曲边形的面积，注意根据函数图象准确地地用定积分表示这个面积【专题训练与高考预测】一、选择题1已知函数)0(4)3(),0()(xaxaxaxfx满足对任意12xx，都有1212()()0f xf xxx成立，则a的取值范围是（）a41, 0b0,1c1 ,41d0,32定义在r 上的函数( )f x的图象关于点3(, 0

29、)4成中心对称，对任意的实数x 都有3( )()2f xf x= -+，且(1)1,f -=(0)2f= -，则(1)(2)(3)(2008)ffff+ 鬃 ?的值为（）a2-b1-c0 d1 3已知函数xxfln3)(；xexfcos3)(；xexf3)(；xxfcos3)(其中对于)(xf定义域内的任意一个自变量1x都存在唯一个自变量2x，使12()()3f xf x成立的函数是（）abcd4设ar，函数( )xxf xea e的导函数是( )fx，且( )fx是奇函数 若曲线( )yf x的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（）aln 22bln 2cln 22dln 25已知函数l

30、nlnaxfxx在1,上为减函数，则实数a的取值范围是（）a10aeb0aecaedae6一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为ttts2233123，那么速度为零的时刻是（）a0秒b1秒末c2秒末d1秒末和2秒末二、填空题7已知函数1( )lnsin1xfxxx，则关于a的不等式2(2)(4)0f af a的解集是8已知函数xxmxxf2ln2在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_9（文科）有下列命题：函数coscos44yxx的图象中，相邻两个对称中心的距离为；函数31xyx的图象关于点1,1对称；关于x的方程2210axax有且仅有一个实数根，则实数1a；已知命题p：对任意

31、的xr，都有sin1x，则p：存在xr，使得sin1x其中所有真命题的序号是9（理科）（ 1）22sin xdx【解析】332这个面积是33223115322339333xxxdxxx三 解答题10已知函数212xxfxeax，其中a为实数（1）若12a时，求曲线( )yf x在点1,(1)f处的切线方程；（2）当12x时，若关于x的不等式0fx恒成立，试求a的取值范围11已知4232)(23cxxxxf，)()(2xfeexgxx，（1）若fx在21x处取得极值，试求c的值和fx的单调增区间；（2）如右图所示，若函数)(xfy的图象在,ba连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在),(b

32、ac使得)(cf？（用含有, ,a b faf b的表达式直接回答）（3）利用（ 2）证明：函数( )yg x图象上任意两点的连线斜率不小于24e12已知函数2ln ,0fxx g xaxx a（1）若函数yfx与yg x的图象在公共点p 处有相同的切线，求实数a的值并求点p 的坐标；（2）若函数yfx与yg x的图象有两个不同的交点m、n，求a的取值范围；（ 3）在（ 2）的条件下，过线段mn的中点作x轴的垂线分别与fx的图像和g x的图像交,s t点，以s为切点作fx的切线1l，以t为切点作g x的切线2l是否存在实数a使得1l/2l，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由【参考答案

33、】1解析： a 条件等价于函数fx单调递减2解析： d 由3( )()2f xf x= -+，得(3)( )f xf x+=，因此，( )f x是周期函数，并且周期是3函数( )f x的图象关于点3(, 0)4成中心对称 , 因此，( )f x=-3()2fx-，所以，(1)1f=(1)(2)(3)0fff+=，(1)(2)(3)(2008)ffff+ 鬃 ?(1)f3解析： a 是周期函数不唯一，排除；式当1x=1 时，ln10不存在2x使得成立，排除；答案：a4解析：d xxfxeae，由于fx是奇函数， 故fxfx对任意x恒成立， 由此得1a，由32xxfxee得22320 xxee，即

34、2210 xxee，解得2xe，故ln2x，故切点的横坐标是ln 25解析： d 221(lnln )1(lnln )xaxaxxfxxx，因为fx在1,上为减函数，故0fx在1,上恒成立，即ln1lnax在1,上恒成立，等价于ln1lnax在1,上的最大值设1lnxx，max1x，故ln1a，ae，选答案d6解析： d 232stt，即232vtt，令0v，解得1t或2，选答案d7解析：( 3, 2)1( )lnsin1xf xxx是奇函数，又12(1)2( )lnsinlnsinln1sin111xxf xxxxxxx，fx在1,1单调递增，故fx定义在1,1上的且是增函数由已知得2(2)

35、(4)f af a即2(2)(4)f afa故22322412113321415335aaaaaaaaa或即不等式的解集是( 3, 2)8 解析：1,21220fxmxx对一切0 x恒成立，2122mxx， 令212g xxx，则当11x时，函数g x取最大值1，故21m，即12m9（文科）解析：函数1coscoscos 2442yxxx，相邻两个对称中心的距离为22td，错误；函数31xyx图象的对称中心应为1,1，错误；正确；正确9（理科）解析：2222002sin2sin2( cos )2xdxxdxx（2）直线xy2与抛物线32xy所围成图形的面积为10解析：（ 1）当12a时，2111,222xxxfxexfxex，从而得111,12fefe，故曲线( )yf x在点1,1f处的切线方程为11()(1)2yeex，即11022exy（2）由( )0f x，得22111121,22xxexaxexxax，令2