《导数的概念》教案（精华版）

1、导数的概念教案本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ a 版）数学选修 2 2 第一章第一节的 变化率与导数 ，导数的概念是第2 课时教学内容分析1. 导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用导数概念是我们今后学习微积分的基础同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具 .2. 本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极

2、限认识的基础上学习所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此， 先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们

3、可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想教学目的1. 使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数， 并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2. 使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3. 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4. 通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5. 通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括

4、出函数导数的概念教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念教学准备1. 查找实际测速中测量瞬时速度的方法；2. 为学生每人准备一台ti nspire cas图形计算器，并对学生进行技术培训；3. 制作数学实验记录单及上课课件教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象， 再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质教学的主要过程设计如下：复习准备体会模型提炼模型形成概念应用概念小结作业理解平均速度与瞬时速度

5、的区别与联系感受当 t0 时，平均速度逼近于某个常数从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响教学过程设计预计时间（分）教学内容教师活动学生活动教学评价（ 1）提问：请说出函数从x1 到回答问题后理解：（ 1）复习过程应x2 的平均变化率公式（ 2）提问：如果用x1 与增量 x（ 1）（ 2）f ( x2 )x2f ( x1f ( x1 ) x1x) f ( x1) x使学生明确函数的平均变化率表示表示平均变化率的

6、公式是怎样的？（ 3）高台跳水的例子中， 在时间65（ 3）学生在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状1. 复习准备段 0, 里的平均速度是零， 而实际49态上运动员并不是静止的这说明平均5 分钟设计意图： 让学生理解平均速度与瞬时速度的区 别 与 联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度速度不能准确反映他在这段时间里运动状态 .（ 4）提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？（ 5）提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物 体在 2s 的瞬时速度， 应该怎么解决？（ 6）我们一起来看物理中测即时速度（瞬时速度）的视频：（ 7）提问：这里

7、所测得的真的是瞬时速度吗？（ 8）提问：怎样使平均速度更好（ 4）让学生体会并明确瞬时速度的作用（ 5）学生思考（ 6）学生观看视频并思考（ 7）期望或引导答出（ 2）应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系， 为下一阶段实验活动作铺垫的表示瞬时速度？“是平均速度” （ 9）在学生回答的基础上讲述：（ 8）学生回答，得出真正的瞬时速度根本无法通过仪“ 时 间 间 隔 越 小 越器测定，我们将平均速度作为瞬时速好！”度的近似值；（ 9）学生体会教师所为了使平均速度更好的表示瞬时讲结论速度，应该让时间间隔尽量小（1）学生在 ti nspire（ 1）向学生提出数学实验任务：已知跳水运动员在跳水过程中距

8、离水面的高cas上完成以下操作：（ 1）应使 学 生+6.5度与时间的函数 h( t )= 4.9 t 2t +10，请你用计在 技 术2. 体会模型算器完成下列表格中t 0=2 秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势数学实验记录单（1）（2）学生操作得出如下结果，完成数学实验记录单（ 1）的填写：平 台 上通 过 多次 实 验x 0 时，在2 ，2+xx 0 时，在 2+ x， 2感 受 到设计意图：让学生在信息技术平台15 分上过，定通量钟分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过内， vxh(2x)h(2) xv内， vxh(2)h(2x) xv平 均 速

9、度在t 0时0.1 0.10.01 0.010.001 0.0010.0001 0.00010.00001 0.000010.000001 0.000001你 认 为 运 动员 在 t 0=2秒 处 的 瞬 时 速 度 为m/s（ 2）提问： x、g( x) 的含义各是什么？（ 3）提问：观察你自己的实验记录单，你能程发现平均速度有什么变化趋势吗？先展示一个同学的实验结果，并让他说说他的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一起观 察（ 4 ） 将学 生 分 四 个 组 ， 让 他 们 分 别 完 成t 0=1.6 、1.7 、1.8 、1.9 时的实验记录单（2）的填（3） 让学生讲他所发现

10、的规律（4） 学生分 4 个组再次实验，分别完成本组的 数学实验记录单（ 2）的填写，并观察平均速度 的变化趋势，回答教师 的提问趋 近 于一 个 常数 ， 并理 解 这个 常 数的 意义（ 2）应使 学 生从 感 性上 获 得求 瞬 时速 度 的方法写，说出他们观察的结果，并将4 个结果写列在黑板上t0=1.6v 9.18t0=1.7v 10.16t0=1.8v 11.14t0=1.9v 12.12t0=2v 13.1在学生实验与观察的基础上指出：当 t 趋近于 0 时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度3. 提炼（ 1）提问：你认为通过实验所得结果（常数）（1）学生思考，

11、也可以模型就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近讨论应 使 学似值？（2）学生化简 t 0=2 处对生通 过设计意应 的 平 均 速 度 的 表 达动手 计图：使（ 2）让学生动笔化简t 0=2 对应的平式，观察当 t0 时平算， 得学生认均速度的表达式 （化简结果为4.9 t13.1）均速度表达式的变化趋到平 均识到平势速度 在均速度（ 3）引导学生从化简的表达式中发现当（ 3）学生化简t0=1.6t 0当时间t0 时，4.9t13.113.1处对应的平均速度的表时趋 近10间隔趋达式，观察当 t0时于一 个向于零（ 4）让学生动手化简t 0=1.6对应的平均速度平均速度表达式的变化常数

12、 ，时的极的表达式（化简结果为4.9t9.18 ）趋势并且 这限就是个常 数瞬时速启发学生归纳出结论： t0 时，平均速度所（3）学生化简任意时刻就是 瞬度，为趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是t 0 处对应的平均速度的时速给出导一个精确值， 它与变量 t 无关，只与时刻 t 0 有关表达式，观察当t0度 使数概念（ 5）提问：我们得到了t 0=1.6 、1.7 、1.8 、时平均速度表达式的变学生 理提炼出1.9 时的瞬时速度，但这还不足以代表所有时刻的化趋势解极 限一个具瞬时速度， 能不能用同样的办法， 得到 t 0 时的瞬时（4）学生根据教师的讲符号 表体 的 极速度？解理解平

13、均速度的极限示 的 意限模启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一的意义义型起总结出：fth(t 0t )h(t 0 )t9.8t04.9t6.59.8t06.5( t0) （ 6）教师讲解： 用 limh t0th t0表示 vt0所趋近的常t数，即limh t0th t 0t0t9.8t 06.5今后把这个常数叫做在tt0 处，当t 趋近于 0 时，平均速度 v的极限比如，13.1是在 t2 处，当 t趋近于 0 时 h 2th 2 的极限t（ 1）给出下列图示：4. 形成概念 设 计 意图 ： 完成 从 运动 物 体的 瞬 时速 度 到5函 数 瞬时 变 化（ 2）针对上述图示，教师在启

14、发后提问：通过前面的学习， 我们知道平均速度就是函数h( t ) 的平均变化率瞬时速度就是函数h( t ) 的瞬时变化率同时，我们已经知道：平均速度在 t 0 时的极限就是瞬时速度那么，你能否说说，一般情况下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？（ 3）在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的关系后提问：函数 f ( x) 在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示？教师介绍如下的的表示方法：函数 f ( x) 在 x= x 0 处的瞬时变化率可表示为（ 1 ）在教 师 的启 发 下思 考 函数 的 平均 变 化率 与 瞬应 使 学生从“平均 速 度的 极 限是 瞬 时速度”这个 具 体率

15、 的 过limflimf ( x0x)f ( x0 ) 渡 ， 形成 导 数的 概 念x0xx0x（ 4）教师给出导数的定义：时 变 化率 之 间的关系的 模 型中 抽 象出 导 数并 给 出函数 f ( x) 在f (x0xx 0 处的瞬时变化率x)f (x0)f（ 2 ）回的概念，并 能 理定义limlimx 0xx 0x答 教 师解 导 数称为 yf( x)在 xx处的导数，记作f (x )或liym f (xx)f (x )f (x )lim0f (x0x)f (x0) 0x 0xx 0 ，即x的提问是 一 个极限，明0x 0x（ 3 ）理解 函 数导 数 的概 念 与导 数 的确 导

16、 数的表示表 示 方法（ 1）提问：你能说说求函数y=f ( x) 在 x= x 0 处的导数的步骤吗？教师在学生说的基础上要总结出步骤（ 1）学生思考并交流求函数在 x 0 处 的 导（ 1）检查学生 是 否 清 楚求 导 数 的 步5. 应用概念设计意图： 让学 生 进 一 步理 解 导 数 概5念，体会导数的应用价值， 熟 悉 求 导 数的步骤（ 2）讲解例 1：将原油精练为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产品， 需要对原油进行冷却和加热如果第x(h) 时，2原油的温度（单位:c ）为 : f ( x)= x -7 x+15(0 x 8). 计算第 2（ h)和第 6（ h）时，原油温度的瞬

17、时变化率，并说明它们的意义强调 ：第 2 小时的瞬时变化率为3，说明在第2 小时数的步骤（ 2）在教师讲解完后完成教师 提 出 的 练习（ 3 ） 求 出骤（ 2）检查学生 能 否 准 确地 求 出 函 数在 某 点 的 导数（ 3）应使学 生 能 利 用计 算 结 果 解附近 ，原油大约以 3c / h 的速度下降f (3) 后，回答释导数（即瞬时变化率） 的（ 3）提出练习：计算 3h 时原油温度的瞬时变化率，表述你所得结果的意义f (3) 的意义意义（ 1）让学生小结并交流（ 2）教师总结：思考本节课所学内容，可以（ 1）使学生不 仅 能 从 知6. 小结作业设计意图： 让本节课学习了导

18、数的概念，在这个过程中我们看到：数学使不可能的事情变成现实；彼此之间交流自己的小结，识 的 角 度 看所 学 过 的 内学 生 通 过 总导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，回 答教师提容，还能体会结，进一步体函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数问.到 寓 于 知 识会 导 数 的 意在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思中 的 数 学 思5义 及 极 限 的想想与方法思想，训练学求导数的步骤大致分为以下三步：生 的 概 括 能第一步，求函数增量；（ 2）分层次力通过布置第二步，求平均变化率并化简；提供作业， 是作业，巩固所第三步，求平均变化率的极限，即导数为 了 满 足 不学内容

19、作业：同 层 次 学 生a 层： p10/2 ， 3， 4b 层： a 层 +补充的需求（补充）已知 y=x 求：3（ 1） yx0 ；（ 2） yx 1 导数的概念教案说明一、教学内容及分析导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用导数概念是我们今后学习微积分的基础同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具 .教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基

20、础上学习所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此， 先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想二、教学目标及分析1. 使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数， 并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2. 使学生通过