初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习2

1、初二二次根式全部学问点总结和常考题学问点：1、二次根式：形如a a0 的式子；二次根式必需满意：含有二次根号“”；被开方数a 必需是非负数；非负性 2、最简二次根式：满意：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式；3、化最简二次根式的方法和步骤：（ 1）假如被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简；（ 2）假如被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来； 3、二次根式有关公式（ 1） a 2aa0（ 2）a 2a（ 3）乘法公式aba .b a0,b0a（ 4）除法公式ba

2、 a b0, b04、二次根式的加减法就：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；5、二次根式混合运算次序：先乘方，再乘除，最终加减，有括号的先算括号里的；常考题：一挑选题（共14 小题） 1以下二次根式中属于最简二次根式的是（）abcd2式子有意义的 x 的取值范畴是（）ax且 x1b x 1cd 3以下运算错误选项（）abcd4估量的运算结果应在（）a6 到 7 之间b7 到 8 之间c 8 到 9 之间d9 到 10 之间第1页（共 20页）5假如=12a，就（）aabacada6如=（x+y）2，就x y 的值为（）a 1b1c2d37是整数，就正整数n 的最

3、小值是（）a4b5c6d78化简的结果是（）abcd9k、m、n 为三整数，如=k，=15，=6，就以下有关于k、m、n 的大小关系，何者正确？（）akm=n bm=nk cmnkdm k n10实数 a 在数轴上的位置如下列图，就化简后为（）a7b 7 c2a15d无法确定11把根号外的因式移入根号内得（）ab12已知cd是正整数，就实数n 的最大值为（）a12b11c8d313如式子有意义，就点p（ a， b）在（）a第一象限b其次象限c第三象限d第四象限 14已知 m=1+，n=1，就代数式的值为（）a9b± 3 c3d5二填空题（共13 小题）15实数 a 在数轴上的位置如下

4、列图，就| a1|+=16运算：的结果是17化简：（） |3| =18假如最简二次根式与是同类二次根式，就a=19定义运算 “ ”的运算法就为： xy=，就（ 26）8=20化简×4××（ 1） 0 的结果是21运算：=第2页（共 20页）22三角形的三边长分别为，就这个三角形的周长为cm23假如最简二次根式与能合并，那么a=24如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积是（结果保留根号）25实数p在数轴上的位置如图所示，化简=26运算：=27已知a、b为有理数，m 、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，就 2a+b

5、=三解答题（共13 小题） 28阅读以下材料，然后回答疑题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们仍可以将其进一步化简：（一）=（二）=1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化仍可以用以下方法化简：=1（四）（ 1）请用不同的方法化简（ 2=；.参照（四）式得=（ 3）化简：+第3页（共 20页）2029运算：（1）（+1）（）+| 1| （ 2） +30先化简，再求值：，其中31先化简，再求值：，其中 x=1+，y=132先化简，再求值：，其中33已知 a=，求的值34对于题目 “化简并求值：+，其中 a=”，甲、乙两人的解答不同甲的解答：+=+=+ a=a=；乙

6、的解答：+=+=+a=a=请你判定谁的答案是错误的，为什么？35一个三角形的三边长分别为、（ 1）求它的周长（要求结果化简） ；（ 2）请你给一个适当的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值 36我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术 ”，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=（其中 p=）（ 1）如已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计 算该三角形的面积s；（ 2）你能否由公式推导出公式？请试试37已知：，求代数式x2xy+y2

7、值38运算或化简：（ 1）；第4页（共 20页）（ 2）（ a 0， b 0）39先阅读以下的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m， ab=n，使得+=m，=，那么便有：=±（ a b）例如：化简解：第一把化为，这里 m=7，n=12，由于 4+3=7， 4× 3=12即+=7，×=2+由上述例题的方法化简：40阅读材料：小明在学习二次根式后， 发觉一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2善于摸索的小明进行了以下探究：设 a+b=（m+n）2（其中 a、b、m、n 均为整数），就有 a+b=m2+2n2+2m

8、n a=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法请你仿照小明的方法探究并解决以下问题：（ 1）当 a、b、m、n 均为正整数时，如a+b=，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得： a=， b=；（ 2）利用所探究的结论， 找一组正整数a、b、m、n 填空：+=（+）2；（ 3）如 a+4=，且 a、m、n 均为正整数，求a 的值？第5页（共 20页）初二二次根式全部学问点总结和常考题提高难题压轴题练习 含答案解析参考答案与试题解析一挑选题（共14 小题）1（2005.岳阳）以下二次根式中属于最简二次根式的是（）abcd【分析】 b、d 选项的被开方数中

9、含有未开尽方的因数或因式；c 选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式【解答】 解：由于： b、=4；c、=；d、=2；所以这三项都不是最简二次根式应选a【点评】 在判定最简二次根式的过程中要留意：（ 1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（ 2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），假如幂的指数等于或大于 2，也不是最简二次根式2（2021.娄底）式子有意义的 x 的取值范畴是（）ax且 x1b x 1cd【分析】 依据被开方数大于等于0，分母不等于0 列式进行运算即可得解【解答】 解：依据题意得， 2x+10 且 x10，解得 x且

10、x1故 选 a【点评】 此题考查的学问点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数3（2007.荆州）以下运算错误选项（）abcd【分析】 依据二次根式的运算法就分别运算，再作判定【解答】 解： a、=7，正确；b、=2，正确；c、+=3+5=8，正确；d、，故错误应选d【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式第6页（共 20页）二次根式的加减运算， 先化为最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变4（2021.芜湖）估量的运算结果应在（）a6 到 7 之间b7 到

11、8 之间c 8 到 9 之间d9 到 10 之间【分析】 先进行二次根式的运算，然后再进行估算【解答】 解：=4+，而 45，原式运算的结果在8 到 9 之 间；故 选 c【点评】此题考查了无理数的近似值问题，现实生活中常常需要估算，“夹逼法 ”是估算的一般方法，也是常用方法5（2021.烟台）假如=12a，就（）aabacada【分析】 由已知得 12a 0，从而得出a 的取值范畴即可【解答】 解：， 1 2a0， 解得 a应选： b【点评】 此题考查了二次根式的化简与求值，是基础学问要娴熟把握6（2021.荆门）如=（x+y）2，就 x y 的值为（）a 1 b1c2d3【分析】 先依据二

12、次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y 的值，再代入代数式即可【解答】 解：=（x+y）2 有意义， x10 且 1x0， x=1， y=1， xy=1（ 1）=2 应选： c【点评】 此题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（ a 0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必需是非负数，否就二次根式无意义7（2021 秋.麻城市校级期末）是整数，就正整数n 的最小值是（）a4b5c6d7【分析】 此题可将 24 拆成 4× 6，先把化简为 2，所以只要乘以6 得出第7页（共 20页）62 即可得出整数，由此可得出n 的值【解答】 解：=2， 当 n=6 时，=6，原

13、式 =2=12， n 的最小值为6 应选： c【点评】此题考查的是二次根式的性质此题仍可将选项代入根式中看是否能开得尽方，如能就为答案8（2021.佛山）化简的结果是（）abcd【分析】 分子、分母同时乘以（+1）即可【解答】 解：原式 =2+应选： d【点评】此题考查了分母有理化，正确挑选两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键9（2021.台湾） k、m、n 为三整数，如=k，=15，=6，就以下有关于k、m、n 的大小关系，何者正确？（）akm=n bm=nk cmnkdm k n【分析】 依据二次根式的化简公式得到k， m 及 n 的值，即可作出判定【解答】 解：=3，=

14、15，=6，可得： k=3，m=2，n=5，就 mkn应选： d【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，娴熟把握二次根式的化简公式是解 此题的关键10（ 2021.菏泽）实数a 在数轴上的位置如下列图，就化简后为（）a7b 7 c2a15d无法确定【分析】先从实数a 在数轴上的位置，得出a 的取值范畴，然后求出（a4）和（ a 11）的取值范畴，再开方化简【解答】 解：从实数 a 在数轴上的位置可得， 5a10，所 以 a40，a110，就，=a4+11a，第8页（共 20页）=7 故 选 a【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确懂得二次根式的算术平方根等概念11（ 2021 秋.五莲县期

15、末）把根号外的因式移入根号内得（）abcd【分析】 依据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答【解答】 解：成立，0， 即 m0，原式= 应选： d【点评】 正确懂得二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为012（ 2021.绵阳）已知是正整数，就实数n 的最大值为（）a12b11c8d3【分析】 假如实数 n 取最大值，那么12n 有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，就等于 1，从而得出结果【解答】 解：当等于最小的正整数1 时， n 取最大值，就n=11应选 b【点评】 此题的关键是分析当等于最小的正整数1 时， n

16、 取最大值13（ 2005.辽宁）如式子有意义，就点p（ a， b）在（）a第一象限b其次象限c第三象限d第四象限【分析】 依据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对 a、b 的取值范畴进行判定【解答】 解：要使这个式子有意义，必需有a0，ab0， a 0，b 0，点（ a，b）在第三象限 故 选 c【点评】 此题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号14（ 2021.上城区一模）已知m=1+，n=1，就代数式的值为（）a9b± 3 c3d5【分析】 原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（ 1+）（1）=1，然后整体代入运算即可第9页（共 20页）【解答】 解：

17、 m+n=2，mn=（1+）（ 1） = 1，原式=3 应选： c【点评】此题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形， 用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入运算二填空题（共13 小题） 15（ 2004.山西）实数 a 在数轴上的位置如下列图，就| a1|+=1【分析】 依据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a1 与0，a2 与 0 的关系，然后依据肯定值的意义和二次根式的意义化简【解答】 解：依据数轴上显示的数据可知：1a2， a 10， a20， | a1|+=a 1+2a=1故答案为： 1【点评】 此题主要考查了数轴，肯定值的意义和依据二次根式的意义化简二

18、次根式的化简规律总结：当a0 时，=a； 当 a0 时，=a16（ 2021.南京）运算：的结果是【分析】 先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可【解答】 解：原式 = 故答案为：【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题， 关键是把握二次根式的化简及同类二次根式的合并17（ 2021.泰安）化简：（） |3| = 6【分析】依据二次根式的乘法运算法就以及肯定值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可【解答】 解：（）| 3|=32（ 3），=6故答案为： 6【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键18（ 2006.广安）假如最简二次根式与是同

19、类二次根式，就a=5第10页（共 20页）【分析】 依据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解【解答】 解：最简二次根式与是同类二次根式， 3a8=172a，解得： a=5【点评】 此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义19（2007.芜湖）定义运算 “ ”的运算法就为： xy=，就（26）8=6【分析】 仔细观看新运算法就的特点，找出其中的规律，再运算【解答】 解： xy=，（ 26） 8=8=48=6， 故答案为： 6【点评】 解答此类题目的关键是仔细观看新运算法就的特点，找出其中的规律，再运算20（ 2021.荆州）化简×4××（ 1） 0 的结

20、果是【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再依据二次根式的乘法法就和零指数幂的意义运算得到原式=2，然后合并即可【解答】 解：原式 =2×4××1=2=故答案为：【点评】 此题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂21（ 2021.广元）运算：= 2【分析】 分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解【解答】 解：=2故答案为： 2【点评】此题考查了二次根式的加减法，此题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题22（ 2021.宜城市模拟）三角形的三边长分别为，就这

21、个三角形的周长为5cm【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为+，化简合并同类二次根式【解答】 解：这个三角形的周长为+=2+2+3=5+2（ cm）故答案为： 5+2（cm）第11页（共 20页）【点评】 此题考查了运用二次根式的加减解决实际问题23（ 2021 秋.浏阳市校级期中）假如最简二次根式与能合并，那么a=1【分析】依据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同， 然后列一元一次方程求解即可【解答】 解：依据题意得， 1+a=4a2， 移项合并，得3a=3，系数化为 1，得 a=1 故答案为： 1【点评】此题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是

22、解题的关键24（ 2006.宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积是2 2（结果保留根号）【分析】 依据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）.=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积【解答】 解：矩形内阴影部分的面积是（+）.26=2+6 2 6=2 2【点评】此题要运用数形结合的思想，留意观看各图形间的联系，是解决问题的关键25（ 2003.河南）实数p在数轴上的位置如下列图，化简=1【分析】 依据数轴确定p 的取值范畴，再利用二次根式的性质化简【解答】 解：由数轴可得， 1p2， p 1 0，

23、p 2 0，=p1+2p=1【点评】 此题从数轴读取p 的取值范畴是关键26（ 2021.泸州）运算：=2【分析】 运用二次根式的性质：=| a| ，由于 2，故=2第12页（共 20页）【解答】 解：原式 =2+=2【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变27（2021.凉山州）已知a、b 为有理数， m、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，就 2a+b=2.5【分析】 只需第一对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用 a 表示再分别代入amn+bn2=1 进行运算【解答】解：由于 23，所以 253，故 m=2，n=52=3把

24、 m=2， n=3代入 amn+bn2=1 得， 2（ 3） a+（3）2b=1化简得（ 6a+16b）（2a+6b） =1，等式两边相对比，由于结果不含，所以 6a+16b=1 且 2a+6b=0，解得 a=1.5， b=0.5 所 以 2a+b=30.5=2.5故答案为： 2.5【点评】此题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键三解答题（共13 小题）28（ 2021.邵阳）阅读以下材料，然后回答疑题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们仍可以将其进一步化简：（一）=（二）=1（三）以上这种化简

25、的步骤叫做分母有理化仍可以用以下方法化简：=1（四）（ 1）请用不同的方法化简（ 2=；.参照（四）式得=（ 3）化简：+【分析】（1）中，通过观看，发觉：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有第13页（共 20页）理化因式； 2、因式分解达到约分的目的；（ 2）中，留意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是 2，分子可以显现抵消的情形【解答】 解：（1）=，=；（ 2）原式 =+=+=【点评】 学会分母有理化的两种方法 229（ 2021.张家界）运算：（ 1）（+1）（）+| 1| （ 2）0+【分析】 依据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5 1 9+ 1

26、1+2，然后合并即可【解答】 解：原式 =519+ 1 1+2=7+3【点评】 此题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂、 负整数指数幂30（ 2021.广州）先化简，再求值：，其中【分析】 此题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值【解答】 解：原式 =a2 3a2+6a=6a3，当 a=时，原式=6+33=6【点评】此题主要考查整式的运算、平方差公式等基本学问，考查基本的代数运算才能留意先化简，再代入求值31（ 2005.沈阳）先化简，再求值：，其中 x=1+，第14页（共 20页）y=1【分析】这是

27、个分式除法与减法混合运算题，运算次序是先做括号内的减法，此时要留意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要留意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要留意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分【解答】 解：原式 =；当 x=1+，y=1时，原式=【点评】 分式混合运算要留意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算32（ 2021.莱芜）先化简，再求值：，其中【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x 的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值此题留意x2 看作一个整体【解答】 解：原式 =（ x+4）， 当时，原

28、式=【点评】 分式混合运算要留意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算33（ 2021.余姚市校级自主招生）已知a=，求的值【分析】 先化简，再代入求值即可【解答】 解： a=， a=21，第15页（共 20页）原式 =a1=a1+=21+2+=41=3【点评】此题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键34（2002.辽宁）对于题目 “化简并求值：+，其中 a=”，甲、乙两人的解答不同甲的解答：+=+=+ a=a=；乙的解答：+=+=+a=a=请你判定谁的答案是错误的，为什么？【分析】由于 a=时，a=5= 40，所以a，故错误选项乙【解答】 解：

29、甲的解答：a=时， a=5=40，所以= a，正确；乙的解答：由于a=时， a= 5=40，所以a，错误；因此，我们可以判定乙的解答是错误的【点评】 应娴熟把握二次根式的性质：=a（a 0）35（ 2021.上城区二模）一个三角形的三边长分别为、（ 1）求它的周长（要求结果化简） ；（ 2）请你给一个适当的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长 再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并第16页（共 20页）【解答】 解：（1）周长=+=，（ 2）当 x=20 时，周长 =，（或当 x=时，周长

30、 =等）【点评】 对于第（ 2）答案不唯独，但要留意必需符合题意36（2005.台州）我国古代数学家秦九韶在数书九章 中记述了 “三斜求积术 ”，即 已 知 三 角 形 的 三 边 长 ， 求 它 的 面 积 用 现 代 式 子 表 示 即 为 ：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=（其中 p=）（ 1）如已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式和公式，计 算该三角形的面积s；（ 2）你能否由公式推导出公式？请试试【分析】（1）代入运算即可；（ 2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变， 构成完全平方公式，

31、再进行运算【解答】 解：（1）s=，=；p=（5+7+8） =10，又 s=；（2）=（）=，第17页（共 20页）= （c+ab）（ c a+b）（ a+b+c）（ a+bc），= （2p 2a）（2p 2b）.2p.（2p2c），=p（pa）（ p b）（pc），=（说明：如在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法， 也培育了同学的推理和运算才能37（2021 秋.金口河区期末）已知：，求代数式x2 xy+y2 值【分析】 观看，明显，要求的代数式可以变成x，y 的差与积的形式，从而简便运算【解答】 解：， xy= × 2= ， xy= 原 式 =（xy）2+xy=5+ = 【点评】 此类题留意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值运算38（ 2021 秋.灌云县校级期末）运算或化简：（ 1）；（ 2）（ a 0， b 0）【分析】（1）先化简，再运用安排律运算；（ 2）先化简，再依据乘除法的法就运算【解答】 解：（1）原式=612 6=618 ；（ 2）原式 =×=3a2b2×=a2b 【点评】娴熟化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简洁的直接