高三数学解答题精练

1、高三数学解答题精练（1）- 1 - / 10 高三数学解答题精练1 （12 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点1,2m，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （）求这三条曲线的方程；（）已知动直线l过点3,0p，交抛物线于,a b两点，是否存在垂直于x轴的直线l被以ap为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由. 解： （）设抛物线方程为220ypx p，将1,2m代入方程得2p24yx抛物线方程为 : （1 分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为211,0,1,0 ,ff c=1 （2 分）对于椭圆，2221221 121

2、1422 2amfmf2222222121232 222 2132 222 2aabacxy椭圆方程为：（4 分）对于双曲线，122222amfmf2222222132 22 22132 22 22aabcaxy双曲线方程为：（6 分）（）设ap的中点为c，l的方程为：xa ，以ap为直径的圆交l于,d e两点，de中点为h令11113,22xya x y c（7 分）22111111322312322dcapxyxchaxa高三数学解答题精练（1）- 2 - / 10 2222221112121132344- 23246222 22dhdcchxyxaaxaaadhdedhlx当时,为定值;

3、为定值此时 的方程为：（ 12 分）2（14 分）已知正项数列na中，16a， 点1,nnnaaa在抛物线21yx上；数列nb中，点,nnbn b在过点0,1 ，以方向向量为1,2 的直线上 . （）求数列,nnab的通项公式；（） 若nnaf nb, n为奇数, n为偶数，问是否存在kn，使274fkfk 成立， 若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数n，不等式11202111111nnnnaanabbb成立，求正数a 的取值范围 . 解： （）将点1,nnnaaa代入21yx中得111111 15:21,21nnnnnnaaaadaannlyxbn直线（4 分）（）521n

4、f nn, n为奇数, n为偶数（5 分）272742754 21 ,42735227145 ,24kkfkf kkkkkkkkkk当 为偶数时，为奇数，当 为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。（8 分）（）由11202111111nnnnaanabbb高三数学解答题精练（1）- 3 - / 10 1212121111111112311111112311111111112512312324241232525nnnnnabbbnfnbbbnfnbbbbnfnnnnnfnbnnn即记22min2523416161416151,144 51,31554 5015nnnnnnfnfnf n

5、fnfa即递增，（14 分）3.（本小题满分12 分）将圆 o: 4yx22上各点的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变), 得到曲线c. (1) 求 c 的方程 ; (2) 设 o 为坐标原点 , 过点)0,3(f的直线 l 与 c 交于 a、 b 两点 , n 为线段 ab 的中点, 延长线段on 交 c 于点 e. 求证 : on2oe的充要条件是3|ab|. 解 : (1)设点)y,x(p, 点 m 的坐标为)y,x(,由题意可知, y2y,xx(2分) 又,4yx221y4x4y4x2222. 所以 , 点 m 的轨迹 c 的方程为1y4x22.(4 分) (2)设点)y,x(a11,

6、)y,x(b22, 点 n 的坐标为)y,x(00, 高三数学解答题精练（1）- 4 - / 10 当直线l 与 x 轴重合时，线段ab 的中点 n 就是原点o，不合题意，舍去；(5 分) 设直线l: ,3myx由4y4x3myx22消去 x, 得01my32y)4m(22,4mm3y20(6 分 ) 4m344m34m34mm33myx2222200, 点 n 的坐标为)4mm3,4m34(22.(8 分 ) 若oeon2, 坐标为 , 则点 e 的为)4mm32,4m38(22, 由点 e 在曲线 c 上, 得1)4m(m12)4m(4822222, 即,032m4m244m(8m22舍去

7、 ). 由方程得, 14m1m44m16m4m12|yy |2222221又|,)yy(m|mymy|xx|2121213|yy|1m|ab|212.(10 分) 若3|ab|, 由得,34m)1m(422.8m2点 n 的坐标为)66,33(, 射线 on 方程为 : )0 x(x22y, 高三数学解答题精练（1）- 5 - / 10 由4y4x)0 x(x22y22解得36y332x点 e 的坐标为),36,332(oeon2. 综上 , oeon2的充要条件是3|ab|.(12 分) 4.（本小题满分14 分）已知函数241)x(fx)rx(. (1) 试证函数)x(f的图象关于点)41

8、,21(对称 ; (2) 若数列an的通项公式为)m, 2, 1n,nm()mn(fan, 求数列an的前 m 项和;sm(3) 设数列bn满足: 31b1, n2n1nbbb. 设1b11b11b1tn21n. 若 (2)中的ns满足对任意不小于2 的正整数n, nnts恒成立 , 试求 m 的最大值 . 解 : (1) 设点)y,x(p000是函数)x(f的图象上任意一点, 其关于点)41,21(的对称点为)y,x(p. 由412yy212xx00得.y21y,x1x00所以 , 点 p 的坐标为p)y21,x1(00.(2 分) 由点)y,x(p000在函数)x(f的图象上 , 得241

9、y0 x0. ,)24(244244241)x1(f00000 xxxxx1024121y210 x0,)24(2400 xx点 p)y21,x1 (00在函数)x(f的图象上 . 高三数学解答题精练（1）- 6 - / 10 函数)x(f的图象关于点)41,21(对称 . (4 分) (2)由(1) 可知 , 21)x1(f)x(f, 所以) 1mk1 (21)mk1(f)mk(f, 即,21aa, 21)mkm(f)mk(fkmk (6 分) 由m1m321maaaaas, 得,aaaaasm13m2m1mm由 , 得,612m61221ma221) 1m(s2mm).1m3(121sm(

10、8 分 ) (3) ,31b1) 1b(bbbbnnn2n1n, 对任意的0b,nnn. 由、 , 得,1b1b1)1b(b1b1nnnn1n即1nnnb1b11b1. 1n1n11nn3221nb13b1b1)b1b1()b1b1()b1b1(t. (10分) ,bb,0bbbn1n2nn1n数列bn是单调递增数列. nt关于 n 递增 . 当2n, 且nn时, 2ntt. ,8152) 194(94b,94) 131(31b,31b321.5275b13tt12n (12 分) ,5275sm即,5275)1m3(121,394639238m m 的最大值为6. (14 分) 5 （12

11、分）e、f是椭圆2224xy的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点pl，过点e的直线交椭圆于a、b两点 . 高三数学解答题精练（1）- 7 - / 10 （1）当aeaf时，求aef的面积；（2）当3ab时，求afbf的大小；（3）求epf的最大值 . 解： （ 1）2241282aefmnsmnmn（2）因484aeafabafbfbebf，则5.afbf（1）设(22, )(0)ptt()tanepftanepmfpm2213 223 222 2223()(1)663ttttttt，当6t时，3303tanepfepf6 （14 分）已知数列na中，113a，当2n时，其前n项和ns满足222

12、1nnnsas，（2）求ns的表达式及2limnnnas的值；（3）求数列na的通项公式；（4）设3311(21)(21)nbnn，求证：当nn且2n时，nnab. 解： （ 1）2111121122(2)21nnnnnnnnnnnsasssss snsss高三数学解答题精练（1）- 8 - / 10 所以1ns是等差数列 .则121nsn. 222limlim2212lim1nnnnnnnasss. （2）当2n时，12112212141nnnassnnn，综上，21132214nnann. （3）令11,2121abnn，当2n时，有103ba（1）法 1：等价于求证33111121212

13、121nnnn. 当2n时，110,213n令231,0,3fxxxx23313232 (1)2 (1)2 (1)02223fxxxxxxx，则fx在1(0,3递增 . 又111021213nn，所以3311()(),2121ggnn即nnab. 法（ 2）2233331111()()2121(21)(21)nnabbabannnn22()()abababab（2）22()()()22abababaabb() (1)(1)22baab a ab b（3）因33311111022222 3ababa，所以(1)(1)022baa ab b高三数学解答题精练（1）- 9 - / 10 由（ 1）

14、（3） （4）知nnab. 法 3：令22g bababab，则12102ag bbab所以220 ,32g bmax gg amax aaaa因10,3a则210aaa a，2214323 ()3 ()0339aaa aa所以220g bababab（5）由（ 1） （2） （5）知nnab7 (本小题满分14 分) 设双曲线2222byax=1( a 0, b 0 )的右顶点为a，p 是双曲线上异于顶点的一个动点，从 a 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线op 分别交于q 和 r 两点 . (1) 证明：无论p 点在什么位置，总有|op|2 = |oqor| ( o 为坐标原点 )；(2) 若以 op 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解： (1) 设 op：y = k x, 又条件可设ar: y = ab(x a ), 解得：or= (bakab,bakkab), 同理可得oq= (bakab,bakkab), |oqor| =|bakabbakab+bakkabbakkab| =|bka|)k1(ba222222. 4 分设op= ( m, n ) , 则由双曲线方程与op 方程联立解得: 高三数学解答题精练（1）-