高三数学精练精讲题目三

1、1 / 16高三数学精练精讲题目（3）（一）选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1以椭圆2214xy的焦点为顶点，同时以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是a2214xyb22134xyc2213xyd2213yx2已知抛物线2:4cyx的焦点为f，过点f的直线交抛物线c于a，b两点，o为坐标原点，若aob的面积为3 22，则线段ab的长是a9b4c92d83已知椭圆2222:10 xycabab的左顶点为a，上顶点为b，右焦点为f，若90abf，则椭圆c的离心率为a512b312c154d3144双曲线221:145xye的左右焦

2、点分别为12,ff，椭圆22222:1(0)xyeabab与双曲线1e有公共的焦点，且12,ee在第一象限和第四象限的交点分别为,m n，弦mn过2f，则椭圆2e的标准方程为a221814544xyb221134xyc221167xyd22154xy5若焦点在x轴上的椭圆2212xym的离心率为12，则实数m等于a2b32c85d236已知动点( ,)mx y的坐标满足方程2222558()()xyxy，则m的轨迹方程是a221169xyb221169xyc2210169()xyxd2210169()yxy7已知双曲线222210,0yxabab的一个焦点为0,2f,一条渐近线的斜率为3,则该

3、双曲线的方程为2 / 16a2213xyb2213yxc2213yxd2213xy8o为坐标原点，f为抛物线2:4cyx的焦点，p为c上一点，若4pf，则pofv的面积为a2b3c2d39 过抛物线24yx的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)a xyb xy两点，如果126xx， 那么aba6 b8 c9 d10 10若直线220 xy-+=经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为a2215xyb22145xyc2215xy或22145xyd2215yx或22154xy11设椭圆c：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1f，2f，p是c上的点，122pff f，12

4、pf f=30o，则c的离心率为a36b13c12d3312已知双曲线的离心率，则一条渐近线与x轴所成角的取值范围是a,6 4b,6 3c,4 3d,3 2（二）填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13设已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为f(1，0)，直线l与抛物线c相交于 a，b两点 .若 ab的中点为（ 2，2） ，则直线l的方程为 _. 14已知直线:1lykx与圆22:2210c xyxy相交于,a b两点，若|2ab，则k_15已知抛物线216yx，焦点为f，(8,2)a为平面上的一定点，p为抛物线上的一动点，则papf的最小值为16已知f为抛物

5、线c：22(0)xpy p的焦点，曲线1c是以f为圆心，4p为半径的圆，直线3 / 162 3630 xyp与曲线c，1c从左至右依次相交于,p q r s，则rspq（三）解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为11,0f，离心率为12e，过点1f的直线l交椭圆于,a b两点，（ 1）求椭圆e的方程：（ 2）若直线ab的倾斜角为135度，求ab. 18已知椭圆2222:10 xycabab过点2,1p，且椭圆c的离心率为32. （1）求椭圆c的方程；（2）过点(2 ,0)q的直线l与c相交于,a b两点，且papb，求

6、直线l的方程 . 19已知抛物线c；22ypx过点(1,1)a（1）求抛物线c的方程；（2） 过点(3, 1)p的直线与抛物线c交于,m n两个不同的点(均与点a不重合)，设直线,aman的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值20已知椭圆2222:1(0)xycabab的焦距为2，离心率为22，y轴上一点q的坐标为(0 ,3). （ 1）求该椭圆的方程；4 / 16（ 2）若对于直线:lyxm，椭圆c上总存在不同的两点a与b关于直线l对称，且332qa qbuuu r uuu r，求实数m的取值范围 . 21在平面直角坐标系xoy中，已知点1,0f，动点q到点f的距离比到y轴的距离大1

7、个单位长度 . （1）求动点q的轨迹方程e；（2）若过点f的直线l与曲线e交于a，b两点，且8fa fbuu u r uuu r，求直线l的方程 . 22已知动圆p经过点1,0n，并且与圆22:116.mxy相切 . （1）求点p的轨迹c的方程；（2）设,0g m为轨迹 c内的一个动点，过点g且斜率为k的直线l交轨迹c于,a b两点，当k为何值时？22|gagb是与m无关的定值，并求出该值定值. 5 / 16解几（ 3）答案1以椭圆2214xy的焦点为顶点，同时以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是a2214xyb22134xyc2213xyd2213yx【答案】 c 【答题分析】413,421ac

8、b双曲线方程是2213xy，选 c. 2 已知抛物线2:4cyx的焦点为f， 过点f的直线交抛物线c于a，b两点，o为坐标原点， 若aob的面积为3 22，则线段ab的长是a9b4c92d8【答案】 c 【答题分析】当直线ab垂直于x轴时 ,经计算可知不符合题意；当直线ab不垂直于x轴时，设ab方程为1 (0)yk xk,求出原点o 到直线 ab的距离d,联立直线ab与抛物线c 的方程 ,根据韦达定理以及弦长公式求出弦长ab,然后根据面积列方程可解得28k,再代入224(1)|kabk,可得 . 【详解】当直线ab垂直于x轴时，122122aobs，不符合题设；当直线ab不垂直于x轴时，设ab

9、方程为1 (0)yk xk，即kx y k 0. 点0,0到直线ab距离21kdk. 联立21 ,4 ,yk xyx得2222240k xkxk，设11(,),a xy2)2(,)b xy, 则由韦达定理得,2122(24)kxxk,21221kx xk, 所以由弦长公式得,2212121()4abkxxx x2222(24)1()41kkk224(1)kk, 因为aob 的面积为3 22,所以2221443 2221kkkk，所以28k，所以92ab。故选 c。【考查要素】本题考查了直线与抛物线的位置关系,韦达定理 ,弦长公式 ,点到直线的距离,三角形面积公式,6 / 16属中档题 . 3已

10、知椭圆2222:10 xycabab的左顶点为a，上顶点为b，右焦点为f，若90abf，则椭圆c的离心率为a512b312c154d314【答案】 a 【答题分析】根据90abf可知1abbfkkg，转化成关于a，b，c的关系式，再根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得【详解】 据题意，,0aa，0,bb，,0f c，90abfq，1abbfkkg即00100bbac，21bac即2bac.又222cabq，220caac，同除2a得2( )10ccaa，即210ee512e（舍）或512e.故选 a. 【考查要素】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知

11、识，是中档题4双曲线221:145xye的左右焦点分别为12,ff，椭圆22222:1(0)xyeabab与双曲线1e有公共的焦点，且12,e e在第一象限和第四象限的交点分别为,mn，弦mn过2f，则椭圆2e的标准方程为a221814544xyb221134xyc221167xyd22154xy【答案】 a 【答题分析】由题意得532mmxcy，所以12135222amfmf2981459244ab，即椭圆2e的标准方程为221814544xy，选 a. 5若焦点在x轴上的椭圆2212xym的离心率为12，则实数m等于a2b32c85d23【答案】 b 【答题分析】 已知椭圆的焦点在x 轴上

12、， 故02m，根据椭圆的几何性7 / 16质得到：离心率为12ca22m，解出方程得到：3.2m故答案选 b6已知动点(,)mx y的坐标满足方程2222558()()xyxy，则m的轨迹方程是a221169xyb221169xyc2210169()xyxd2210169()yxy【答案】 c 【答题分析】这个方程相信读者一定可以化简出最终结论（无非就是移项平方去根号），但如果考虑到方程中各式子的几何意义的话，可能解法更好， 此方程表示点m与到点( 5,0)的距离比到点(5,0)的距离之差为 8，而这正好符合双曲线的定义，点m的轨迹是双曲线，只不过是右支。考点：方程的化简与双曲线的定义。7已知

13、双曲线222210,0yxabab的一个焦点为0,2f,一条渐近线的斜率为3,则该双曲线的方程为a2213xyb2213yxc2213yxd2213xy【答案】 c 【答题分析】根据双曲线一个焦点0,2f可以求出c,再根据一条渐近线的斜率为3,可求出,a b的关系 ,最后联立222cab,解方程求出,a b,求出方程即可. 【详解】因为双曲线一个焦点的坐标为0,2f,所以2c,一条渐近线的斜率为3,所以有3ab, 而222cab,所以224ab,因此有224331abaabb.故选 c。【考查要素】本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力. 8o为坐标原点，f为抛物

14、线2:4cyx的焦点，p为c上一点，若4pf，则pofv的面积为a2b3c2d3【答案】 b 【答题分析】由抛物线的标准方程24yx可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出( , )p x y,由 pf =4 以及抛物线的定义列式可得( 1)4x,即3x,再代入抛物线方程可得点p的纵坐标 ,再由三角形的面积公式1|2sy of可得 . 8 / 16【详解】由24yx可得抛物线的焦点f(1,0),准线方程为1x, 如图 :过点 p作准线1x的垂线 ,垂足为m,根据抛物线的定义可知pm=pf =4, 设( , )p x y,则( 1)4x,解得3x,将3x代入24yx可得2 3y, 所以pof的面积为

15、1|2yof=12 3132.故选 b. 【考查要素】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是 利用抛物线的定义求p点的坐标 ; 利用 of为三角形的底 ,点 p的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题 . 9过抛物线2y4x的焦点作直线交抛物线于1122a x ,yb x , y两点，如果12xx6，那么aba6 b8 c9 d 10 【答案】 b 【答题分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为12abxxp【详解】抛物线24yx中，2p，12628abxxp，故选 b【考查要素】ab是抛物线的焦点弦，1122(,),(,)a x yb xy，0p，抛物线22y

16、px的焦点弦长为12abxxp，抛物线22ypx的焦点弦长为12()abxxp，抛物线22xpy的焦点弦长为12abyyp，抛物线22xpy的焦点弦长为12()abyyp10若直线220 xy-+=经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为a2215xyb22145xyc2215xy或22145xyd2215yx或22154xy【答案】 c 【答题分析】首先求出直线与坐标轴的交点，分别讨论椭圆焦点在x轴和y轴的情况，利用椭圆的简单性质求解即可。【详解】直线与坐标轴的交点为(0,1),( 2,0)， （1）当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为22221xyab(0)ab则22,1,5cb

17、a，所求椭圆的标准方程为2215xy. （2）当焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为22221xyba(0)ab22,1,5bca，所求椭圆的9 / 16标准方程为22154yx。故答案选c。【考查要素】本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在x轴还是y轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题。11设椭圆 c：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1f、2f，p是 c 上的点，2pf1f2f，12pf f=30o，则 c的离心率为a36b13c12d33【答案】 d 【答题分析】由题意可设| pf2| m，结合条件可知| pf1| 2m，| f1f2| 3

18、m，故离心率e1212233223f fcmapfpfmm选 d. 【考查要素】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于, ,a b c的方程或不等式，再根据, ,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于, ,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12已知双曲线的离心率，则一条渐近线与x轴所成角的取值范围是a,6 4b,6 3c,4 3d,3 2【答案】 c 【答题分析】因为离心率，所以22222224313abbabaaa，所以所求夹角范围为,4 3，故选 c【考查要素】双曲线的标准方程及其性质13设已知抛物线c的

19、顶点在坐标原点，焦点为f(1，0)，直线l与抛物线c相交于 a，b 两点 .若 ab 的中点为（ 2，2） ，则直线l的方程为 _.【答案】【答题分析】抛物线的方程为24yx，10 / 162111122122222212121212124,444122,yxa xyb xyxxyxyyyyxxxxyylyxyx则有，两式相减得，直线 的方程为即14 已知直线:1lykx与圆22:2210cxyxy相交于,a b两点，若|2ab， 则 k_【答案】 1 【答题分析】根据圆心到直线的距离d与半径和弦长的关系求出k的值即可【详解】圆c：222210 xyxy，化为：22111xy，所以圆心为1,1

20、c，半径为 1，则圆心到直线的距离为21kdk，即2221()1221kabrk，解得：1k故答案为：1【考查要素】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题15已知抛物线216yx，焦点为f，(8,2)a为平面上的一定点，p为抛物线上的一动点，则papf的最小值为 _【答案】 12 【答题分析】抛物线的准线方程为：4x，焦点为4 0f （ ， ），过a向准线作垂线，垂足为b，12papfab故答案为： 1216已知f为抛物线c：22(0)xpy p的焦点，曲线1c是以f为圆心，4p为半径的圆，直线2 3630 xyp与曲线c，1c从左至右依次相交于,p q r s，则

21、rspq_【答案】215【答题分析】由直线2 3630 xyp过焦点 f，得 |rs| |sf| 4psy+2p4psy+4p，|pq| |pf| 4ppy+2p4ppy+4p，求出 s，p的纵坐标代入即可. 【详解】22221220302 3630 xpyypypxyp，因为直线2 3630 xyp与曲线c，1c从左至右依次相交于,p q r s，所以6spy，32pyp.由直线2 3630 xyp过抛物线c：22(0)xpy p的焦点 f，所以 |rs| |sf| 4psy+2p4psy+4p，|pq| |pf| 4ppy+2p11 / 164ppy+4p，44psfrsppqpf=372

22、1244556412pppp。故答案为215。【考查要素】本题考查了抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题17已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为11,0f，离心率为12e，过点1f的直线l交椭圆于,a b两点，（1）求椭圆e的方程：（2）若直线ab的倾斜角为135度，求ab. 【答案】（1）22143xy， （ 2）247【答题分析】 （1）根据题中条件，得到1c，再由离心率求出2a，进而得到b的值，从而可求出椭圆方程；（2）由题中条件，得到直线l的方程为1yx，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果. 【详解】（1）由条件知，1c，又由离心率1

23、2e知2a，223bac，椭圆的方程为22143xy. （2）由条件知，直线l的方程为1yx，联立椭圆方程2234120 xy，得到27880 xx，易知，设11,a x y，22,b xy，则由韦达定理，1287xx，1287x x故2121abkxx2121224xxx x64322424977. 【考查要素】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆的弦长，熟记椭圆的标准方程，以及弦长公式即可，属于常考题型. 18已知椭圆2222:10 xycabab过点2,1p，且椭圆c的离心率为32. （1）求椭圆c的方程；（2）过点2,0q的直线l与c相交于,a b两点，且papb，求直线l的方程

24、. 【答案】（1）22182xy， （2）31660 xy. 12 / 16【答题分析】（1）将点p坐标代入方程， 结合32ca，列方程组可求得, a b的值，进而求得椭圆方程. （2）设直线l的方程为2xmy，代入椭圆c的方程，写出韦达定理，通过计算0pa pbu uu v uuu v，可求得m的值，进而求得直线l的方程 . 【试题解析】（1）由已知得2222411,3,2ababa解得28a，22b椭圆c的方程为22182xy. （2）由题得l不为x轴，设直线l的方程为2xmy，代入椭圆c的方程得224440mymy，设11,a x y，22,b xy，则12244myym，12244y

25、ym. 11222,12,1pa pbxyxyu uu v uu u v12122211xxyy12124411mymyyy2121214117my ymyy2224414117044mmmmm即234640mm，4m（舍）或163m直线l的方程为31660 xy综上，直线l的方程为31660 xy. 【考查要素】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法.由于椭圆参数有两个,a b，那要两个条件列方程组就可以求得,a b的值，注意结合隐藏条件222abc.由于两条直线垂直，故可将此转化为两个向量垂直来建立方程，通过解方程来求得m的值，进而求得直线方程. 19已知抛物线c；22ypx

26、过点1,1a（1）求抛物线c的方程；（2）过点3, 1p的直线与抛物线c 交于 m，n 两个不同的点(均与点 a 不重合)，设直线am，an 的斜率分别为1k，2k，求证：12kk为定值【答案】（1）2yx （ 2）见解析【答题分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；13 / 16（2）设过点p（3， 1）的直线mn 的方程为13xt y，代入 y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求12kk的值【详解】（1）由题意得21p，所以抛物线方程为2yx（2）设11,mx y，22,n xy，直线 mn 的方程为13xt y，代入抛物线方程得230ytyt所以2280t，12yyt

27、，123y yt所以121212221212121212111111111111111312yyyykkxxyyyyy yyytt, 所以1k，2k是定值【方法小结】求定值问题常见的方法 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20已知椭圆2222:1(0)xycabab的焦距为2，离心率为22，y轴上一点q的坐标为（ 0,3）. （1）求该椭圆的方程；（2）若对于直线:lyxm，椭圆c上总存在不同的两点a与b关于直线l对称，且332qa qbuuu ru uu r，求实数m的取值范围 . 【答案】（1）2212xy； （2）3

28、1,33. 【答题分析】（1）利用222,2cca和222abcb求得2,1ab，故椭圆方程为2212xy； （2）设出直线ab的方程yxn，联立直线的方程和椭圆的方程，消去y，写出韦达定理，根据中点坐标有233nnm，将坐标代入向量332qa qbuuu r uuu r， 化简得3 3110mm， 由此解得3 1(, )33m. 14 / 16【详解】（1）由题意可知：21,2cca，所以2,1ab，所以所求的椭圆的方程为2212xy（2）由题意设1122,a x yb xy，直线ab方程为：yxn联立2212yxnxy，消y整理可得：2234220 xnxn，由222412 222480n

29、nn，解得33n21212423,33nnxxx x，设直线ab之中点为00,p xy，则120223xxnx，由点p在直线ab上得：0233nnyn，又点p在直线l上，233nnm，所以33(,)333nm又，所以221212323233239633 31103qa qbx xyynnmmmmuuu r uuu r，解得113m综合 ，m的取值范围为3 1(,)33考点：直线与圆锥曲线位置关系. 【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程的求法. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，

30、化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解21在平面直角坐标系xoy中，已知点1,0f，动点q到点f的距离比到y轴的距离大1 个单位长度 . （1）求动点q的轨迹方程e；（2）若过点f的直线l与曲线e交于a，b两点，且8fa fbuu u r uu u r，求直线l的方程 . 【答案】 (1) 24yx(2) 1yx或1yx. 15 / 16【答题分析】 （1）由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线,根据题意可得准

31、线方程,由准线方程可求得抛物线的方程；（2）当斜率不存在时,带入fa fbu u u r uuu r检验是否成立；当斜率存在时,设出直线方程 ,联立抛物线 ,根据韦达定理可得1212,xx x x.由向量数量积定义即可得关于k的方程 ,解方程即可求得k的值 . 【详解】（1）根据抛物线的定义,知动点q的轨迹是以f为焦点 ,以1x为准线的抛物线所以动点q的轨迹方程e为：24yx（2） 当l的斜率不存在时,可知48fa fbuu u r uu u r,不符合条件 当l的斜率存在且不为0 时 ,设l：1yk x, 则2(1),4 ,yk xyx联立可得2222240k xkxk, 设11,a x y,22,b