初二数学动点问题归类复习

1、初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 敏捷运用有关数学学问解决问题.关键 : 动中求静 .数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关学问，结合动点问题进行归类复习，期望对同学们能有所帮忙；一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例 1：（2021 年上海市虹口区中考模拟第25 题） 如图 1，在 rt abc 中， a 90°， ab 6，ac 8，点 d 为边 bc 的中点， debc 交边 ac 于点 e，点 p

2、为射线 ab 上的一动点，点q 为 边 ac上的一动点，且pdq 90°（ 1）求 ed、ec 的长；（ 2）如 bp 2，求 cq 的长；（ 3）记线段pq 与线段 de 的交点为f ，如 pdf 为等腰三角形，求bp 的长思路点拨图 1备用图1第（ 2）题 bp 2 分两种情形2解第（ 2）题时，画精确的示意图有利于懂得题意，观看线段之间的和差关系3第（ 3）题探求等腰三角形pdf 时，依据相像三角形的传递性，转化为探求等腰三角形cdq 解答：（1）在 rt abc 中，ab6， ac 8，所以 bc 10在 rt cde 中， cd 5，所以edcdtanc315255， ec

3、444（ 2）如图 2，过点 d 作 dm ab， dn ac，垂足分别为m 、n，那么 dm 、dn 是 abc 的两条中位线，dm 4， dn 3由 pdq 90°， mdn 90°，可得 pdm qdn 因此 pdm qdn 所以 pmdmqndn4所以 qn33 pm ， pm44 qn 3图 2图 3图 4如图 3，当 bp 2， p 在 bm 上时， pm 1此时 qn3 pm3 所以cqcnqn4319 4444如图 4，当 bp 2， p 在 mb 的延长线上时，pm 51此时 qn3 pm15所以cqcnqn1531444（ 3）如图 5，如图 2，在 r

4、t pdq 中，tanqpd44qddn3pddm4在 rt abc 中，tancba3 所以 qpd cca4由 pdq 90°， cde 90°，可得 pdf cdq 因此 pdf cdq 当 pdf 是等腰三角形时，cdq 也是等腰三角形如图 5，当 cq cd 5 时， qn cq cn 54 1（如图 3 所示）此时 pm4 qn4所以bpbmpm345 3333如图 6，当 qc qd 时，由 coscch ，可得 cq cq5425 258所以 qn cn cq 4257（如图 2 所示）88此时 pm4 qn7所以bpbmpm3725 3666不存在dp d

5、f 的情形这是由于dfp dqp dpq （如图 5，图 6 所示）图 5图 6考点舒展： 如图 6，当 cdq 是等腰三角形时，依据等角的余角相等，可以得到bdp 也是等腰三角形， pbpd 在 bdp 中可以直接求解bp25 6二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例 2：（ 2021 年河南省中考第23 题） 如图 1，直线 ya 的坐标是（ -2， 0）（ 1）试说明 abc 是等腰三角形；4 x4 和 x 轴、y 轴的交点分别为b、c，点3（ 2）动点 m 从 a 动身沿 x 轴向点 b 运动，同时动点n 从点 b 动身沿线段bc 向点 c 运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度

6、 当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 m 运动 t 秒时， mon 的面积为s 求 s与 t 的函数关系式； 设点 m 在线段 ob 上运动时，是否存在s 4 的情形？如存在，求出对应的t 值；如不存在请说明理由；在运动过程中，当mon 为直角三角形时，求t 的值2图 1思路点拨：1第（ 1）题说明 abc 是等腰三角形，示意了两个动点m 、n 同时动身，同时到达终点2不论 m 在 ao 上仍是在ob 上，用含有t 的式子表示om 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示om 要分类争论3将 s 4 代入对应的函数解析式，解关于t 的方程4分类争论mon 为直角三角形，不存在onm 9

7、0°的可能解答：（ 1）直线 y4 x4 与 x 轴的交点为b（ 3， 0）、与 y 轴的交点c（ 0， 4）3rt boc 中， ob 3，oc 4，所以 bc 5点 a 的坐标是（ -2， 0），所以ba 5因此 bc ba，所以 abc 是等腰三角形（ 2）如图2，图 3，过点 n 作 nh ab，垂足为h 在 rt bnh 中， bn t， sin4b，所以54nht 5如图 2，当 m 在 ao 上时， om 2 t，此时s1omnh1 2t4 t2 t 24 t 定义域为0 t 222555如图 3，当 m 在 ob 上时， om t 2，此时s1omnh1 t24 t2

8、 t 24 t 定义域为2 t 522555图 2图 3把 s 4 代入 s2 t 24 t ，得2 t 24 t4 5555解得 t1211 ， t2211 （舍去负值） 因此，当点m 在线段 ob 上运动时，存在s4 的情形，此时t211 如图 4，当 omn 90°时，在rt bnm 中， bn t， bm5t ， cos b3 ，53所以 5t t325解得 t58如图 5，当 omn 90°时， n 与 c 重合， t5 不存在 onm 90°的可能25所以，当t或者 t85 时， mon 为直角三角形图 4图 5考点舒展： 在此题情形下，假如mon 的

9、边与 ac 平行，求t 的值如图6，当 on / ac 时， t3；如图 7，当 mn /ac 时， t 2.5图 6图 7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例 3：（ 2021 年山西省中考第26 题） 在直角梯形oabc 中， cb/oa， coa 90°， cb 3， oa 6， ba 35 分别以oa、oc 边所在直线为x 轴、 y 轴建立如图1 所示的平面直角坐标系（ 1）求点 b 的坐标；（ 2）已知 d 、e 分别为线段oc 、ob 上的点， od 5， oe 2eb，直线 de 交 x 轴于点 f求直线 de 的解析式；（ 3）点 m 是（ 2）中直线 d

10、e 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点n，使以 o、d、m 、n 为顶点的四边形是菱形？如存在，恳求出点n 的坐标；如不存在，请说明理由图 1图 2思路点拨： 1第（ 1）题和第（ 2）题包蕴了ob 与 df 垂直的结论，为第（3）题争论菱形供应了运算基础2争论菱形要进行两次（两级） 分类， 先依据 do 为边和对角线分类，再进行二级分类，4do 与 dm 、do 与 dn 为邻边解答： 1如图 2，作 bhx 轴，垂足为h，那么四边形bcoh 为矩形， oh cb 3在 rt abh 中， ah 3，ba 35 ，所以 bh 6因此点 b 的坐标为 3,6(2) 由于 oe 2

11、eb，所以 xe2xb2 ， ye32yb4 ， e2,43b5,设直线 de 的解析式为y kx b，代入 d 0,5，e2,4 ，得1解得 k，b5 所1以直线 de 的解析式为yx5 212kb4.2(3) 由 yx 25 ，知直线de 与 x 轴交于点f 10,0 ， of 10， df 55 如图 3，当 do 为菱形的对角线时，mn 与 do 相互垂直平分，点 m 是 df 的中点 此时点 m5的坐标为 5,25，点 n 的坐标为 5,2如图 4，当 do 、dn 为菱形的邻边时，点n 与点 o 关于点 e 对称，此时点n 的坐标为 4,8如图 5，当 do 、dm 为菱形的邻边时

12、，no 5，延长 mn 交 x 轴于 p由 npo dof ， 得nppononppo， 即5 解 得 np5，doofdf51055po25 此时点n 的坐标为 25,5 考点舒展图 3图 4假如第（ 3）题没有限定点n 在 x 轴上方的平面内，那么菱形仍有如图6 的情形图 5图 65四、相像三角形：因动点产生的相像三角形问题例 4：（ 2021 年苏州中考28 题）如图，点o 为矩形 abcd 的对称中心， ab=10 cm，bc=12 cm，点 e、f 、g 分别从 a、b、c 三点同时动身， 沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 e 的运动速度为1cm/ s，点 f 的运动速度为3cm/

13、s，点 g 的运动速度为1.5cm/s，当点 f 到达点 c（即点 f 与点 c 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中， ebf 关于直线ef 的对称图形是 ebf设点 e、f、g 运动的时间为t（单位： s）（ 1）当 t=s 时，四边形ebfb 为正方形；（ 2）如以点e、 b、f 为顶点的三角形与以点f ， c， g 为顶点的三角形相像，求t 的值；（ 3）是否存在实数t，使得点 b与点 o 重合？如存在，求出t 的值；如不存在，请说明理由思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到be=bf ，列一元一次方程求解即可；（ 2） ebf 与 fcg相像，分两种情形，需要分类争论，逐一分析运

14、算；（ 3）本问为存在型问题假设存在，就可以分别求出在不同条件下的t 值，它们相互冲突，所以不存在解答：（1）如四边形ebfb 为正方形，就be=bf ，即： 10 t=3t，解得 t=2.5；（ 2）分两种情形， 争论如下： 如 ebf fcg ，就有，即，解得： t=2.8 ； 如ebf gcf ，就有，即，解得： t= 142（不合题意，舍去）或 t= 14+2 当 t=2.8 s 或 t=（ 14+2） s 时，以点e、b、f 为顶点的三角形与以点f ， c，g 为顶点的三角形相像（ 3）假设存在实数t，使得点 b与点 o 重合 如图， 过点 o 作 om bc 于点 m ，就在 rt

15、 ofm 中，）of =bf =3t，fm =bc bf =6 3t，om =5 ，由勾股定理得： om 2+fm 2=of 2，即：52+（6 3t2=（3t）2 解得： t =；过点 o 作 on ab 于点 n，就在 rt oen 中， oe=be=10 t，en=be bn=10 t 5=5 t，on =6，6+en由勾股定理得：on 22=oe2，即： 62+（ 5 t）2=（ 10 t ）2 解得： t=3.9 3.9，不存在实数 t，使得点b与点 o 重合考点舒展： 此题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相像三角形的判定性质、勾股定理、解方程等学问点题目并不复杂，但需要认真

16、分析题意，认真作答第（2）问中，需要分类争论，防止漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出相互冲突的结论，从而判定不存在 拓展练习：1、如图 1，梯形 abcd 中， ad bc， b=90 °， ab=14cm,ad=18cm,bc=21cm,点 p 从 a 开头沿ad 边以 1cm/ 秒的速度移动， 点 q 从 c 开头沿 cb 向点 b 以 2 cm/秒的速度移动， 假如 p，q 分别从a ， c 同时动身，设移动时间为t 秒；当 t=时，四边形是平行四边形；当 t=时，四边形是等腰梯形.（ 1 题图）备用图2、如图 2，正方形abcd的边长为4，点m在边d

17、c上，且 dm=1 ， n 为对角线ac 上任意一点，就 dn+mn的最小值为；（ 2 题图）（ 3 题图）3、如图，在rt abc 中，acb90°，b60°， bc2 点 o 是 ac 的中点，过点o 的直线 l 从与 ac 重合的位置开头，绕点o 作逆时针旋转，交ab 边于点 d 过点 c 作 ce ab 交直线 l 于点 e ，设直线 l 的旋转角为（ 1）当度时，四边形edbc 是等腰梯形，此时ad 的长为；当度时，四边形edbc 是直角梯形，此时ad 的长为；（ 2）当90°时，判定四边形edbc 是否为菱形，并说明理由74、在 abc 中， acb=

18、90°， ac=bc ，直线 mn 经过点 c，且 ad mn 于 d， be mn 于 e.mmmdcccendeababab图 1end1 当直线 mn 绕点 c 旋转到图1 的位置时，图求2证：nadc ceb；图 3 de=ad be；2 当直线 mn 绕点 c 旋转到图2 的位置时，求证：de=ad-be ；3 当直线 mn 绕点 c 旋转到图3 的位置时，试问de 、ad 、be 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上， 张老师出示了问题： 如图 1，四边形 abcd是正方形， 点 e 是边 bc的中点且 ef交正方形外角dcg 的平行线cf于点

19、 f，求证： ae=efaef90o ，经过摸索，小明展现了一种正确的解题思路：取ab 的中点m，连接me，就am=ec，易证 ame ecf ，所以 aeef 在此基础上，同学们作了进一步的争论：（ 1）小颖提出：如图2，假如把“点e 是边 bc的中点”改为“点e 是边 bc上（除 b， c外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ae=ef”仍旧成立，你认为小颖的观点正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明理由；（ 2）小华提出：如图3，点 e 是 bc的延长线上（除c点外）的任意一点，其他条件不变，结论 “ ae=ef”仍旧成立你认为小华的观点正确吗？假如正确，写出证明过程；假

20、如不正确，请说明理由6、如图 , 射线 mb 上,mb=9,a是射线 mb 外一点 ,ab=5 且 a 到射线 mb 的距离为 3,动点 p 从 m 沿射线 mb 方向以 1 个单位 /秒的速度移动，设p 的运动时间为t.求（ 1）pab 为等腰三角形的t 值；（ 2）pab 为直角三角形的t 值；（ 3） 如 ab=5 且 abm=45°，其他条件不变，直接写出pab 为直角三角形的t 值；7、如图 1，在等腰梯形abcd 中， ad bc ， e 是 ab 的中点，过点e 作 ef bc 交 cd 于点f ab4， bc6 ， b60 .求：（ 1）求点 e 到 bc 的距离；8

21、（ 2）点 p 为线段 ef 上的一个动点， 过 p 作 pmef 交 bc 于点 m ，过 m 作 mn ab 交折线adc 于点 n ，连结 pn ，设 epx .当点 n 在线段 ad 上时（如图2）， pmn的外形是否发生转变？如不变，求出pmn的周长； 如转变， 请说明理由； 当点 n 在线段 dc 上时（如图 3），是否存在点p ，使pmn为等腰三角形？如存在，恳求出全部满意要求的x 的值；如不存在，请说明理由adandad nefepbcbmfepfcbcm图 1图 2图 3ad（第 25 题） adefefbc图 4（备用）bc图 5（备用）8、如图，已知 abc 中，abac

22、10厘米， bc8厘米，点 d 为 ab 的中点1）假如点p 在线段 bc 上以 3cm/s 的速度由b 点向 c 点运动，同时，点q 在线段 ca 上由 c 点向a 点运动如点 q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经过1 秒后，bpd 与 cqp是否全等，请说明理由；如点q 的运动速度与点p 的运动速度不相等，当点q 的运动速度为多少时，能够使 bpd 与 cqp 全等？（ 2）如点 q 以中的运动速度从点c 动身，点p 以原先的运动速度从点b 同时动身，都逆时针沿 abc 三边运动，求经过多长时间点p 与点 q 第一次在 abc 的哪条边上相遇？9（ 8 题图）（9 题图）9、如下列图，

23、在菱形abcd 中， ab=4 ， bad=120 °， aef 为正三角形，点e、f 分别在菱形的边 bc cd 上滑动，且e、f 不与 b c d 重合（ 1）证明不论e、f 在 bc cd 上如何滑动，总有be=cf ；（ 2）当点 e、f 在 bccd 上滑动时，分别探讨四边形aecf 和 cef 的面积是否发生变化？假如不变，求出这个定值；假如变化，求出最大（或最小）值10、如图，在 aob 中， aob=90 °， oa=ob=6 ， c 为 ob 上一点，射线cd ob 交 ab 于点 d ， oc=2 点 p 从点 a 动身以每秒个单位长度的速度沿ab 方向

24、运动， 点 q 从点 c 动身以每秒2 个单位长度的速度沿cd 方向运动， p、q 两点同时动身，当点p 到达到点b 时停止运动，点q 也随 之停止过点p 作 pe oa 于点 e，pf ob 于点 f，得到矩形peof以点 q 为直角顶点向下作等 腰直角三角形qmn ，斜边 mn ob，且 mn=qc 设运动时间为t （单位：秒） （ 1）求 t=1 时 fc 的长度（ 2）求 mn=pf 时 t 的值（ 3）当 qmn 和矩形 peof 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积s 与 t 的函数关系式（ 4）直接写出 qmn 的边与矩形peof 的边有三个公共点时t 的值10参考答案：1、

25、解：（ 1）要使四边形pqcd 为平行四边形，就pd=cq ， ad=18cm ，即 18-t=2t ，解得： t=6 ；（ 2）设经过 ts，四边形 pqcd 是等腰梯形 过 q 点作 qead ，过 d 点作 df bc，四边形 pqcd是等腰梯形，pq=dc 又 ad bc ， b=90°， ab=eq=df eqp fdc fc=ep=bc-ad=21-18=3 又 ae=bq=21-2t ，ep=t-ae ， ep=ap-ae=t- （ 21-2t ） =3得： t=8经过 8s，四边形pqcd 是等腰梯形2、5；3、解：（1） 30， 1； 60， 1.5；（ 2）当 =

26、900 时，四边形edbc 是菱形 . = acb=90 0， bc/ed . ce/ ab, 四边形edbc 是平行四边形在 rtabc 中， acb=90 0， b=60 0,bc=2, a=300 .1 ab=4,ac=23 . ao= 2ac=3.在 rt aod 中， a=30 0， ad =2. bd =2. bd =bc.又四边形edbc 是平行四边形，四边形edbc 是菱形4、解：（ 1） acd= acb=90° cad+ acd=9°0 cad= bce ac=bc adc ceb bce+ acd=9°0 adc ceb ce=ad ， cd

27、=bede=ce+cd=ad+be(2) adc= ceb= acb=90° acd= cbe又 ac=bc acd cbe ce=ad ，cd=be de=ce-cd=ad-be(3) 当 mn 旋转到图3 的位置时， de=be-ad 或 ad=be-de ，be=ad+de等 adc= ceb= acb=90° acd= cbe ， 又 ac=bc ， acd cbe ， ad=ce ，cd=be ，de=cd-ce=be-ad.5、解：（ 1）正确证 明 ： 在 ab 上 取 一 点 m ， 使 amec ， 连 接 me bmbe bme45°，ame1

28、35°q cf是外角平分线，dcf45°，ecf135°ameecf qaebbae90°，aebcef90°，baecef （ 2）正确 ame bcf （ asa）aeef 证明：在ba的延长线上取一点n使ance，连接nebnbenpce45° q四 边形abcd是 正方 形，ad bedaebeanaecef ane ecf（ asa）aeef 116、解： 解：（ 1）作 ae bm 于 e；就 ae=3 ， ab=5 ， be=（ ab2-ae2）=4mp=t,bp=9-t 如 ap=ab, 9-t=2 ×4 t

29、=1如 pa=pb ， bp/1/2ab=ab/bp（ 9-t2=1/2*5*5 t=9- 5/29+ 5/舍2 去）如 ba=bp ， |9-t|=5 t=4 、14综上， t=1、4、9-5/2、14（ 2）如 apb=90° 9-t=4 t=5如 pab=90° bp/ba=ba/be 9-t/5=5/4 t=11/4综上， t=5、11/4 ；7、解：（ 1）如图 1，过点 e 作 egbc 于点 g e 为 ab 的中点，1beab2 2在 rtebg 中， b60 ， begbg30 1be1， eg222123即点 e 到 bc 的距离为3（ 2）当点 n 在

30、线段 ad 上运动时，pmn的外形不发生转变ad pmef，egef， pm eg ef bc， epgm ， pmeg如图 2，过点 p 作 phmn 于 h ， mn3 同理 ab，efmnab4bcg nmcb60， pmh30 ph1 pm3 22图 1a nd mhpm gcos303 就 nhmnmh435 222p22ef在 rtpnh 中，pnnh 2ph 253722hb g mc pmn的周长 = pmpnmn374图 2当点 n 在线段 dc 上运动时，pmn的外形发生转变，但mnc恒为等边三角形当 pmpn 时，如图3，作 prmn 于 r ，就 mrnr类似， mr3

31、 mn22mr3 mnc是等边三角形，mcmn3此时，xepgmbcbgmc613212当 mpmn 时，如图 4，这时mcmnmp3 此时，xepgm61353当 npnm 时，如图5， npm pmn30 就 pmn120 ，又mnc60 ， pnmmnc180 因此点 p 与 f 重合， pmc 为直角三角形 mcpm gtan301此时，xepgm6114综上所述，当x2 或 4 或53时，pmn为等腰三角形8、解：解：（ 1） t1秒， bpcq313 厘米，a ab10 厘米，点 d 为 ab 的中点， bd5 厘米dq又 pcbcbp， bc8厘米， pc835 厘米， pcbd

32、 bcp又 abac ， bc ， bpd cqp vpvq，bpcq，又 bpd cqp，bc，就bppc4， cqbd5 ，bp4vcq t51544点 p ，点tqq 运动的时间33 秒，3厘米 /秒；（ 2）设经过 x 秒后点 p 与点 q 第一次相遇，由题意，得8038015 x43x210x，解得803 秒点 p 共运动了3厘米 8022824 ，点 p 、点 q 在 ab 边上相遇，经过803秒点 p 与点 q 第一次在边ab 上相遇9、解：（ 1）证明：如图，连接ac，四边形 abcd 为菱形， bad =120 °， bae+ eac=60 °， fac+ eac=60°， bae=fac； bad =120°， abf =60°； abc 和 acd 为等边13三角形； acf =60°，ac=ab； abe= afc ；在 abe 和 acf 中， bae= fac，ab=ac， abe=afc ， abe acf（ asa）； be=cf ；（ 2）四边形aecf 的面积不变，cef 的面积发生变化；理由如下：由（1）得 abe acf，就 s abe=sacf； s 四边形 aecf=saec+s acf=saec+s abe=sabc，是定值；作ah bc 于 h 点，就