高等数学同济大学版课程讲解11映射与函数

1、课时授课计划课次序号：01 一、课题： 1.1 映射与函数二、课型：新授课三、目的要求： 1. 了解集合与映射的有关概念；2. 理解函数的概念，了解函数的四种特性；3. 理解复合函数的概念，了解反函数的概念；4. 熟悉基本初等函数的性质及其图形；5. 会建立简单实际问题的函数关系式四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态. 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合六、参考资料： 1. 高等数学释疑解难，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.高等数学教与学参考 ，张宏志主编，西北工业大学出版社七、作业：习题1 1 3（1

2、） ，6（4） （7） ，9（1）八、授课记录：九、授课效果分析：授课日期班次第一章函数与极限第一节映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识. 一、集合1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念一般地， 我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集组成集合的事物称为该集合的元素例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等通常我们用大写的英文字母a，b，

3、c，表示集合；用小写的英文字母a，b，c， 表示集合的元素若a 是集合 a 的元素，则称a 属于 a，记作 aa；否则称a 不属于 a，记作 aa（或 aa） 含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x1 0 的实根组成的集合是空集集合的表示方法： 一种是列举法， 即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内 例如，所有正整数组成的集合可以表示为n 1 ，2，n， 另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x 所组成的集合a

4、 记作a xx 具有性质p（x）例如，正整数集n 也可表示成n nn 1，2，3， ；又如 a （x，y）2x2y1，x，y 为实数 表示 xoy 平面单位圆周上点的集合2. 集合的运算设 a，b 是两个集合， 若 a 的每个元素都是b 的元素， 则称 a 是 b 的子集， 记作 ab（或 ba） ；若 ab，且有元素ab， 但 aa， 则说 a 是 b 的真子集， 记作 ab对任何集 a，规定a若 a b，且 ba，则称集a 与 b 相等，记作a b由属于 a 或属于 b 的所有元素组成的集称为a 与 b 的并集，记作ab，即ab xxa 或 xb 由同时属于a 与 b 的元素组成的集称为a

5、 与 b 的交集，记作a b，即a b xxa 且 xb由属于 a 但不属于b 的元素组成的集称为a 与 b 的差集，记作a b，即a b xxa 但 xb 如图 1 1 所示阴影部分图 1 1 在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集x 的子集，则称x 为基本集或全集 x 中的任何集a 关于 x 的差集 x a 称为 a 的补集（或余集） ，记作ca集合的交、并、余的运算满足下列运算法则: 设 a，b，c 为三个任意集合，则下列法则成立：（1）交换律ab ba，ab b a；（2）结合律 （ab） c a（ bc） ，（a b） c a （b c） ；（3）分配律 （ab） c （ac

6、）（ b c） ，（a b） c （ac） （bc） ，（a b） c （a c） （b c） ；（4）幂等律aa a，aa a；（5）吸收律aa，a设 ai（i 1，2， ）为一列集合，则下列法则成立：（1）若 aic（i 1，2， ） ，则1iiac；（2）若 aic（i 1，2， ） ，则1iiac设 x 为基本集 ，ai（i 1，2，）为一列集合，则1ciia1ciia，1ciia1ciia3. 区间与邻域（1） 区间设 a 和 b 都是实数，将满足不等式axb 的所有实数组成的数集称为开区间，记作 （ a，b） 即（ a， b）xax b ，a 和 b 称为开区间（a，b）的端点，这

7、里a（a，b）且b（a，b） 类似地，称数集a，b xa x b为闭区间， a 和 b 也称为闭区间a，b的端点，这里 a a，b且 b a，b 称数集 a，b） xa xb和（ a，b xax b为半开半闭区间以上这些区间都称为有限区间数 ba 称为区间的长度此外还有无限区间：（ ， ） x xr，（ ，b x x b，（ ，b） x xb ，a， ） xa x ，（a， ） xax ，等等这里记号“” 与“” 分别表示 “ 负无穷大 ” 与“ 正无穷大 ” （2） 邻域设 x0是一个给定的实数，是某一正数，称数集 xx0 xx0 为点 x0的 邻域，记作 u（x0， ） 称点 x0为这邻域

8、的中心，为这邻域的半径 （如图 1 2） 图 1 2 称 u（x0， ） x0为 x0的去心 邻域，记作ou(x0, ) x0 x x0 , 记ou( x0, ) xx0 xx0, ou(x0, ) xx0 xx0 ,它们分别称为x0的去心左 邻域和去心右邻域当不需要指出邻域的半径时，我们常用u（x0） ，ou(x0)分别表示x0的某邻域和x0的某去心邻域。二、映射1映射的定义定义 1 设 a，b 是两个非空的集合，若对a 中的每个元素x，按照某种确定的法则f，在 b 中有惟一的一个元素y 与之对应，则称f 是从 a 到 b 的一个映射，记作f：ab，称 y 为 x 在映射 f 下的像， x

9、称为 y 在映射 f 下的原像集合 a 称为映射f 的定义域， a 中所有元素x 的像 y 的全体所构成的集合称为f 的值域，记作rf 或 f（a） ，即rf = f (a) yy f(x),xa定义中 x 的像是惟一的，但y 的原像不一定惟一，且f（ a）b映射概念中的两个基本要素是定义域和对应法则定义域表示映射存在的范围，对应法则是映射的具体表现例 1设 a 表示某高校大学一年级学生所构成的集合，用一种方法给每一个学生编一个学号， b 表示该校一年级学生学号的集合，f 表示编号方法，于是确定了从a 到 b 的一个映射 fab例 2设 a 1，2， ，n， ，b 2，4，2n， 令f(x)=

10、2x，xa， 则 f 是一个从a 到 b 的映射例 3设 a 0，1 ，b （x，y）y x，xa，如图 1 3 所示令 f x（x，x） ，xa，则 f 是一个从a 到 b 的映射图 1 3 设有映射 fab，若 b f（ a） f（x） xa，则称 f 是满射若f 将 a 中不同的元素映射到b 中的像也不同，即若x1，x2a 且x1 x2，则 f（ x1） f(x2),则称 f 是单射若f 既是满射又是单射，则称f 是从 a 到 b 的一一映射若a 与 b 之间存在一一映射，则称a与 b 是一一对应的上面的例1，例 2 与例 3 的两个集合都是一一对应的2. 复合映射定义 2 设有映射g

11、ab，fbc，于是对xa 有xgug（x）fy f（u）fg（x） c这样，对每个xa，经过 ub，有惟一的yc 与之对应，因此，又产生了一个从a 到 c的新映射，记作fg ac，即（fg） （x）fg（x） ， xa，称fg为 f 与 g 的复合映射 ,如图 1 4 所示图 1 4 3. 逆映射定义 3 设有映射fab，b f（a） ，若存在一个映射gba，对每个yb，通过g，有惟一的x a 与之对应，且满足关系f（x） y，则称 g 是 f 的逆映射，记作g f 1若映射 f：ab 是一一映射，则f 必存在一个从b 到 a 的逆映射f 1三、函数1. 函数的概念定义 4 设 a，b 是两个

12、实数集，将从a到 b 的映射 f：ab 称为函数，记作y f（x） ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量， f（ x）表示函数f 在 x 处的函数值， a 称为函数f 的定义域，记作fd；f（a）yy f（ x） ，xab 称为函数f 的值域，记作fr通常函数是指对应法则f，但习惯上用 “ y f（x） ，xa” 表示函数，此时应理解为“ 由对应关系 y f（x）所确定的函数f ” 从几何上看， 在平面直角坐标系中，点集 （x，y） y f（x） ，xfd称为函数y f（ x）的图像（如图1 5 所示） 函数y f（x）的图像通常是一条曲线，y f（x）也称为这条曲线的方程这样，函数的一些

13、特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨图 1 5 例求函数 y24- x11x的定义域解要使数学式子有意义， x 必须满足24-0,-10 ,xx即2,1.xx由此有 1x2 ，因此函数的定义域为（1，2 有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数下面给出一些今后常用的分段函数例绝对值函数y x,0, 0 x xx x的定义域fd（ ， ） ， 值域fr0， ，如图 1 6 所示例符号函数y sgnx1, 0 xxx的定义域fd（ ， ） ，值域fr 1，0，1，如图 1 7所示图 1-6 图 1-7 例取

14、整函数y x ，其中 x表示不超过x 的最大整数例如， 131，0 0， 2 1， 3 等等 函数 y x的定义域fd（ ， ） ，值域fr整数一般地， y xn，n xn 1，n 0， 1, 2, ,如图 1-8 所示图 1-8 2. 复合函数与反函数(1) 复合函数定义 5 设函数( )yf u的定义域为fd， 值域为fr； 而函数( )ug x的定义域为gd，值域为gfrd，则对任意gxd，通过( )ug x有惟一的gfurd与x对应，再通过( )yf u又有惟一的fyr与u对应 这样， 对任意gxd，通过u，有惟一的fyr与之对应因此y是x的函数，称这个函数为( )yf u与( )ug

15、 x的复合函数，记作()( ) ( )yfgxf g x，gxd，u称为中间变量两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形例如， y xlogaxa（a0 且 a1 ）可看成由指数函数yau与 u logax 复合而成例设 f（x）1xx（x 1）,求 f（f（f（x） ） ）解令(),( ),( )yf wwf uuf x，则 y f（f（f（x） ） ）是通过两个中间变量w 和 u复合而成的复合函数，因为( )1uwf uu111xxxx21xx， x12；()1wyf ww21211xxxx31xx,x13，所以f（f（f（x） ） ）31xx，x 1,12,13（2）反函数定义 6 设

16、 a， b 为实数集，映射f：ab 的逆映射f1称为 y f（x）的反函数即：若对每个 yb，有惟一的xa，使 y f（x） ，则称 x 也是 y 的函数，记作f 1，即 x f 1（y） ，并称它为函数y f（x）的反函数，而y f（ x）也称为反函数x f 1（y）的直接函数从几何上看，函数y f（x）与其反函数x f 1（y）有同一图像但人们习惯上用x表示自变量， y 表示因变量，因此反函数x f 1（y） 常改写成y f 1（ x） 今后，我们称y f 1（x）为 y f（x）的反函数 此时，由于对应关系f 1未变， 只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y f 1（x）与直接函数y

17、 f（x）的图像关于直线y x 对称，如图1 9 所示图 1 9 值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数y x2的定义域为（ ， ） ，值域为 0， ） ，但对每一个y（ 0， ） ，有两个x 值即 x1y和 x2y与之对应，因此 x 不是 y 的函数， 从而 y x2不存在反函数 事实上， 由逆映射存在定理知，若 f 是从fd到fr的一一映射，则f 才存在反函数f 1例设函数(1)1xf xx（x 1）,求1(1)fx解函数(1)yf x可看成由y f （u） ，u x 1复合而成所求的反函数1(1)yfx可看成由y f 1（u） ，u x 1复合而成因为f（u）1xx1uu，u

18、0,即y1uu，从而，u（y 1）1，u11y，所以y f 1（u）11u，因此11(1)1(1)fxx1x，x03. 函数的几种特性(1) 函数的有界性定义 7 设函数( )f x的定义域为fd，数集fxd，若存在某个常数1k（或2k） ，使得对任一xx，都有1( )f xk（或2( )f xk） ，则称函数( )f x在x上有上界（或有下界），常数1k（或2k）称为( )f x在x上的一个上界（或下界） ，否则，称( )f x在x上无上界（或无下界） 若函数( )fx在x既有上界又有下界，则称( )f x在x上有界，否则，称( )f x在x上无界易知，函数( )f x在x上有界的充要条件是

19、：存在常数m0，使得对任一xx，都有( )f xm例如，函数sinyx在其定义域（， ）内是有界的，因为对任一x（ ， ）都有sin1x，函数1yx在（ 0，1）内无上界，但有下界从几何上看，有界函数的图像界于直线ym之间(2) 函数的单调性定义 8 设函数( )f x的定义域为fd，数集fid，若对i中的任意两数x1，x2（x1x2），恒有12()()f xf x（或12()()f xf x） ，则称函数( )yfx在i上是单调增加（或单调减少）的若上述不等式中的不等号为严格不等号时，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函

20、数统称为严格单调函数，如图110 所示图 110 例如，函数3( )f xx在其定义域（ ， ）内是严格单调增加的；函数( )cotfxx在（ 0， ）内是严格单调减少的从几何上看，若( )yf x是严格单调函数，则任意一条平行于x轴的直线与它的图像最多交于一点，因此( )yf x有反函数(3) 函数的奇偶性定义9 设函数( )f x的定义域fd关于原点对称（即若fxd，则必有fxd） 若对任意的fxd，都有()( )fxf x（或()( )fxf x） ，则称 f（x）是fd上的奇函数（或偶函数）奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y 轴，如图1 11 所示图 111 例 10讨论

21、函数f（x） ln（x21x）的奇偶性解函数 f（x）的定义域（， ）是对称区间，因为f（ x）ln（ x21x）ln（211xx）ln（ x21x）f（x）所以， f（x）是（ ， ）上的奇函数(4) 函数的周期性定义10 设函数( )f x的定义域为fd，若存在一个不为零的常数t，使得对任意fxd，有（xt）fd，且()( )f xtf x，则称( )f x为周期函数，其中使上式成立的常数t 称为( )f x的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数t（如果存在的话） 例如，函数( )sinf xx的周期为2 ；( )tanf xx的周期是 并不是所有函数都有最小

22、正周期，例如，狄利克雷函数1,( )0,xd xx为有理数为无理数，任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期4. 函数应用举例例 11火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50 千克时，按基本运费计算如从上海到某地每千克以015 元计算基本运费，当超过 50 千克时， 超重部分按每千克025元收费试求上海到该地的行李费y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像解当 0 x50时， y 015x;当 x50 时， y 015 50 025(x 50)所以函数关系式为 y0.15x,0 x50;7.50.25(50),50.xx这是一个分段函数，其图像如图112 所示图

23、112 例 12一打工者，每天上午到培训基地a 学习，下午到超市b 工作，晚饭后再到酒店c 服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃a，b，c 位于一条平直的马路一侧， 且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km，酒店与超市相距5km，问该打工者在这条马路的a 与 b 之间何处找一宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短解如图 1 13 所示，设所找宿舍d 距基地 a 为 x（km） ，用 f（x）表示每天往返的路程函数图 1 13 当 d 位于 a 与 c 之间，即0 x3 时，易知f（ x） x 8 （8 x）2（ 3 x） 22 2x，当 d 位于 c 与 b 之间

24、,即 3 x8 时，则f(x) x 8 (8 x) 2(x 3) 10 2x所以f(x)22 ,03;102 ,38.xxxx这是一个分段函数，如图1 14 所示 ,在 0,3上 ,f(x)是单调减少 ,在 3,8上 ,f(x)是单调增加从图像可知,在 x 3 处 ,函数值最小这说明,打工者在酒店c 处找宿舍 ,每天走的路程最短图 1 14 图 1 15 5. 基本初等函数(1) 幂函数函数y x（是常数）称为幂函数幂函数 y x的定义域随 的不同而异，但无论为何值，函数在（0， ）内总是有定义的当 0 时， y x在 0， ）上是单调增加的，其图像过点（0，0）及点（ 1，1） ，图1 16

25、 列出了 12，1， 2 时幂函数在第一象限的图像图 1 16 图 1 17 当 0 时， y x在（ 0， ）上是单调减少的，其图像通过点（1，1） ，图 1 17 列出了 12， 1，2 时幂函数在第一象限的图像(2) 指数函数函数 y ax（a 是常数且 a0，a1 ）称为指数函数图 1 18 指数函数 y ax的定义域是（ ， ） ，图像通过点 (0,1),且总在 x 轴上方当 a1 时,y ax是单调增加的 ;当 0 a1 时,y ax是单调减少的 ,如图 1 18 所示以常数 e 271828182 为底的指数函数y ex 是科技中常用的指数函数(3) 对数函数指数函数 y ax的

26、反函数，记作y loga x（a 是常数且a0,a 1), 称为对数函数对数函数y logax 的定义域为（ 0， ） ，图像过点（ 1，0） 当 a1 时， y logax 单调增加；当0a 1 时， y logax 单调减少，如图1 19 所示科学技术中常用以e 为底的对数函数y logex，它被称为自然对数函数，简记作y lnx图 1 19 另外以 10 为底的对数函数y log10 x 也是常用的对数函数，简记作y lgx(4) 三角函数常用的三角函数有正弦函数 y sinx；余弦函数 y cosx；正切函数 y tanx；余切函数 y cotx，其中自变量以弧度作单位来表示它们的图形

27、如图1 20，图 1 21，图 1 22 和图 1 23 所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线图 1 20 图 1 21 图 1 22 图 1 23 正弦函数和余弦函数都是以2为周期的周期函数，它们的定义域都为（, ）,值域都为1，1 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数由于 cosx sin（x2） ，所以， 把正弦曲线y sinx沿 x 轴向左移动2个单位， 就获得余弦曲线 y cosx正切函数 y tanxsincosxx的定义域为d（f） xxr， x (2 n 1) 2,n 为整数 余切函数y cotxcossinxx的定义域为d（f）xxr，x n ,n 为整数 正切

28、函数和余切函数的值域都是（ ， ） ，且它们都是以为周期的函数， 它们都是奇函数另外，常用的三角函数还有正割函数 y secx；余割函数y cscx它们都是以2为周期的周期函数，且secx1cosx；cscx1sinx(5) 反三角函数常用的反三角函数有反正弦函数y arcsinx（如图 1 24） ；反余弦函数y arccosx（如图 1 25） ；反正切函数y arctanx（如图 1 26） ；反余切函数y arccotx（如图 1 27） 它们分别称为三角函数y sinx，y cosx，y tanx 和 y cotx 的反函数图 1 24 图 1 25 图 1 26 图 1 27 这四

29、个函数都是多值函数严格来说，根据反函数的概念，三角函数y sinx，y cosx，y tanx,y cotx 在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y， 有多个 x与之对应但这些函数在其定义域的每一个单调增加（或减少）的子区间上存在反函数例如，y sinx 在闭区间2, 2上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsinx 的主值，记作 y arcsinx通常我们称y arcsinx 为反正弦函数 其定义域为 1,1,值域为2, 2 反正弦函数y arcsinx 在 1,1上是单调增加的,它的图像如图1 24 中实线部分所示类似地 ,可以定义其他三个反三角函数的主值y

30、arccosx,y arctanx 和 y arccotx， 它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数反余弦函数y arccosx 的定义域为1，1 ，值域为 0， ，在1，1上是单调减少的，其图像如图1 25 中实线部分所示反正切函数y arctanx 的定义域为（, ）,值域为（2，2） ，在（ ， ）上是单调增加的，其图像如图1 26 中实线部分所示反余切函数y arccotx 的定义域为（ ， ） ，值域为（ 0， ） ，在（ ， ）上是单调减少的，其图像如图1 27 中实线部分所示以上五种类型的函数统称为基本初等函数. 6. 初等函数定义11 由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数， 称为初等函数 例如，y 3x2sin4x， y ln （x21x） ， y arctan2x3lg(1)x2sin1xx等等都是初等函数分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的， 有些分段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已例如，绝对值函数也可以表示成y x2x；函数