高等数学第七版下册复习纲要

1、第七章：微分方程一、微分方程的相关概念1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解. 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法1. 可分离变量的微分方程及其解法(1). 方程的形式：dxxfdyyg)()(. (2). 方程的解法：分离变量法(3). 求解

2、步骤. 分离变量，将方程写成dxxfdyyg)()(的形式；. 两端积分：dxxfdyyg)()(，得隐式通解cxfyg)()(；. 将隐函数显化 . 2. 齐次方程及其解法(1). 方程的形式：xydxdy. (2). 方程的解法：变量替换法(3). 求解步骤引进新变量xyu，有uxy及dxduxudxdy；代入原方程得：)(udxduxu；分离变量后求解，即解方程xdxuudu)(；变量还原，即再用xy代替u. 3. 一阶线性微分方程及其解法(1). 方程的形式：)()(xqyxpdxdy. 一阶齐次线性微分方程:0)(yxpdxdy. 一阶非齐次线性微分方程:0)()(xqyxpdxdy

3、. (2). 一阶齐次线性微分方程0)(yxpdxdy的解法 : 分离变量法 . 通解为xdxpcey)(,(rc). ( 公式 ) (3). 一阶非齐次线性微分方程0)()(xqyxpdxdy的解法 : 常数变易法 . 对方程)()(xqyxpdxdy，设xdxpexuy)()(为其通解，其中)(xu为未知函数，从而有xdxpxdxpexpxuxudxdy)()()()(e)(，代入原方程有)()()()()(e)()()()(xqexuxpexpxuxuxdxpxdxpxdxp，整理得xdxpxqxu)(e)()(，两端积分得cdxexqxuxdxp)()()(，再代入通解表达式，便得到一

4、阶非齐次线性微分方程的通解)()()(cdxexqeyxdxpxdxpdxexqecexdxpxdxpxdxp)()()()(，( 公式 )即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解. 第八章：空间解析几何与向量代数一、向量),(),(),(cccbbbaaazyxczyxbzyxa1. 向量),(aaazyxa与),(bbbzyxb的数量积：babbbazzyxxxbabacos；2. 向量),(aaazyxa与),(bbbzyxb的向量积：bbbaaazyxzyxkjiba. sinbaba的几何意义为以ba,为邻边的平行四边形的面积. 3. 向量),(zyxr的方向余弦：

5、222222222cos,cos,coszyxyzyxyzyxx，1coscoscos222；2sinsinsin222. 4. 向量),(aaazyxa与),(bbbzyxb垂直的判定：00babbbazzyxxxbaba. 5. 向量),(aaazyxa与),(bbbzyxb平行的判定：kzzyxxxkbkababababbba0,0/. 6. 三向量共面的判定：0cnbmakcba,共面 . 7. 向量),(aaazyxa在),(bbbzyxb上的投影：222praaababbbaazyxzzyxxxababj. 二、平面1. 过点),(000zyxp，以),(cban为法向量的平面的点

6、法式方程：0)()()(000zzcyybxxa. 2. 以向量),(cban为法向量的平面的一般式方程：0dczbyax. 3. 点),(111zyxm到平面0dczbyax的距离222111cbadczbyaxd. 4. 平面0:11111dzcybxa与0:22222dzcybxa平行的判定：212121212121/ddccbbaann. 5. 平面0:11111dzcybxa与0:22222dzcybxa垂直的判定：02121212121ccbbaann. 6. 平面0:11111dzcybxa与0:22222dzcybxa的夹角：三、直线 1. 过点),(000zyxp，以),(p

7、nms为方向向量的直线的点向式( 对称式、标准 )方程：pzznyymxx000. 2. 过点),(000zyxp，以),(pnms为方向向量的直线的参数式方程：tpzztnyytmxx000. 3. 直线的一般式方程：0022221111dzcybxadzcybxa. 方向向量为21nns. 4. 直线方程之间的转化：i) 点向式参数式ii) 一般式点向式第一步：找点第二步：找方向向量21nns5. 直线1111111:pzznyymxxl与2222222:pzznyymxxl平行的判定：2121212121/ppnnmmssll. 6. 直线1111111:pzznyymxxl与22222

8、22:pzznyymxxl垂直的判定：02121212121ppnnmmssll. 7. 直线1111111:pzznyymxxl与2222222:pzznyymxxl的夹角：222222212121212121cospnmpnmppnnmm. 8. 直线nzzmyylxxl000:与平面0:dczbyax垂直的判定：cnbmalnsl/. 9. 直线nzzmyylxxl000:与平面0:dczbyax平行的判定：0/cnbmalnsl. 10. 直线nzzmyylxxl000:与平面0:dczbyax的夹角：222222sinpnmcbacpbnam. 11. 点),(000zyxp到直线0

9、022221111dzcybxadzcybxa的距离：sspmd，其中m是直线上任意一点，21nns. 四、曲线、曲面1. yoz平面上的曲线c：0),(zyf绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为s：0),(22zyxf. 2. 空间曲线c：0),(0),(zyxgzyxf关于xoy平面上的投影柱面方程为：0),(yxh；在xoy平面上的投影曲线为c：00),(zyxh. 第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1. 内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2. 聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点；3. 开集和闭集内的所有点都是聚点

10、. 二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1. 二元函数),(yxf在),(00yx点的二重极限：ayxfyxyx),(lim),(),(00. 2. 二元函数),(yxf在),(00yx点的连续性：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx. 3. 二元初等函数在其定义区域内连续. 二、二元函数的偏导数的相关知识点1. 函数),(yxfz对自变量yx,的偏导数：xz及yz. 2. 函数),(yxfz对自变量yx,的二阶偏导数：22xz、22yz、yxz2、xyz2注：若二阶混合偏导数yxz2与xyz2连续，则二者相等. 三、二元函数的全微分：dyyzdxxzdz四、二元函数连

11、续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1. 函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系. 2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.( 偏导数不存在，全微分一定不存在) 偏导数连续，全微分存在，反之未必. 3. 连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；( 函数不连续，全微分一定不存在) 函数连续，全微分未必存在. 五、二元复合函数的偏( 全) 导数1. 中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：)(),(),(),(),(ttfztvtuvufz，2. 中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：),(),(),()

12、,(),(yxyxfzyxvyxuvufz，六、隐函数微分法1. 由一个方程确定的隐函数微分法：0),(zyxf确定隐函数),(yxfz，直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即0 xzzfdxdyyfdxdxxf，即001xzzfyfxf，解得zxffxz2. 由方程组确定的隐函数组微分法：0),(0),(vuyxgvuyxf确定隐函数),(),(yxvvyxuu，直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即00 xvvgxuugdxdyygdxdxxgxvvfxuufdxdyyfdxdxxf，即00 xvvgxuugxgxvvfxuufxf，可以解出xvxu,. 七、偏导数的几何应用1. 曲

13、线的切线方程和法平面方程1). 以参数式方程)(),(),(tztytx表示的曲线在0tt对应的点),(000zyxm的切线方程：)()()(000000tzztyytxx法平面方程：0)()()(000000zztyytxxt2). 以一般式方程0),(0),(zyxgzyxf表示的曲线在点),(000zyxm的切线和法平面方程：先用方程组0),(0),(zyxgzyxf确定的隐函数组)()(xgzxfy微分法求出dxdzdxdy,，然后得到切线的方向向量00,1xxxxdxdzdxdyn切线方程：)()(100000 xgzzxfyyxx法平面方程：0)()(00000zzxgyyxfxx

14、2. 曲面的切平面方程和法线方程1). 以一般式方程0),(zyxf表示的曲面在点),(000zyxm的切平面和法线方程：切平面线方程：0)()()(000zzmfyymfxxmfzyx法方程：)()()(000mfzzmfyymfxxzxx2). 以特殊式方程),(yxfz表示的曲面在点),(000zyxm的切平面和法线方程：令0),(),(zyxfzyxf，有曲面在点),(000zyxm的切平面的法向量切平面线方程：0)()(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx法方程：1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxxx . 3. 方向导数与梯度：1). 方向导数：)

15、.(),(lim0yxfyyxxflf2). 方向导数存在条件：可微分函数),(yxfz在一点沿任意方向l的方向导数都存在，并且coscosyzxzlf，其中cos,cos是方向l的方向余弦 . 3). 梯度：函数),(zyxf在点),(000zyxm处的梯度kzyxfjzyxfizyxfzyxfgradzyx),(),(),(),(000000000000( ). 4). 方向导数与梯度的关系：. 函数),(zyxf在点),(000zyxm处增加最快的方向是其梯度),(000zyxfgrad的方向，减小最快的方向是),(000zyxfgrad的方向 . . 函数),(zyxf在点),(000

16、zyxm沿任意方向的方向导数的最大值为),(000zyxfgrad. 八、极值、条件极值1. 函数),(yxfz的极值点和驻点的关系：函数),(yxfz的极值在其驻点或不可偏导点取得. 2. 求函数极值的步骤：(1). 对函数),(yxfz求偏导数，解方程组0),(0),(yxfyxfyx，得所有驻点),(iiyx. (2). 对每一个驻点),(iiyx，求出二阶偏导数的值),(),(),( iiyyiixyiixxyxfcyxfbyxfa. (3). 计算acb2，根据acb2以及a的符号判定),(iiyxf是否是极值：若0,02aacb，则),(iiyxf是极小值；若0,02aacb，则)

17、,(iiyxf是极大值；若,02acb，则),(iiyxf不是极小值；若,02acb，则),(iiyxf是否是极值不能判定，需其他方法验证. 3. 求函数),(yxfz在附加条件0),(yx下的条件极值的方法：做拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxf，对自变量yx,求偏导，建立方程组与附加条件联立的方程组0),(0),(),(),(0),(),(),(yxyxyxfyxfyxyxfyxfyyyxxx，解出的yx,就是函数),(yxfz的可能极值点. 第十章：重积分一、二重积分的相关性质1. 有界闭区域上的连续函数),(yxf在该区域d上二重积分ddyxf),(存在；2. 若函数),(y

18、xf在有界闭区域d上二重积分存在ddyxf),(，则),(yxf在该区域上有界；3. 中值性：若函数),(yxf在有界闭区域d上连续，区域d的面积为，则在d上至少存在一点),(，使得),(),(yxfdyxfd. 4. dd1，区域d的面积为. 二、二重积分的计算1. 利用平面直角坐标计算二重积分1). 先对y后对x积分，由于积分区域:dbxa；)()(21xyx，有baxxddyyxfdxdyxf)()(21),(),(. 2). 先对x后对y积分，由于积分区域:ddyc；)()(21yxy，有dcyyddxyxfdydyxf)()(21),(),(. 3). 积分换序：dcyydbaxxd

19、xyxfdydyxfdyyxfdx)()()()(2121),(),(),(. 2. 利用极坐标计算二重积分令sincosyx，由于积分区域:d；)()(21x，有)()(21)sin,cos(),(dfddyxfd. 三、三重积分的相关性质：vdv1，区域的体积为v. 四、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分积分区域v：bxa；)()(21xyyxy；),(),(21yxzzyxz，有第十一章：曲线积分曲面积分一、曲线积分的计算1. 第一型曲线积分的计算：若曲线c的参数方程是：10),(),(ttttytx，则第一型曲线积分2. 第二型曲线积分的计算：若曲线c的参数方程是：10),(

20、),(ttttytx，batttt10,分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分10)()(),()()(),(),(),(ttcdttttqtttpdyyxqdxyxp3. 格林公式 ( 联系曲线积分和二重积分) 设有界闭区域d由分段光滑曲线c所围成，c取正向，函数),(),(yxqyxp在d上具有一阶连续偏导数，则有格林公式cqdypdxdxdyypxqd. 注： 1. 可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域d由取正向的光滑曲线c所围成，则区域d的面积为cdxdyydxdxdy21. 2. 函数),(),(yxqyxp在区域d上连续 . 二、曲面积分的计算1. 第一型曲

21、面积分的计算：若曲面s的方程是：),(yxzz具有连续偏导数， 且在xoy平面上的投影区域为xyd， 函数),(zyxf在s上连续，则第一型曲面积分2. 第二型曲面积分的计算：若正向曲面s的方程是：),(yxzz，且在xoy平面上的投影区域为xyd，函数),(zyxr在s上连续，则第二型曲面积分dxdyyxzyxrdxdyzyxrxyds),(,),(，同理可得dydzzyzyxrdydzzyxpyzds),),(),(；3. 高斯公式 ( 联系曲面积分和三重积分) 若函数),(),(zyxqzyxp在空间有界闭区域及其光滑边界曲面s 上具有连续偏导数，则有高斯公式：sdxdydzzryqxprdxdyqdzdxpdydz. 注：设空间有界闭区域由光滑封闭曲面s所围成，则区域的体积为szdxdyydzdxxdydzv31. 4. 斯托克斯公式 ( 联系曲面积分和三重积分) 若函数),(),(zyxqzyxp在光滑曲面s及其光滑的边界曲线c上具有连续偏导数，则有斯托克斯公式lddxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyrrdzqdypdx. 三、曲线积分与路径无关的条件(1