高等数学第二章一元函数微分学(导数、微分部分)

1、1 高等数学第二章一元函数微分学（导数、微分部分）测试题（附答案）一、 选择题（每小题4 分，共 20 分）1、 设函数110( )102xxxf xx在0 x处（）a 不连续b 连续但不可导c 二阶可导d 仅一阶可导2、若抛物线2yax与曲线lnyx相切，则a等于（）a 1 b 12c 12ed 2e3、设函数( )ln 2f xxx在0 x处可导， 且0()2fx， 则0()f x等于（）a 1 b 2ec 2ed e4、设函数( )f x在点xa处可导， 则0()()limxf axf axx等于（）a 0 b ( )fac 2( )fad (2 )fa5、设函数( )f x可微，则当0

2、 x时，ydy与x相比是（）a 等价无穷小b 同阶非等价无穷小c 低阶无穷小d 高阶无穷小二、填空题（每小题4 分，共 20 分）1、设函数( )f xx x，则(0)f= 。2、设函数( )xf xxe，则(0)f=2 3、函数( )f x在0 x可导，且0()f x=0，0()fx=1，则01lim()nnf xn= 4、曲线228yxx上点处的切线平行于x轴，点处的切线2 与x轴正向的交角为4。2、d= xe dx。三、解答题1、 （7 分）设函数( )() ( ),( )f xxaxx在xa处连续， 求( )fa2、 （ 7 分）设函数( )aaxaxaf xxaa，求( )fx3、

3、（ 8 分）求曲线sincos2xtyt在6t处的切线方程和法线方程4、（7 分） 求由方程1sin02xyy所确定的隐函数y的二阶导数22d ydx5、 （ 7 分）设函数1212() ()()naaanyxaxaxa，求y6、 （ 10 分）设函数212( )12xxfxaxbx，适当选择,a b的值，使得( )f x在12x处可导。7、 （ 7 分）若22( )( )y f xxf yx，其中( )f x为可微函数，求dy8、 （ 7 分）设函数( )f x在 , a b上连续，且满足( )( )0,( )( )0f af bfafb，证明：( )f x在( , )a b内至少存在一点c

4、，使得( )0f c3 高等数学第二章一元函数微分学（导数、微分部分）测试题（答案）一、选择题（每小题4 分，共 20 分）1、设函数110( )102xxxf xx在0 x处（ c）a 不连续b 连续但不可导c 二阶可导d 仅一阶可导2、若抛物线2yax与曲线lnyx相切，则a等于（ c）a 1 b 12c 12ed 2e3、设函数( )ln 2f xxx在0 x处可导，且0()2fx，则0()f x等于（ b）a 1 b 2ec 2ed e4、设函数( )f x在点xa处可导，则0()()limxf axf axx等于（ c）a 0 b ( )fac 2( )fad (2 )fa5、设函数

5、( )f x可微，则当0 x时，ydy与x相比是（ d）a 等价无穷小b 同阶非等价无穷小c 低阶无穷小d 高阶无穷小二、填空题（每小题4 分，共 20 分）1、设函数( )f xx x，则(0)f=0 2、设函数( )xf xxe，则(0)f=2 3、 设 函 数( )fx在0 x处 可 导 ， 且0()f x=0 ，0()fx=1 ， 则01l i m()nn fxn=1 4 4、 曲线228yxx上点（ 1，7）处的切线平行于x轴，点3 29(,)24处的切线与x轴正向的交角为4。5、dxe= xe dx三、解答题1、 （7 分）设函数( )() ( ),( )f xxaxx在xa处连续

6、， 求( )fa解：( )( )() ( )( )limlim( )xaxaf xf axaxfaaxaxa2、 （ 7 分）设函数( )aaxaxaf xxaa，求( )fx解：112( )lnlnaaxaaaxxafxa xaxaaa aa3、 （ 8 分）求曲线sincos2xtyt在6t处的切线方程和法线方程解：当6t时，曲线上的点为1 1(,)2 2切线的斜率6662sin 22costttdydytdtkdxdxtdt，所以切线方程112()22yx即4230 xy法线方程111()222yx即2410 xy4、（7 分） 求由方程1sin02xyy所确定的隐函数y的二阶导数22d

7、 ydx解：方程的两边对x求导121cos022cosdydydyydxdxdxy5 继续求导222324 si nsi n( 2cos)( c o s2)dydyyyd xydxy5、 （ 7 分）设函数1212() ()()naaanyxaxaxa，求y解：两边取对数1122lnln()ln()ln()nnyaxaaxaaxa方程的两边对x求导12121nnaaayyxaxaxa，则121112()() )()innaniiiiniaaaayyxaxaxaxaxa6、 （ 10 分）设函数212( )12xxfxaxbx，适当选择,a b的值，使得( )f x在12x处可导解：因为可导一定

8、连续，则211221111(0)lim(),(0)lim2224xxfaxbabfx所以1111,2442abba由可导知11122221211111()144242( )limlimlim1112222114( )lim1122xxxxaxbaxaa xfaxxxxfx所以11,4ab6 即当11,4ab时，函数( )f x在12x处可导。7、 （ 7 分）若22( )( )y f xxf yx，其中( )f x为可微函数，求dy解：两边微分得22( )( )( )( )2yf x dyy fx dxf y dxxfy dyxdx即22( )( )2( )( )xy fxf ydydxyf xxfy8、 （ 7 分）设函数( )f x在 , a b上连续，且满足( )( )0,( )( )0f af bfafb，证明：( )fx在( , )a b内至少存在一点c，使得( )0f c证明：因为( )( )0fafb，不妨设( )0,( )0fafb( )( )( )( )limlim0 xaxafxf af xfaxaxa，则存在10，当11( ,)xa a时，11()0f xxa，又因为1xa，所以1()0f x同理可知存在20，当22(, )xbb时，22()0f xxb，又因为2xb