高考利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

1、利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧不等式的证明问题是高中数学的一个难点，证明不等式的方法技巧性强，并且各类不等式的证明没有通性解法。一、简单作差（商）法方法： 要证明对任意xba,都有)()(xgxf，可设)()()(xgxfxh，只要利用导数说明)(xh在ba,上的最大值为 0 即可利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题例 1、证明下列不等式：1xex1lnxxxx1-1ln1x1)-2(xln x)1(x)2,0(,2sinxxx例 2 已知函数.ln21)(2xxxf求证：在区间), 1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的

2、下方；二、换元后作差构造函数证明【例 3】 （山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立 . 提示：令则,1nt构造0) 1ln()(32tttxf例 4 已知：)0(x，求证xxxx11ln11； （换元：设xxt1）三、利用maxmin)()(xgxf证明不等式例 1、已知函数.22)(),( ,ln) 1(1)(exexgrbaxabxaxxf（1）若函数2)(xxf在处取得极小值 0，求ba,的值；（2）在（ 1）的条件下，求证：对任意的,221eexx，总有)()(21xgxf. 例 2：证明：对一切),0(x，都有exexx21ln成立. 四、两个变量的

3、不等式证明策略含有两个变量的不等式常有两种题型，即根据两个变量是否能分离将题型分为可分离变量式和不可分离变量式，对于这两种采用不同的方法，请注意区别。类型一、当两个变量可以分离（分离以后两个变量代表同一个函数）例 1. 已知 m,n都是正整数，且 1mn,试证明mnn)1()m1（提示：指数幂的形式可以轻易转换成对数形式，从而将底数和指数进行分离。两边同时取 ln 得)1ln()1ln(nmmn整理得nnmm)1ln()1ln(可设xxxf)1ln()(， ，只要证明)(xf是 增函数即可。例2、已知函数1ln)1()(2axxaxf（1）讨论函数)(xf单调性（2）设 a-2, 证：对任意2

4、1212,14)()(), 0(xxxfxfxx提示：可设,21xx由第一问单调性可知单调递增，则有212144)()(xxxfxf整理得22114)(4)(xxfxxf可构造xxfxg4)()(，并证明)(xg单调性练习题：已知函数xaaxxxfln)1(21)(2证明：若 1aa时，求证2lnlna-babab提示：将原式整理得2lnbaabab，ababbaabab1)1(2)(2ln，令1)1(2ln, 1tttabt则练习、已知函数axaxexfx2)(有两个不同极值点2, 1xx证明：axx2ln221五、构造二阶导函数证明函数单调性例1.axxf)(221x（1）若)(xf在 r

5、上为增函数，求 a 的取值范围（2）若 a=1,求证xxfx1)(0时，例2.当221ln11 ,0 xxxx时，证明六. 主元法构造函数对于多个参数问题， 可以选择一个主要元素， 相当于选择了解决问题的方向例 1 。已知函数xxxgxxxfln)(,)1ln()(（1）求函数)(xf的最大值（2）设 0ab,证明2ln)(2ba2)()(0abgbgag）（提示：设)2(2)()()(xagxgagxf2lnln)2(2)( )( ,xaxxagxgxf当 0 xa 时，0)(xf，因此 f（x）在),a（单调递增当 x=a，f(x) 有极小值 f(a) f(a)=0,ba, 所以 f(b)

6、0 再设2ln)()()(axxfxg，同理可得求导确定单调性练习： 已知 a,b 为实数， 且 bae,其中 e为自然对数的底，求证：abba练习： a0,b0, 证明babababa2)（七、隔离函数法高考中，经常会出现以xexln与为背景的函数不等式证明问题， 直接应用导数求导会特别复杂， 有时一次求导不能够解出需要多次求导，此时若能从含有xexln与的函数不等式中分离出xexln或者，再利用导数证明就可以减少化繁为简。1. 分离 lnx 例1.设l为曲线 c：xxyln在点（ 1,0 ）处的切线（1）求l的方程（2）证明：除切点（ 1,0 ）外，曲线 c在直线l的下方。解析：1xl要证

7、明1lnxxx，x0, 则只需证明xxx2ln设xxxxf2ln)(，xxxxf) 12)(1()(当 0 x1 时，)(xf单调递增01)(）（fxf例 2 已知函数xxxxf11ln)(，当 x0，且 x 1, 求证1ln)(xxxf解析：要证明1ln11lnxxxxx即)1(21lnxxx, 构造函数)1(21ln)(xxxxg接下来证明其单调性并求其极值练习. 已知函数1ln)1()(xxxxf试证明：0)() 1xfx（2. 分离xe例1.已知函数xxfxexxfx11)() 1 ,0(,)1()(2时，求证：当解析：要证, 11)1 (2xexx只需证明1xex设1)(xexgx，

8、求其单调性以及极值例2.设函数xexf1)(，证明：当 x-1 时，1)(xxxf解析：要证1-1xxex只需证明xex11即1xex八、放缩法证明函数不等式高考中可以用放缩法证明不等式的频率非常高， 有很大的迁移性，可以和很多知识内容结合， 对应变能力有较高要求， 其本质不外乎就是放缩的度，将不等号进行传递。1.求和放缩（将不能求和的放缩转化为可以求和的放缩）例 1 . 求证21211-211-211-2132n分析：不等号左边的式子无法求和，可适当采用放缩，注意到类似于等比数列，且1212nn，因此有121121nn当 n=1 时，1212nn=0，成立当 n 2 时22122121212111211-211-211-21113232nnn2.单调性放缩例1.求证：en211211211211211432分析：将原式进行整理，将乘法转化为加法会比较简单两边同时取对数得1211ln211ln211ln211ln32nxxfxfxfxxfxxxxxfxxxf)1ln(,0)0(