高考函数专题复习-学生版

1、函数与基本初等函数函数的概念（1）函数的概念设a、b是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合a中任何一个数x，在集合b中都有唯一确定的数( )f x和它对应，那么这样的对应（包括集合a，b以及a到b的对应法则f）叫做集合a到b的一个函数，记作:fab函数的三要素: 定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做 , a b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 , )a b，( ,

2、 a b；满足,xa xa xb xb的实数x的集合分别记做 ,),(,),(, ,(, )aabb注意： 对于集合|x axb与区间( , )a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：( )f x是整式时，定义域是全体实数( )f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( )f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1tanyx中，()2xkkz零（负）指数幂的底数不能为零若( )f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一

3、般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知( )f x的定义域为 , a b，其复合函数( )f g x的定义域应由不等式( )ag xb解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观

4、察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数( )yf x可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2( )( )( )0a y xb y xc y，则在( )0a y时，由于, x y为实数，故必须有2( )4 ( )( )0bya yc y，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图

5、象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法： 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设a、b是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合a中任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合a，b以及a到b的对应法则f）叫做集合a到b的映射，记作:fab给定一个集合a到集合b的映射，且,aa bb如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的

6、原象函数的基本性质一、单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域i 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2, 当 x1 x2时，都有f(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数x1x2y=f(x)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（ 4）利用复合函数如果对于属于定义域i 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数y=f(x)yxoxx2f(x )f(x )211（1）

7、利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数( )yf g x，令( )ug x，若( )yf u为增，( )ug x为增，则( )yf g x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则( )yf g x为增； 若( )yf u为增，( )ug x为减，则( )yf g x为减；若( )yf u为减，( )ug x为增，则( )yf g x为减（2）打“”函数( )(0)af xxax的图象与性质(

8、)f x分别在(,a、,)a上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数( )yf x的定义域为i，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xi，都有( )f xm； （2）存在0 xi，使得0()f xm那么，我们称m是函数( )f x的最大值，记作max( )fxm一般地，设函数( )yf x的定义域为i，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xi，都有( )f xm； （2）存在0 xi，使得0()f xm那么，我们称m是函数( )f x的最小值，记作max( )fxm二、奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对

9、于函数f(x)定义域内任意一个x， 都有 f( x)= f(x) ,那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f( x)= f(x) ,那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数( )f x为奇函数，且在0 x处有定义，则(0)0f奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积yx

10、o（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|( )()hhhhyfxyf xh左移 个单位右移|个单位0,0,|( )( )kkkkyf xyf xk上移 个单位下移 |个单位伸缩变换01,1,( )()yfxyfx伸缩01,1,( )( )aayfxyafx缩伸对称变换( )( )xyf xyf x轴(

11、)()yyf xyfx轴( )()yf xyfx原点1( )( )yxyf xyfx直线( )(|)yyyyfxyfx去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于轴对称图象( )|( ) |xxyfxyf x保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法求值域的几种常用方法（ 1）配方法：对于（可化为

12、）“ 二次函数型” 的函数常用配方法，如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）基本函数法： 一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值；若0y， 则 由0)12(4)1(22yyy得021332133yy且， 故 所 求 值 域 是2133,2133（4）分离常数法：常

13、用来求“ 分式型 ” 函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为1cos521cos3cos2xxxy，而2,0(1cosx，所以25,(1cos5x，故21,(y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域当0 x时，0y；当0 x时，xxy43，若0 x，则4424xxxx若0 x，则4)4()(2)4(4xxxxxx，从而得所求值域是43,43（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数)2, 1(2224xxxy的值域因)14(22823xxxxy，故函数)2, 1(2224xxxy在)21, 1(上递减、在)0,21(上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上

14、递增，从而可得所求值域为30,815（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。函数与映射的概念考点一：判断两函数是否为同一个函数 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，; 01, 01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（ n n*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg 解题思路 要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。考点二：求函数的定义域、值域。题型 2：求抽象函数的

15、定义域 例 3 设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）a. 4,00,4；b. 4, 11, 4；c. 2, 11, 2；d. 4, 22, 4解题思路 要求复合函数xfxf22的定义域，应先求)( xf的定义域。题型 3；求函数的值域例 4已知函数)(6242raaaxxy，若0y恒成立，求32)(aaaf的值域解题思路 应先由已知条件确定a取值范围，然后再将)(af中的绝对值化去之后求值域考点三：映射的概念例 5为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密） ，接收方由密文明文（解密） ，已知加密规则为：明文, , ,a b c d对应密文2 ,2,23 ,4.abbc

16、cdd例如，明文1,2,3, 4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）a7,6,1, 4；b6,4,1,7；c4,6,1,7；d1,6, 4,7解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1）集合 a、b 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“ 方向性 ” ，即强调从集合a 到集合 b 的对应，它与从集合b 到集合 a 的对应关系一般是不同的；（3）集合 a 中每一个元素，在集合b 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；（4）集合

17、 a 中不同元素，在集合b 中对应的象可以是同一个；（5）不要求集合b中的每一个元素在集合a 中都有原象 . 函数的表示方法考点 1：用图像法表示函数例 1一水池有2个进水口 , 1个出水口 , 一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示 . 某天0点到6点, 该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断：进水量出水量蓄水量甲乙丙（1）0点到3点只进水不出水； （2）3点到4点不进水只出水； （3）4点到6点不进水不出水则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . 解题思路 根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。考点 2：用列表法表示函数例 2已知函数( )f x，( )g

18、 x分别由下表给出则(1)f g的值为；满足( )( )f g xg fx的x的值是解题思路 这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。考点 3：用解析法表示函数题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 3 已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为题型 2：求二次函数的解析式例 4次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在区间1 , 1上，)(xfy的图象恒在mxy2的图象上方，试确定实数m的范围。考点 4：分段函数题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象例 6设函数54)(2xxxf，在区间6, 2上画出函数)(x

19、f的图像。x1 2 3 ( )f x1 3 1 x1 2 3 ( )g x3 2 1 时间011时间021时间034665函数的单调性与最值考点 1 函数的单调性. 题型 2：研究抽象函数的单调性 例 2 定义在 r 上的函数)(xfy，0)0(f，当 x0 时，1)(xf，且对任意的a、b r，有 f（a+b）=f（a） f（b）. （1）求证： f（ 0）=1；（2）求证：对任意的xr，恒有 f（x） 0；（3）求证： f（ x）是 r 上的增函数；（4）若 f（x） f（2xx2） 1，求 x 的取值范围 . 考点 2 函数的值域（最值）的求法题型 1：求分式函数的最值例 3已知函数xa

20、xxxf2)(2).,1 ,x当21a时，求函数)(xf的最小值；函数的奇偶性和周期性考点 1 判断函数的奇偶性及其应用题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x 1|； （2）f（x）=（x1）xx11；（3）2|2|1)(2xxxf； （4）).0()1(),0()1()(xxxxxxxf思路点拨 判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 3已知奇函数)(xf是定义在)2, 2(上的减函数，若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。考点 3 函数奇偶性、周期性的综合应用例

21、5已知定义在r上的偶函数( )f x满足(2)( )1f xf x对于xr恒成立，且( )0fx，则(119)f_ 1.函数1()xyexr的反函数是 () a1ln(0)yx xb1ln(0)yx xc1ln(0)yx xd1ln(0)yx x2.已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是 ()( a)(0,1) (b)1(0,)3( c)1 1,)7 3( d)1,1)73.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x xxx，1221|()()| |f xf xxx恒成立”的只有 ()( a)1( )fxx( b