高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形5第5讲三角函数的图象与性质教案理-人教版高三全

1、. .专心 . 第 5 讲三角函数的图象与性质1正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin x ycos x ytan x图象定义域rrx|xk2，kz 值域 1，1 1，1r函数的最值最大值 1，当且仅当x2k2，kz最小值 1，当且仅当x2k2，kz最大值 1，当且仅当x2k，kz最小值 1，当且仅当x2k，kz无最大值和最小值单调性增区间 k22，k22(kz) 减区间 k22，k 232(kz) 增区间 k2，k2 (kz) 减区间 k2，k2 (kz) 增区间 (k2，k2)(kz) 奇奇函数偶函数奇函数. .专心 . 偶性周期性周期为 2k，k0，kz，最小正周期为 2周期为 2

2、k，k0，kz，最小正周期为2周期为k，k 0，k z， 最小正周期为对称性对称中心(k， 0) ，kzk2，0 ，kzk2，0 ，kz对称轴xk2，kzxk，kz无对称轴零点k，kzk2，kzk，k z2. 周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xt) f(x) ，那么函数f(x) 就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期；函数yasin(x) 和yacos(x) 的周期均为t2|；函数yatan(x) 的周期为t|. 3对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之

3、间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期判断正误 ( 正确的打“，错误的打“) (1)ycos x在第一、二象限内是减函数( ) (2) 假设yksin x1，xr，那么y的最大值是k1.( ) (3) 假设非零实数t是函数f(x) 的周期，那么kt(k是非零整数) 也是函数f(x) 的周期 ( ) . .专心 . (4) 函数ysin x图象的对称轴方程为x2k2(kz) ( ) (5) 函数ytan x在整个定义域上是增函数( ) 答案： (1) (2) (3) (4) (5 ) 函数ytan 3x的定义域为 ( ) a.x x323k，kzb.x x6k，

4、kzc.x x6k，kzd.x x6k3，kz解析：选d.由 3x2k(kz) ，得x6k3，kz. 应选 d. (2017高考全国卷 ) 设函数f(x)cos(x3) ，那么以下结论错误的是( ) af(x) 的一个周期为 2byf(x) 的图象关于直线x83对称cf(x) 的一个零点为x6df(x) 在(2，) 单调递减解析：选 d.根据函数解析式可知函数f(x) 的最小正周期为2，所以函数的一个周期为2， a正确；当x83时，x33，所以 cosx3 1，所以 b正确；f(x ) cosx3cosx43，当x6时，x4332，所以f(x ) 0，所以 c 正确；函数f(x) cosx3在

5、2，23 上单调递减，在23，上单调递增，故d 不正确所以选d. 函数y32cosx4的最大值为 _，此时x_解析：函数y32cosx4的最大值为325，此时x4 2k(kz) ，即x. .专心 . 342k (kz)答案： 5 342k(kz) 函数f(x) 2sinx4，x0 ， 的减区间为 _解析：当2k2x42k32，kz，即 2k4x2k54，kz 时，函数f(x) 是减函数又x0 ， ，所以f(x) 的单调递减区间为4，. 答案：4，三角函数的定义域和值域 典例引领 (1)(2017 高考全国卷 ) 函数f(x) sin2x3cos x34x 0，2的最大值是_(2) 函数ylg(

6、2sin x 1) 1 2cos x的定义域是 _【解析】(1) 依题意，f(x) sin2x3cos x34 cos2x3cos x14 cos x3221，因为x 0，2，所以 cos x0 ，1 ，因此当cos x32时，f(x)max1. (2) 要使函数y lg(2sin x1) 12cos x有意义，那么2sin x10，12cos x0，即sin x12，cos x12.解得 2k3x0，cos x120，即sin x0，cos x12，. .专心 . 解得2k x 2k，32kx32k(kz) ，所以 2kx32k，kz. 所以函数的定义域为x2kx32k，kz . 答案：x2

7、k0) 在区间2，23上单调递增，那么的取值范围是 _【解析】因为0，由 2k2x2k2，k z，得f(x) 的增区间是2k2，2k2，kz. 因为f(x)在 2，23上单调递增，所以 2，23?2k2，2k22. 所以22k2且2322k，所以 0，34. 【答案】0，34角度三利用三角函数的单调性比较大小函数f(x) 2sinx3，设af7，bf6，cf3，那么a，b，c的大小关系是 ( ) aacbbcabcbacdbca【解析】af72sin 1021，bf6 2sin 2 2，cf32sin 232sin 3，. .专心 . 因为y sin x在 0，2上递增，所以cab. 【答案】

8、b (1) 求三角函数单调区间的两种方法代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u( 或t) ，利用复合函数的单调性列不等式求解，如例2-1.图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间 提醒 要注意求函数yasin(x) 的单调区间时的符号，假设0，那么一定先借助诱导公式将化为正数同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域(2) 利用单调性确定的范围的方法对于函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，假设是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷(3) 利用

9、单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小 通关练习 1函数f(x) tan2x3的单调递增区间是( ) a.k212，k2512(k z) b.k212，k2512(k z) c.k12，k512(k z) d.k6，k23(k z) 解析：选b.由k22x3k2(kz) 得，k212x0时，由题意知32，即32；当0， 0) 是奇函数，直线y2与函数f(x) 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2，那么 ( ) af(x) 在 0，4上单调递减bf(x) 在8，38上单调递减cf(x) 在 0，4上单调递增df(x) 在8，38

10、上单调递增【解析】f(x) sin(x) cos(x) 2sinx4，因为00)，yacos(x)(0)的周期为2，函数yatan(x)(0)的周期为求解(3) 解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心 提醒 对于函数yasin(x) ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点 (x0，0) 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0) 的值进行判断 通关练习 1f(x) sin x3cos x(xr) ，函数yf(x) | 2的图象关于直线x0 对称，那么的值为 ( ) a.2b.3c.4d.6解析：选d.f(x

11、) 2sinx3，yf(x) 2sinx3的图象关于x0 对称，即f(x) 为偶函数所以32k，kz，即k6，kz，又因为 | 2，所以6，应选 d. 2函数f(x) 2sinx6(0) 的最小正周期为4，那么该函数的图象( ) a关于点3，0 对称b关于点53，0 对称. .专心 . c关于直线x3对称d关于直线x53对称解析：选b.函数f(x) 2sinx6(0)的最小正周期是4，而t2 4，所以12，即f(x) 2sin12x6. 函数f(x) 的对称轴为x262k，解得x23 2k(k z) ；函数f(x)的对称中心的横坐标为x26k，解得x2k13(kz) 所以f(x)的对称中心为5

12、3，0 . 3(2018揭阳模拟) 函数f(x)是周期为2 的奇函数，当x0 ， 1)时，f(x) lg(x1) ，那么f2 0165lg 18 _解析：因为当x0 ， 1) 时，f(x) lg(x1) ，f45 lg95，又因为函数f(x) 是周期为2 的奇函数，所以f2 0165f45f45 lg95，所以f2 0165lg 18 lg 18 lg95lg 10 1. 答案： 1 奇偶性对于yasin(x)(a0)，假设为奇函数，那么k(kz) ；假设为偶函数，那么2k(kz) 对于yacos(x)(a0)，假设为奇函数，那么2k(k z) ；假设为偶函数，那么k(kz) 对于yatan(

13、x)(a0)，假设为奇函数，那么k2(kz) 函数图象的对称中心、对称轴(1) 求形如yasin(x) 或yacos(x) 的函数图象的对称轴或对称中心时，都. .专心 . 是先把“x看作一个整体，然后根据ysin x和ycos x图象的对称轴或对称中心进行求解(2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设yf(x) asin(x) ，g(x) acos(x) ，xx0是对称轴方程?f(x0) a，g(x0) a；(x0，0) 是对称中心?f(x0) 0，g(x0) 0. 易错防范(1) 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影

14、响(2) 要注意求函数yasin(x) 的单调区间时a和的符号，尽量化成0时的情况，避免出现增减区间的混淆1f(x) tan x sin x 1，假设f(b) 2，那么f( b) ( ) a0 b3 c 1 d 2 解析：选a.因为f(b) tan bsin b12，即 tan bsin b1. 所以f( b) tan( b) sin( b) 1 (tan bsin b) 1 0. 2(2018南昌市第一次模拟) 函数f(x) asin(x)(a0，0，00，0，02) 的周期为，所以t2，得2，从而由f() 1，得asin(2) 1，f 32asin232asin3 2. .专心 . asi

15、n(2) 1. 3最小正周期为且图象关于直线x3对称的函数是( ) ay2sin2x3by 2sin2x6cy2sinx23dy 2sin2x3解析：选b.由函数的最小正周期为，可排除c.由函数图象关于直线x3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于a，因为sin233sin 0，所以选项a不正确对于d，sin233sin332，所以d 不正确，对于b，sin236sin21，所以选项b正确，应选b. 4(2017高考全国卷 ) 函数f(x) 15sin(x3) cos(x6) 的最大值为 ( ) a.65b1 c.35d.15解析：选a.因为cos(x6) cos(x3) 2 sin(

16、x3) ，所以f(x) 65sin(x3) ，于是f(x) 的最大值为65，应选 a. 5(2018石家庄教学质量检测( 二) 函数f(x) sin2x12，f(x)是f(x) 的导函数，那么函数y2f(x) f (x) 的一个单调递减区间是( ) a.12，712b. 512，12c. 3，23d. 6，56解析：选a.由题意，得f(x) 2cos 2x12，所以y2f(x) f(x) 2sin2x122cos 2x1222sin2x12422sin2x3. 由 2k22x3 2k32. .专心 . (k z) ，得k12xk712(kz) ，所以y2f(x) f(x)的一个单调递减区间为1

17、2，712，应选 a. 6比较大小：sin18_sin10. 解析：因为ysin x在 2，0 上为增函数且1810，故 sin18sin10. 答案：7假设函数f(x)2cosx6的最小正周期为t，t(1 ，3) ，那么正整数的最大值为_解析：因为t2，t (1 ，3) ，所以 123，即232. 所以正整数的最大值为6. 答案： 6 8f(x) sin 2x3cos 2x，假设对任意实数x 0，4，都有 |f(x)|m，那么实数m的取值范围是 _解析：因为f(x) sin 2x3cos 2x 2sin2x3，x 0，4，所以2x33，6，所以 2sin2x3( 3，1 ，所以 |f(x)|

18、 |2sin2x3 0) 的最小正周期为 . (1) 求函数yf(x) 图象的对称轴方程；(2) 讨论函数f(x) 在 0，2上的单调性解： (1) 因为f(x) sin xcos x2sinx4，且t，所以2. 于是，f(x) 2sin2x4. 令 2x4k2(k z) ，得xk238(kz) ，即函数f(x)图象的对称轴方程为xk238(kz) (2) 令2k 2 2x4 2k 2(kz) ， 得 函 数f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为k8，k38(kz) 注意到x 0，2，所以令k0，得函数f(x) 在 0，2上的单调递增区间为0，38；同理，其单调递减区间为38，2. 1函数f

19、(x) tan12x6，那么以下说法正确的是( ) . .专心 . af(x) 的周期是2bf(x) 的值域是 y|yr，且y0c直线x53是函数f(x) 图象的一条对称轴df(x) 的单调递减区间是2k23，2k3，kz解析：选d.函数f(x) tan12x6的周期为t122，故a 错误；函数f(x) tan12x6的值域为 0 ， ) ，故 b错误；当x53时，12x623k2，kz，即x53不是f(x)的对称轴，故c错误；令k20)，xr.假设函数f(x) 在区间 ( ，) 内单调递增，且函数yf(x) 的图象关于直线x对称，那么的值为 ( ) a.12b2 c.2d.2. .专心 . 解析：选d.因为f(x) 在区间 ( ，) 内单调递增，且函数图象关于直线x对称，所以f() 必为一个周期上的最大值，所以有42k2，kz，所以242k，kz，又( ) 122，0，即22，即24，所以2. 4(2018湖南