初高中函数知识点总结大全

1、名师总结优秀学问点初高中函数学问点总结大全正比例函数形如 y=kx（k 为常数， k0）形式， y 是 x 的正比例函数；1.定义域 :r 实数集 2.值域:r 实数集 3.奇偶性 :奇函数4.单调性 :当 k>0 时，图像位于第一、三象限，y 随 x 的增大而增大 单调递增 ;当 k<0 时，图像位于其次、 四象限， y 随 x 的增大而减小 单调递减 ；一次函数一、定义与定义式：自变量 x 和因变量y 有如下关系： y=kx+b就此时称y 是 x 的一次函数；特殊地，当b=0 时， y 是 x 的正比例函数；即：y=kx（ k 为常数， k0）一次函数与正比例函数的识别方法：如

2、y=kx+bk,b是常数， k0，那么y 叫做x 的一次函数，特殊的，当b=0 时，一次函数就成为y=kxk 是常数， k0 ，这时，y 叫做 x 的正比例函数，当 k=0 时，一次函数就成为如y=b ，这时， y 叫做常函数；a 与 b 成正比例a=kbk 0二、一次函数的性质：名师总结优秀学问点1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例， 比值为 k，即：y=kx+b （ k为任意不为零的实数b 取任何实数）2.当 x=0 时， b 为函数在y 轴上的截距；三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下3 个步骤（ 1）列表；（ 2）描点；（ 3）连线，可以做出一次函数的图像一条直线

3、；因此，作一次函数的图像只需知道2 点，并连成直线即可；（通常找函数图像与x轴和 y 轴的交点）2性质：（ 1）在一次函数上的任意一点p（x，y），都满意等式：y=kx+b ；（ 2）一次函数与y 轴交点的坐标总是 （0，b ，与 x 轴总是交于（-b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点；3 k， b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 当 k0 时，直线必通过二、四象限， y 随 x 的增大而减小；当 b 0 时，直线必通过一、二象限；当 b=0 时，直线通过原点当 b 0 时，直线必通过三、四象限；特殊地，当b=0 时，直线通过原点o（

4、0， 0）表示的是正比例函数的图像；名师总结优秀学问点这时，当 k 0 时，直线只通过一、三象限；当k 0 时，直线只通过二、四象限；四、确定一次函数的表达式：已知点 a（ x1， y1）； b（x2 ，y2），请确定过点a、b 的一次函数的表达式；（ 1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b ；（ 2）由于在一次函数上的任意一点p（ x，y），都满意等式y=kx+b ；所以可以列出2 个方程： y1 =kx1 +b和y2 =kx2 +b（ 3）解这个二元一次方程，得到k，b 的值；（ 4）最终得到一次函数的表达式；五、一次函数在生活中的应用：1.当时间 t 肯定，距离s 是速度 v

5、 的一次函数； s=vt ；2.当水池抽水速度f 肯定，水池中水量g 是抽水时间t 的一次函数；设水池中原有水量s；g=s-ft ；六、常用公式：1.求函数图像的k 值：（ y1-y2/x 1-x22.求与 x 轴平行线段的中点：|x1 -x2|/23.求与 y 轴平行线段的中点：|y1 -y2|/24.关于点的距离的问题方法：点到 x 轴的距离用纵坐标的肯定值表示，点到 y 轴的距离用横坐标的肯定值表示；任意两点a x , y, b x, y 的距离为xx 2 yy 2 ；aabbabab名师总结优秀学问点如 ab x 轴，就a xa ,0,bx b ,0的距离为xaxb；如 ab y 轴，

6、就a0,ya , b0,yb 的距离为yayb ；点 a x , y 到原点之间的距离为x 2y 2aaaa点的坐标方法：x 轴上的点纵坐标为0， y 轴上的点横坐标为0；如两个点关于x 轴对称，就他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如两个点关于y 轴对称，就它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如两个点关于原点对称，就它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；一次函数 y=kx+b （ k0）中 k、b 的意义：k称为斜率 表示直线y=kx+b （k0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线y=kx+b（k0）与 y 轴交点的，也表示直线在y 轴上的；同一平面内，不重合的两直线y=k 1x+b

7、1（ k10）与y=k2x+b 2 （k20）的位置关系：当时，两直线平行；当时，两直线垂直；当时，两直线相交；当时，两直线交于y 轴上同一点；特殊直线方程：x 轴:直线y 轴:直线名师总结优秀学问点与 x 轴平行的直线与 y 轴平行的直线一、 三象限角平分线二、四象限角平分线待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b （ k0）的解析式； 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （ k0）； 如点在直线上，就可以将点的坐标代入解析式构建方程；平移方法：直线y=kx+b与 y 轴交点为（ 0，b），直线平移就直线上的点（ 0，b）也会同样的平移，平

8、移不转变斜率k，就将平移后的点代入解析式求出b 即可；直线 y=kx+b向左平移2 向上平移3 <=> y=kx+2+b+3; （“ 左 加右减，上加下减”）；交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满意两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规章图形，或分割成规章图形（三角形）；往往挑选坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；二次函数i.定义与定义表达式名师总结优秀学问点一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c（ a，b，c 为常数， a0，且 a 打算函数的开口方向，a>0时，开

9、口方向向上，a<0 时，开口方向向下, |a|仍可以打算开口大小,|a|越大，就抛物线的开口越小；）就称y 为 x 的二次函数；二次函数表达式的右边通常为二次三项式；ii.二次函数的三种表达式一般式： y=ax 2+bx+c （ a，b， c 为常数， a0） 顶点式： y=ax-h2 +k 抛物线的顶点p（ h，k） 交点式： y=ax-x .x-x. 仅限于与x 轴有交点a（ x.，0）和 b（ x.， 0）的抛物线 注：在 3 种形式的相互转化中，有如下关系: h=-b/2ak=4ac-b 2/4ax.,x.=-b ±b2-4ac/2aiii.二次函数的图像在平面直角坐标

10、系中做出二次函数y=x2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线；iv.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形；对称轴为直线x = -b/2a ；对称轴与抛物线唯独的交点为抛物线的顶点p；特殊地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0 ）2.抛物线有一个顶点p，坐标为p -b/2a， 4ac-b 2 /4a 当-b/2a=0时， p 在 y 轴上；当= b 2 -4ac=0时， p 在 x 轴上；3.二次项系数a 打算抛物线的开口方向和大小；当 a 0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口；名师总结优秀学问点|a|越大，就抛物线的开口越小；4.一次项系数b 和二次项系数

11、a 共同打算对称轴的位置；当 a 与 b 同号时（即a b 0），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即a b 0），对称轴在y 轴右；5.常数项 c 打算抛物线与y 轴交点；抛物线与y 轴交于（ 0，c）6.抛物线与x 轴交点个数= b 2-4ac 0 时，抛物线与x 轴有 2 个交点； = b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有 1 个交点； = b 2-4ac 0 时，抛物线与x 轴没有交点；v. 二次函数与一元二次方程特殊地，二次函数（以下称函数）y=ax 2+bx+c ，当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即 ax2+bx+c=0此时，函数图像与x

12、轴有无交点即方程有无实数根；函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根；1二次函数y=ax 2，y=ax-h 2 ，y=ax-h 2 +k， y=ax 2+bx+c 各式中，a0的图像外形相同， 只是位置不同， 它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax 20 ，0x=0y=ax-h 2h ，0x=h名师总结优秀学问点y=ax-h2+kh，kx=h y=ax 2+bx+c-b/2a ，4ac-b 2 /4ax=-b/2a当 h>0 时，y=ax-h2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位得到，当 h<0 时，就向左平行移动|h|个单位得到当 h>0,k&

13、gt;0时，将抛物线y=ax 2 向右平行移动h 个单位， 再向上移动k 个单位，就可以得到y=ax-h 2 +k 的图象；当 h>0,k<0时，将抛物线y=ax 2 向右平行移动h 个单位， 再向下移动|k|个单位可得到y=ax-h 2 +k 的图象；当 h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向上移动k 个单位可得到y=ax-h 2 +k 的图象；当 h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=ax-h 2 +k 的图象；因此， 争论抛物线y=ax 2 +bx+ca 0 的图像， 通过配方， 将一

14、般式化为 y=ax-h 2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清晰了这给画图像供应了便利2抛物线y=ax 2+bx+ca 0的图像：当a>0 时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a ，顶点坐标是 -b/2a ，4ac-b 2/4a 3抛物线y=ax 2+bx+ca 0，如 a>0 ，当 x -b/2a 时 ，y 随 x 的增大而减小；当 x -b/2a 时，y 随 x 的增大而增大如 a<0 ，当 x -b/2a时， y 随 x 的增大而增大；当x -b/2a 时， y 随 x 的增大而减小 4抛物线y=ax 2+bx+c的

15、图像与坐标轴的交点：名师总结优秀学问点1 图像与 y 轴肯定相交，交点坐标为0， c；2 当=b2 -4ac>0 ，图像与x 轴交于两点ax.， 0和 bx.， 0，其中的 x1 ,x2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0a0的两根这两点间的距离ab=|x .-x.|当=0图像与x 轴只有一个交点；当<0图像与x 轴没有交点当 a>0时，图像落在x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0；当 a<0时，图像落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y<05抛物线y=ax 2+bx+c的最值：假如a>0a<0 ，就当 x= -b/2a时，y 最小大

16、值=4ac-b 2/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值6用待定系数法求二次函数的解析式1当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y 的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax 2+bx+ca 0 2当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式： y=ax-h2 +ka 0 3当题给条件为已知图像与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式： y=ax-x .x-x .a 0 7二次函数学问很简单与其它学问综合应用，而形成较为复杂的综 合题目；因此，以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式显现名师总结优秀学问点重要

17、学问 :a， b，c 为常数， a0，且 a 打算函数的开口方向， a>0时，开口方向向上， a<0 时，开口方向向下； iai 仍可以打算开口大小,iai 越大开口就越小 ,iai 越小开口就越大； 二次函数表达式的右边通常为二次；x 是自变量， y 是 x 的二次函数；一元二次方程求根公式当 b2-4ac>0时当 b2-4ac=0时x1 =x2 =-b/2a一般式折叠y=ax2+bx+c a,b,c 为常数 ,a0顶点式折叠抛物线的顶点 ph ， k : y=ax-h2+ka,h,k 为常数 ,a0交点式折叠仅限于与x 轴有交点ax 1,0和bx2 ,0的抛物线:y=ax

18、-x 1x-x2 a,x 1,x2 为常数 ,a03 种形式的转化一般式和顶点式对于二次函数 y=ax2+bx+c ，其顶点坐标为 -b/2a,4ac-b 2/4a，即名师总结优秀学问点h=-b/2a=x 1+x2/2 k=4ac-b2/4a一般式和交点式x1,x2=-b±b2-4ac/2a 即一元二次方程求根公式抛物线的性质折叠1.抛物线是轴对称图形；对称轴为直线x = -b/2a ；对称轴与抛物线唯独的交点为抛物线的顶点p；特殊地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴即直线 x=02.抛物线有一个顶点p，坐标为p -b/2a， 4ac-b 2 /4a 当-b/2a=0 ，即b=0

19、 时， p 在 y 轴上;当= b 2-4ac=0时， p 在 x轴上；3.二次项系数a 打算抛物线的开口方向和大小；当 a>0 时，抛物线开口向上;当 a<0 时，抛物线开口向下；|a|越大，就抛物线的开口越小；4.一次项系数b 和二次项系数a 共同打算对称轴的位置；当 a 与 b 同号时 即 ab>0 ，对称轴在y 轴左;当 a 与 b 异号时 即 ab<0 ，对称轴在y 轴右；5.常数项 c 打算抛物线与y 轴交点；名师总结优秀学问点抛物线与y 轴交于 0，c6.抛物线与x 轴交点个数= b 2-4ac>0时，抛物线与x 轴有2 个交点；= b 2-4ac=

20、0时，抛物线与x 轴有1 个交点；= b 2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点； x 的取值是虚数 x= -b±b2-4ac /2a 乘上虚数i，整个式子除以2a当 a>0 时，函数在x= -b/2a处取得最小值f-b/2a= 4ac-b 2/4a;在x|x<-b/2a 上是减函数， 在x|x>-b/2a 上是增函数 ;抛物线的开口向上;函数的值域是 y|y 4ac-b 2/4a 相反不变当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为 y=ax 2+ca 07.定义域 :r值域:对应解析式，且只争论a 大于 0 的情形， a 小于

21、 0 的情形请读者自行推断 4ac-b 2/4a ，正无穷 ;k ，正无穷 8.奇偶性 :非奇非偶当且仅当b=0 时，函数解析式为fx=ax 2+c,此时为偶函数 周期性 :无解析式 : y=ax 2+bx+c 一般式 名师总结优秀学问点 a0， a、b、c 为常数； a>0，就抛物线开口朝上;a<0 ，就抛物线开口朝下;极值点 :-b/2a ，4ac-b 2/4a;=b-4ac,>0 ，图象与x 轴交于两点 :-b+ /2a ，0和-b- /2a ， 0;=0 ，图象与x 轴交于一点 :-b/2a ，0; <0 ，图象与x 轴无交点 ; y=ax-h 2 +k配方式

22、此时，对应极值点为h， k，其中 h=-b/2a ， k=4ac-b 2 /4a;二次函数的性质折叠特殊地，二次函数以下称函数 y=ax2+bx+c a0 ，当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程以下称方程 ，即 ax2+bx+c=0 a0此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根；函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根；反比例函数1. 定义：一般地，形如yk （ k 为常数， kxo ）的函数称为反比例函数； yk 仍可以写成ykx1x名师总结优秀学问点2. 反比例函数解析式的特点：等号左边是函数y ，等号右边是一个分式；分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k ），分母中含有自

23、变量x ，且指数为1.比例系数 k0自变量 x 的取值为一切非零实数；函数 y 的取值是一切非零实数；3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法列表（应以 o 为中心， 沿 o 的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的次序）连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，yk（k为常数，k x0 ）中自变量 x0 ，函数值 y0 ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支， 延长部分逐步靠近坐标轴，但是永久不与坐标轴相交；（反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是yx 或 yx ）；反比例函数yk0 ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线yk xxk（ k0 ）上任意引x 轴 y

24、轴的垂线，所得矩形面积为k ；4反比例函数性质如下表：k 的取值图 像 所 在 象函数的增减性限ko一、三象限在每个象限内，y 值随 x 的增大而减名师总结优秀学问点小ko二、四象限在每个象限内，y 值随 x 的增大而增大5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）6“反比例关系”与“反比例函：数成”反比例的关系式不肯定是反比例函数,但是反比例函数yk 中的两个变量必成反比例关系；x7.在反比例函数yk 中，x当 k 0 时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数当 k 0 时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数8.反比例函数图像只能无限趋向

25、于坐标轴，无法和坐标轴相交；9.对于双曲线y kx，如在分母上加减任意一个实数即y k（ x±m ）m 为常数 ，就相当于将双曲线图像向左或右平移一个单位；（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）10.反比例函数的应用对数函数（一）对数1对数的概念： 一般地， 假如 a xn a0, a1 ，那么数 x 叫做以a 为底n 的对数， 记作： xlog an （ a 底数， n 真数， log an 对数式）说明： 1 留意底数的限制a0 ，且 a1； 2a xnlog a nx ；log a n名师总结优秀学问点3 留意对数的书写格式两个重要对数：1 常用对数：以10 为底的对数lg

26、 n ；2 自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln n 指数式与对数式的互化幂值真数aa b nlogn b底数指数对数（二）对数的运算性质假如 a0 ，且 a1 ，m0，n0 ，那么：1log a m· n log a m log a n ；m 2log anlog a m log a n ；n 3log a mn log a mnr 留意：换底公式log a blog c b log c a（ a0 ，且 a1 ； c0 ，且 c1 ； b0 ）利用换底公式推导下面的结论b（ 1） lognmn logb ；（2） logb1amaalog b a（二）对数函数1

27、、对数函数的概念：函数ylog axa0 ，且 a1 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+）名师总结优秀学问点留意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 留意辨别；如：y2 log 2x ，yxlog 55都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数2 对数函数对底数的限制：a0 ，且 a1 2、对数函数的性质：a>10<a<1332.52.521.51 10.521.51 10.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .5123456781-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .5123456781定义域x 0定义域x0值域为r值域为r在 r

28、 上 递增在 r 上递减函数图像都过定点（1， 0）函数图像都过定点（1，0）对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数；因此指数函数里对于a 的规定，同样适用于对数函数；右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，由于它们互为反函数；（ 1）对数函数的定义域为大于0 的实数集合；（ 2）对数函数的值域为全部实数集合；（ 3）函数总是通过（1，0）这点；名师总结优秀学问点（ 4）a 大于 1 时，为单调递增函数，并且上凸；a 小 于 1 大 于 0 时，函数为单调递减函数，并且下凹；（ 5）明显对数函数无界；指数函数

29、（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，假如xna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n n *负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00 ；当 n 是奇数时，n ana ，当 n 是偶数时，n a n| a |aa0aa02分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：ma nna m a0, m, nn * ,n1 an1mma n1an a m0, m, nn * , n10 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质r·（ 1） aa ra r sa0, r , sr ；rs（ 2） a r（ 3） ab

30、a rsa r a s a0, r , sa0,r , sr ；r （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数ya x a0,且a1 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为r留意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和1名师总结优秀学问点2、指数函数的图像和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域r定义域r值域 y 0值 域 y0在 r 上单调递增非奇非偶函数在 r 上单调递减非奇非偶函数函数图像都过定点（0， 1）函数图像都过定点（0， 1）留意：利用函数的单调性，结合图像仍可以看出：（

31、 1）在a， b上，f x a x a0且a1 值域是 f a, f b 或 fb, f a ；（ 2）如 x0 ，就 fx1； f x 取遍全部正数当且仅当xr ；（ 3）对于指数函数f xa x a0且a1 ，总有f 1a ；指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的争论就可以知道， 要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域， 就只有使得不同大小影响函数图形的情形；可以看到：（ 1） 指数函数的定义域为全部实数的集合，这里的前提是a 大于 0，对于 a 不大于 0 的情形，就必定使得函数的定义域不存在连续的区间， 因此我们不予考虑；名师总结优秀学问点（ 2）指数函数的值域为大于0 的实

32、数集合；（ 3）（ 4）函数图形都是下凹的；a 大于 1，就指数函数单调递增；a 小 于 1大于 0，就为单调递减的；（5） ）可以看到一个明显的规律，就是当a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接 近于y 轴与 x 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于y 轴的正半轴与x 轴的负半轴的单调递增函数的位置；其中水平直线y=1 是从递减到递增的一个过渡位置；（6） ）函数总是在某一个方向上无限趋向于x 轴,永不相交；（7） ）函数总是通过（0，1）这点；（8） ）明显指数函数无界；函数奇偶性注图：（ 1）为奇函数（ 2）为偶函数 1定义一般地，对于函数fx（

33、 1）假如对于函数定义域内的任意一个x，都有 f-x= fx，那么函数 fx就叫做奇函数；（ 2）假如对于函数定义域内的任意一个x，都有f-x=fx ，那么函数 fx就叫做偶函数；（3）假如对于函数定义域内的任意一个x，f-x=-fx 与 f-x=fx同时成立， 那么函数fx 既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数；名师总结优秀学问点（ 4）假如对于函数定义域内的任意一个x， f-x=-fx 与 f-x=fx 都不能成立，那么函数fx 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶 函数；说明：奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言奇、偶函数的定义域肯定关于原点对称，假如一个函数的定义域不关于原点对称，就这个函数肯定不是奇（或偶）函数；（分析：判定函数的奇偶性， 第一是检验其定义域是否关于原点对称， 然后再严格依据奇、偶性的定义经过化简、整理、再与fx 比较得出结论）判定或证明函数是否具有奇偶性的依据是定义2奇偶函数图像的特点：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图像关