高考数学三轮冲刺专题22函数与方程、数形结合思想专项讲解与训练

1、1 专题 22 函数与方程、数形结合思想一函数与方程思想思想解读应用角度1. 函数思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决2. 方程思想：是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程 (组) ，通过解方 程( 组) 或对方程 (组 ) 进行研究，以求得问题的解决1. 构造新函数或建立函数关系实现函数与不等式的相互转化，借助函数图象和性质解决相关问题，常涉及不等式的恒成立问题、比较大小问题2. 利用二次函数或一元二次方程解决数列的通项及前n项和问题，常涉及最值问题或参数范围问题3. 将解析几何中的范围、最值问题转化为求函数的值域、最值

2、来解决4. 利用列方程或建立函数表达式的方法解决立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算问题函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系已知双曲线e：x2a2y2b21(a0，b 0) 若矩形abcd的四个顶点在e上，ab，cd的中点为e的两个焦点，且2|ab| 3|bc| ，则e的离心率是 _【答案】2 【解析】如图，由题意知 |ab| 2b2a，|bc| 2c. 又 2|ab| 3|bc| ，所以 22b2a32c，即 2b23ac，所以 2(c2a2) 3ac，两边同除以a2，并整理得2e23e2

3、0，解得e2( 负值舍去 ) 本题利用 了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a，b，c的关系式，求值问题就是建立2 关于a，b，c的等式，求取值范围问题就是建立关于a，b，c的不等式【对点训练】1(20 19安徽师大附中、马鞍山二中联考) 若等差数列 an 的前n项和为sn，且满足a2s34，a3s512，则a4s7的值是 ( ) a20 b36 c24 d72 【答案】 c. 【解析】由a2s34 及a3s512 得4a14d46a112d12，解得a10d1，所以a4s78a1 24d24

4、. 故选 c. 2已知函数f(x) x3ax2bxa27a在x1 处取得极大值10，则ab的值为 _答案：23 (2019 合肥模拟 ) 直线xt分别与函数f(x) ex1 的图象及g(x) 2x1的图象相交于点a和点b，则|ab| 的最小值为 ( ) a2 b3 c42 ln 2 d32 ln 2 【答案】c 【解析】因为f(x) ex1，g(x) 2x 1，所以 |ab| |ex1(2x1)| |ex2x2|. 令h(x) ex2x 2，则h(x) ex2. 当x ln 2时，h(x) 0；当xln 2时，h(x) 0，即h(x) 在( ， ln 2)上单调递减，在(ln 2， ) 上单调

5、递增，所以h(x) 在xln 2时取最小值，最小值为h(ln 2)42ln 2 0，即|ab| 的最小值为4 2ln 2. 由题意可知，|ab| 即为a、b两点的纵坐标之差的绝对值，即|ab| |ex2x 2| ，构造函数h(x) ex2x3 2，从而将问题转化为函数h(x) 的绝对值的最小值问题，利用导数求得h(x)min 42ln 2 0，从而求出|ab| 的最小值为42ln 2. 【对点训练】3. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥p-a1b1c1d1，下部的形状是正四棱柱abcd-a1b1c1d1( 如图所示 )，并要求正四棱柱的高o1o是正四棱锥的高po1的

6、 4 倍若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当po1_m 时，仓库的容积最大答案： (3 ，)解析：函数y|x| 为偶函数，且左减右增函数yx22mx 4m(xm) 图象的对称轴为xm，且在对称轴右侧单调递增故当xm时函数f(x) 先减后增，当xm时函数f(x) 单调递增，如图所示，要使f(x) b有三个不同的根，则必须满足mm22m24m，解得m3. 已知正三角形abc的边长为23，平面abc内的动点p，m满足 |ap| 1，pmmc，则 |bm|2的最大值是( ) a.434b494c.37634d.372334【答案】b 【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则b( 3，0)，c(3，0) ，a

7、(0，3) ，则点p的轨迹方程为x2(y3)21. 设p(x，y) ，m(x0，y0) ，则x4 2x03，y2y0，代入圆的方程得x0322y032214，所以点m的轨迹方程为x322y32214，它表示以32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|bm|max323232 021272，所以 |bm|2max494. (1) 本题利用数形结合思想，分析动点p和点m的轨迹是圆， 再把 |bm|2的最大值转化为点b到圆x322y32214上任一点的距离的平方的最大值问题(2) 在解决向量的夹角、向量的共线与垂直等问题时常常借助于图形的几何性质，数中寻形，可以给烦琐的运算以简便的解释，显得直观、简

8、单，运用向量工具，形中觅数，几何问题代数化，可降低思维难度【对点训练】6 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足 (ac) (bc) 0， 则|c| 的最大值是 ( ) a1 b2 c.2 d.22【答案】 c. 【解析】因为(ac) (bc) 0，所以 (ac) (bc) 如图所示，设occ，oaa，obb，caac，cbbc，即acbc. 又oaob，所以o，a，c，b四点共圆当且仅当oc为圆的直径时，|c| 最大，且最大值为2. 课时作业1(2019 福州模拟 ) 已知a16ln 8 ，b12ln 5 ，cln6ln2，则 ( ) aabcbacbccabdcba【答案】

9、 b. 【解析】因为a16ln 8 ，b12ln 5 ，cln 6ln 2，所以aln2，bln 5，cln 62ln 3.5 又对数函数yln x在 (0 ， ) 上为单调递增函数，由235，得 ln 2ln 3ln 5，所以acb，故选 b. 2(2019. 郑州第一次质量预测) 已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) a.512b2 c.2 d22 【答案】 c. 【解析】 不妨设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0) ，因为焦点f(c，0) 到渐近线bxay0 的距离为a，所以bca2b2a，即bcca，所以ba 1，所以该双曲线的离心率eca1

10、（ba）22，故选 c. 3(2019 昆明模拟 ) 过点 (2，0)引直线l与曲线y1x2相交于a，b两点，o为坐标原点，当aob的面积取最大值时，直线l的斜率等于 ( ) a.33b33c33d3 【答案】 b. 【解析】由于y1x2，即x2y2 1(y0)，直线l与x2y21(y0)交于a，b两点，如图所示saob12sin aob12，且当aob90时，saob取得最大值，此时ab2，点o到直线l的距离为22，则ocb30，所以直线l的倾斜角为150，则斜率为33. 4(2019 广州模拟 ) 曲线y 2x上存在点 (x，y) 满足约束条件xy30 x2y30，xm则实数m的最大值为

11、( ) a2 b32c1 d 1 【答案】 c. 6 【解析】在同一平面直角坐标系中作出不等式组xy30 x2y30 xm所表示的平面区域( 如图中阴影部分所示) 和曲线y2x.易知直线xy30 与曲线y2x的交点为a(1， 2) ，由图可知，当m1 时，曲线y2x上存在点 (x，y) 满足约束条件，故m的最大值为1. 故选 c. 5设等差数列an的前n项和为sn，若s4 2，s50，s63，则nsn的最小值为 ( ) a 3 b 5 c 6 d 9 【答案 】d.6(2019 南昌十校第二次模拟) 已知函数f(x) 2x21，函数g(x) log12x，x02x，x0，则函数y|f(x)|g

12、(x) 的零点的个数为( ) a2 b3 c4 d5 【答案】 c.【解析】函数y|f(x)| g(x) 的零点的个数，即|f(x)| g(x) 0 的根的个数，可得|f(x)| g(x) ，画出函数 |f(x)| ，g(x) 的图象如图所示，观察函数的图象，则它们的交点为4 个，即函数y|f(x)| g(x)的零点个数为4，选 c. 7 7(2019 山西八校第一次联考) 已知等差数列 an 的前n项和为sn，满足s7s11，且a10，则sn最大时n的值是 _答案： 9 解析：设等差数列an 的公差为d，由s7s11可得 7a1762d11a111102d，即 2a117d 0，得到d217

13、a1，所以snna1n（n1）2dna1n（n1）2( 217a1) a117(n9)28117a1，由a10 可知a1170. 故当n9 时，sn最大8(2017高考北京卷) 已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是 _答案： 12，1 解析：法一：由已知可得，y1x，代入x2y2，得x2y2x2 (1 x)22x22x12(x12)212，x0 ，1 ，当x0 或x1 时，取得最大值 1，当x12时，取得最小值12，所以x2y2的取值范围是 12，1 法二：设直线xy1 与两坐标轴的交点分别为a(0 ，1) ，b(1 ，0) ，点p(x，y) 为线段ab上一点，则p到原点o的距离为

14、 |po| x2y2|0 01|121222，又 |po| |ao| 1，所以22x2y21，所以x2y2的取值范围是 12，1 9(2019 合肥模拟 ) 设p，q分别是圆x2(y1)23 和椭圆x24y21 上的点，则p，q两点间的最大距离是_答案：733 解析：设q(x，y) ，因为圆x2(y1)23 的圆心为 (0 ，1) ，半径为3，所以点q到圆心 (0， 1) 的距离为x2（y1）24（ 1y2）（y1）23（y13）2163433，8 所以p，q两点间的最大距离为4333733. 10 (2019 郑 州市第二次质量预测) 已知点p(a，b) 在函数ye2x上， 且a1，b1，

15、则aln b的最大值为 _答案： e 解析：由题意知be2a，则aln balne2aa(2 ln a)，令ta(2 ln a)(t0)，则 ln tln a(2 ln a) (ln a)22ln a (ln a 1)211，当 ln a 10 时取得最大值1，此时 ln t1，所以te，即aln be. 11 (2019贵州适应性考试) 设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且acos b4，bsin a3. (1) 求 tan b及边长a的值；(2) 若abc的面积s9，求abc的周长12 (2019南昌十校联考) 已知等比数列an 满足an0，a1a2a364，sn为其前n项

16、和，且2s1，s3，4s2成等差数列(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设bn log2a1 log2a2 log2an，求数列 1bn 的前n项和tn. 【解析】： (1) 设数列 an 的公比为q，因为 2s1，s3，4s2成等差数列，所以 2s3 2s14s2，即 2(a1a1qa1q2) 2a1 4(a1a1q) ，化简得q2q2 0，解得q2或q 1. 9 因为an0，所以q 1 不合题意，舍去，由a1a2a3 64 可得a32 64，解得a24，故 2a14，得到a12，所以ana1qn122n 12n. (2) 因为bn log2a1log2a2 log2anlog2(a1a2an) log2212n12n（n1）n2. 所以1bn2n（n1）2(1n1n1) 所以tn1b11b21bn2(1112)(1213) (1n1n1) 2(11n1) 2nn1. 13已知函数f(x) x33x2ax2，曲线yf(x) 在点