高考数学专题复习_椭圆

1、高考数学专题复习椭圆【考纲要求】1. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；2. 掌握椭圆的简单几何性质一、考点回顾1. 椭圆的定义1. 第一定义：满足121222pfpfaaff的动点 p的轨迹是以12,ff 为焦点，长轴长为 2a 的椭圆2. 第二定义：到一个定点 f 与到一定直线 l 的距离之比等于一个小于 1 的正数e的点的轨迹叫椭圆其中 f 是椭圆的一个焦点， l 是相应于 f 的准线，定义式：101pfeepp2. 椭圆的标准方程（1）焦点12,ff 在x轴上：222210 xyabab焦点1, 0fc，2, 0fc，且满足：222abc（2）焦点12,ff 在 y 轴上：

2、1f2f1pxlyp2f1f222210yxabab焦点10,fc，20,fc，且满足：222abc（3）统一形式：2210,0,axbyabab【注】,a b为椭圆的定型条件，对,a b c三个值中知道任意两个，可求第三个，其中,ab ac3. 椭圆的参数方程焦点在x轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为：cossinxayb（为参数）（其中 2a为椭圆的长轴长， 2b 为椭圆的短轴长）4 椭圆的简单几何性质以椭圆222210 xyabab为例说明（1）范围：axa，byb（2）对称性：椭圆的对称轴 :x轴， y 轴；对称中心：原点(0, 0)o（3）顶点：长轴顶点：1, 0aa，2, 0aa，

3、短轴顶点：10,bb，20,bb（4）离心率：cea椭圆上任一点 p到焦点的距离点p到相应准线的距离。【注】01e；e越大，椭圆越扁；21bea（5）准线：椭圆有左，右两条准线关于y 轴对称。左准线：2axc右准线：2axc（6）焦半径：椭圆上任一点00,p xy到焦点的距离。左、右焦半径分别为110rpfaex ，220rpfaexf1f2f1f2f1pxlyp5 点与椭圆的位置关系已知椭圆22221xycab；，点00(,)p xy，则：220022220022220022111xyabxyabxyab点p在椭圆c外点p在椭圆c上点p在椭圆c内6 关于焦点三角形与焦点弦（1）椭圆上一点 p

4、 与两个焦点12,ff 所构成的12pf f称为焦点三角形 。设12f pf，则有：21 2cos1brr，当12rr（即 p为短轴顶点）时，最大，此时222cosbca12pf f的面积221 201sinsintan21cos2bsrrbc y当0yb（即 p为短轴顶点）时，s最大，且maxsbc1f1f22212bcpfpfb（2）经过焦点1f或2f的椭圆的弦 ab，称为焦点弦 。设1122(,),(,)a xyb xy， ab的中点为00(,)m xy，则弦长1202()22abae xxaex（左焦点取“ +” ，右焦点取“ -” ）当 abx轴时， ab 最短，且22min2bab

5、a7 椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，经过椭圆的另一焦点。2f1fp 2f1fab 8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1联立方程法 ：联立直线和椭圆方程，消去y ，得到关于x的一元二次方程，设交点坐标为1122(,), (,)xyxy，则有0 ，以及1212,xxx x ，还可进一步求出1212,yyy y。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2点差法 ：设交点坐标为1122(,), (,)xyxy代入椭圆方程，并将两式相减，可得2121221212bxxyyxxayy，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例 1

6、】 （1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为105，则椭圆方程为_ （2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1yx交椭圆于,p q两点，若0op oq，且102pq，则椭圆方程为 _ 【解】 （1）由已知：105bcac，又222abc，故求得：105ab。所以，椭圆方程为：221105xy（2）设椭圆方程为：2210,0axbyab，且设11(,)p xy，22(,)q xy， pq的中点为00(,)m xy。由已知：opoq，所以11024ompq，即有：2200104xy，又001yx，求得：001434x

7、y或003414xy。联立2211axbyyx，消去 y, 得：2()210ab xbxb，则有: 244()10babb，即 abab。由韦达定理可得：122bxxab，从而有121222ayyxxab，易知：1202xxx，1202yyy，所以212232babaab或232212babaab，解之得：3212ab或1232ab。故椭圆方程为：223122xy或223122xy。【例 2】设椭圆222210 xyabab的左焦点为 f ，上顶点为 a，过 a点作 af 的垂线分别交椭圆于 p，交x轴于q，且85appq（1）求椭圆的离心率。（2）若过,a fq 三点的圆恰好与直线330 x

8、y相切，求椭圆的方程。【解】 （1）由已知可得：2(, 0),(0,),(, 0)bfcabqc由85appb可得：285(,)1313bbpcc，将p点坐标代入椭圆方程可得：232bac。 即22231232022aceeeac（2）由（1）得：(3 , 0)qc，圆心为( , 0)c，半径2rc于是有：3212ccc， 所以2,3ab。故椭圆方程为：22143xy【例 3】 已知中心在原点的椭圆的左， 右焦点分别为12,ff ， 斜率为 k 的直线过右焦点2f与椭圆交于,a b两点，与 y 轴交于点 m点，且22mbbf（1）若2 6k，求椭圆离心率的取值范围（2）若2 6k，且弦 ab的

9、中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程【解】 （1）设椭圆方程为：222210 xyabab，2, 0fc则直线ab的方程为：()0,yk xcmkc由22mbbf，可求得：2,33ckcb代入椭圆方程，并整理得：222294bckca而cea且222bac，故有：2221194kee由已知：2024k得：221019424ee考虑到01e，故求得：112e（2）由（ 1）可知，当2 6k时，122ceaca故椭圆方程可化为：2222143xycc联立2222143()xyccyk xc消去y得：23364280 xcxc设ab的中点为00,mxy，则12032233xxxc易知：椭圆的

10、右准线为：4xc，于是32100413333ccc故椭圆方程为：22143xy【例 4】已知椭圆的中心在原点o ，短轴长为 2 2，右准线交x轴于点 a，右焦点为 f ，且2offa ，过点 a的直线 l 交椭圆于,p q两点（1）求椭圆的方程（2）若0op oq，求直线 l 的方程（3）若点q关于x轴的对称点为q，证明：直线pq过定点（4）求opq的最大面积【解】 （1）2263, 0cbaa，椭圆方程为：22162xy（2）设直线l的方程为：3xky，且设1122,p xyq xy联立221623xyxky消去x，得：223630kyky则12122263,33kyyy ykk从而求得：2

11、12122218627,33kxxx xkk由0op oq得 ：12120 x xy y，求得5k所以l的方程为：530 xy（3）有已知及（ 2）知：22,qxy。设直线pq与x轴交于点, 0mm则有1212211212yyx yx ymxmxmyy由（2）可知：112233xkyxky所以12121212122323ky yyyky ymyyyy又由（2）知：121212y yyyk， 所以132m，即2, 0m故直线pq过定点2, 0，即为椭圆的右焦点（4）由（ 1）得：2302k221222233613612222333opqkksoa yykkk令2302ktt， 则36392opq

12、stt当且仅当3 32t，即6k时，取“”所以opq的最大面积为3【例 5】已知椭圆 c的中心在原点，焦点在x轴上, 椭圆 c上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1（1）求椭圆 c的标准方程（2）若直线:lykxm与椭圆交于,a b两点（,a b不是左，右顶点）且以ab 为直径的圆过椭圆 c的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标【解】 （1）由已知3ac且1ac21ac从而3b所以椭圆 c的方程为：22143xy（2）设1122,a xyb xy联立22143ykxmxy， 消去y得：222348430kxmkxm则2222226416 343034m kkmkm又有212

13、12224383434mmkxxx xkk从而有22121223434mky ykxmkxmk因为以ab为直径的圆过右顶点2, 0d， 所以0da db而11222,2,daxydbxy，所以1212220 xxy y即12121220 x xxxy y所以22222243341640343434mmkmkkkk得：22716402mmkkmk 或27mk）当2mk时，直线l过右顶点2, 0不合题意）当27mk时，直线l为27yk x，显然直线l过定点2, 07故直线l过定点，且定点坐标为2, 072 椭圆的性质【例 6】已知椭圆222210 xyabab的两个焦点分别为1, 0fc，2, 0

14、fc，在椭圆上存在一点 p，使得120pfpf（1）求椭圆离心率e的取值范围（2）当离心率e取最小值时，12pf f的面积为 16，设,ab是椭圆上两动点，若线段 ab的垂直平分线恒过定点(0,3)q。求椭圆的方程；求直线 ab的斜率 k的取值范围。【解】 （1）设椭圆短轴的端点为b,由已知及椭圆的性质得：0121290f bff pf所以0245obf， 从而2tan1obf， 即221ccbb， 又222bac ，所以222cac，得：2212ca，所以2, 12e。（2）当e取得最小值22时，p在短轴顶点，所以1216pf fsbc， 又2222,2cabca，故求得：4 2,4,4ab

15、c。 所以椭圆方程为：2213216xy【法一：点差法】设1122,a xyb xy，设ab的中点为00,mxy，则2211121212122222132160321613216xyxxxxyyyyxy121212122yyxxxxyy即002xky由已知ab的垂直平分线方程为：13yxk易知点00,mxy在该直线上，所以0013yxk由，可求得：002 33xky即2 3 ,3mk由已知：点m在椭圆内部，所以222 3378781321666kk【法二：联立方程法】设1122,a xyb xy，设直线ab的方程为ykxb，ab的垂直平分线方程为：13yxk联立2213216ykxbxy消y去

16、得：2221242320kxkbxb则有2222164 122320k bkb即2216 12bk又有:122412kbxxk从而122212byyk所以ab的中点为222,1212kbbmkk。又m在ab的垂直平分线上，所以221231212bkbkkk，即23 12bk将代人求得：787866k【注 1】在方法二中，也可由qaqb得到【注 2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0axa； （3）0；（4）椭圆内部的点00,xy满足2200221xyab；【例 7】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为 1的直线过椭

17、圆的右焦点2f与椭圆交于,a b两点，oaob与向量3,1a共线。（1）求椭圆的离心率e（2）设m 为椭圆上任一点，若,omoaobr，求证：22为定值【解】（ 1）设椭圆方程为222210 xyabab，设11(,)a xy，22(,)b xy，由已知：直线 ab的方程为：yxc，代入椭圆方程，得：2222222()20abxa cxa ca b，由韦达定理得：212222a cxxab，易知：1212(,)oaobxxyy因为oaob与向量3 ,1a共线，所以12123()()0yyxx，而12122yyxxc，所以12123(2 )()0 xxcxx，即1232cxx，于是有：22222

18、2332a ccabab又222bac，所以2223ca，故有：63cea。（2）由（1）得：223ab，2cb，所以椭圆方程为：222213xybb，即22233xyb，直线 ab的方程为：2yxb，于是有：12322bxx，21234bxx， 从而1222byy，124byy。于是121230 xxyy。设00(,)m xy，由已知：012012xxxyyy，将 m的坐标代入椭圆方程得：222121233xxyyb，即222222211221212332(3)3xyxyxxyyb，于是有：22222333bbb。 故221为定值。【例 8】已知 a为椭圆222210 xyabab上一动点，

19、弦,abac 分别过焦点12,ff ，当 acx轴时，恰有123afaf . （1）椭圆的离心率（2）设111aff b，222aff c ，判断12是否为定值？【解】 （1）当acx轴时，22bafa，从而213bafa依定义有122afafa，所以222423baaba而222bac ，所以22222caca，即22e。（2）由（1）可知椭圆方程为：222212xycc，12, 0 , 0fcfc设001122,a xyb xyc xy若,abac的斜率都存在，则直线ab的方程为00yyxcxc代入椭圆方程，并整理得：222200002320cxcycyxc yc y由韦达定理有22200

20、012002323c ycyy ycxcxc由已知：10011132afycxycf b；同理可得：0232cxc所以126若,abac有一个斜率不存在，不妨设acx轴则21321,5ccc所以126综上所述126为定值。【例 9】设00(,)p xy是椭圆222210 xyabab上的定点，过 p点作两条直线,pa pb与椭圆分别交于,ab两点（异于 p点）且满足直线 pa与 pb 的倾斜角互补， 求证：直线 ab的斜率为定值【证明】 【法一： 点差法 】设00(,)p xy，1122(,) ,(,)a xyb xy。则有：2200221(1)xyab，2211221(2)xyab，2222

21、221(3)xyab（2）（3）得：12121212220 xxxxyyyyab，即2121221212yyxxbxxayy。 所以212212abxxbkayy。同理可得：220102220102,papbxxxxbbkkayyayy。由已知：0papbkk，即010201020 xxxxyyyy122101201200()()20 x yx yxyyyxxx y（4）另一方面，0101payykxx，0202pbyykxx，所以010201020yyyyxxxx122101201200()()20 x yx yxyyyxxx y（5）由（4） （5）可得：012012()()0 xyyyx

22、x012120 xxxyyy。所以22002200abxb xbkaya y为定值。即直线 ab的斜率为定值【法二 ：联立方程法 】设00(,)p xy，1122(,) ,(,)a xyb xy。设直线 pa ：010()yyk xx，直线 pb ：020()yykxx。联立0102222()1yykxxxyab，消去 y，得：2222222211100100()2()()0ba kxa k k xyxak xya b，由韦达定理可得：2222100012221()ak xya bx xba k同理可得：2222200022222()ak xya bx xba k。由已知：120kk，即21k

23、k，于是2222100022221()ak xya bx xba k得：210001222214()a k x yxxxba k， 即2101222214a k yxxba k。得：222222222222100100012222222112()2()()a k xa ya ba k xb xxxxba kba k，所以2221001222212()a k xb xxxba k。于是121101201120()()(2)yyk xxk xxk xxx222222211000110222222112()()4ka k xb xx ba kk b xba kba k。所以2210012221210

24、044abk b xb xyykxxa k ya y为定值。3. 最值问题【例 10】 已知12,ff 是椭圆2214xy的左，右焦点以及两定点31,0, 222mn（1）设 p为椭圆上一个动点求1pfpm 的最大值与最小值；求12pfpf 的最大值与最小值。（2）过 n 点作直线 l 与椭圆交于,a b两点，若aob为锐角（ o为原点），求直线 l 的斜率的取值范围【解】 （1）由已知：点31,22m在椭圆2214xy内部。易知2 ,1 ,3abc所以123 , 0,3 , 0ff，21f m。依定义有：124pfpf ， 所以124()pfpmpfpm，由三角不等式可得：222f mpfp

25、mf m ，即211pfpm。当且仅当2pfm、三点依次共线以及2pmf、三点依次共线时，左右等号分别成立。所以1max415pfpm； （此时2pfm、三点依次共线）1min413pfpm。 （此时2pmf、三点依次共线）【法一】易知2 ,1 ,3abc所以123 , 0,3 , 0ff，设,p xy，则22123,3,3pfpfxyxyxy2221133844xxx。 因为2 , 2x，故当0 x，即点 p为椭圆短轴端点时，12pfpf 有最小值2当2x，即点 p 为椭圆长轴端点时，12pfpf 有最大 1. 【法二】易知2 ,1 ,3abc，所以123,0 ,3,0ff，设,p xy ，

26、由向量的数量积定义及余弦定理可得：121212cospfpfpfpff pf222121212122pfpff fpfpfpfpf2222133122xyxy223xy（以下同解法一）（2）显然直线0 x不满足题设条件，设1222,a xyb xy，设直线l的方程为：2 ,ykx，联立22214ykxxy，消去y，整理得：2214304kxkx12122243,1144kxxxxkk由2214434304kkk得：32k或32k又000090cos000a ba boa ob所以12120oa obx xy y又2121212122224y ykxkxk x xk xx222222381411

27、1444kkkkkk所以2223101144kkk， 即24k所以22k。 故由、得：322k或322k【例 11】已知椭圆22:143xyc， ab是垂直于x轴的弦，直线4x交x轴于点 n ，f为椭圆 c的右焦点，直线 af 与 bn 交于点 m（1）证明：点 m 在椭圆 c 上（2）求amn 面积的最大值【解】 （1）由已知1, 0 ,4, 0fn。设,a mn，则,0b mnn且22143mn，af 与 bn 的方程分别为：:1:414nnafyxbn yxmm联立两直线的方程求得：5832525mnxymm即583,2525mnmmm因为222225833(58)4(3 )252543

28、12(25)mnmnmmm2223(58)36 3 1412(25)mmm2212(25)112(25)mm， 所以点 m 在椭圆 c上（2）设直线 am 的方程为1xky且1122,a xymxy联立2222134690431xykykyxky则由：12122269,3434kyyy ykk所以221212122121434kyyyyy yk所以21222211811812311311amnksfnyykkk令1( )31h tttt，函数( )h t递增， 所以当1t时，( )h t取得最小值 4，故当0k时，amns取得最大值18942【例 12】已知椭圆的中心在原点，左，右焦点分别为1

29、23, 0 ,3, 0ff，右顶点为2, 0a，设11,2m，过原点 o的直线与椭圆交于,b c 两点，求mbc的最大值【解】 【方法一 】由已知可得：椭圆方程为：2214xy。 设0000(,),0b xyx y则00(,)cxy，所以直线bc的方程为：00yyxx即000y xx y， 作mdbc于d， 则00220012yxmdxy易知22002bcxy， 所以001122mbcsbcmdyx因为点00(,)b xy在椭圆上，所以可设002cos ,sinxy所以sincos2 sin4mbcs当sin14时，mbcs取得最大值2【方法二 】 由0012mbcsyx， 可得2222200

30、0011222sxyxy当且仅当0012xy即0022,2xy或0022,2xy时取等号所以mbc的最大值为2【例 13】（08 山东） 已知曲线1:10 xycabab所围成的封闭图形的面积为4 5 ，曲线1c的内切圆半径为2 53，记2c是以1c与坐标轴的交点为顶点的椭圆（1）求椭圆2c的标准方程（2）设 ab是过椭圆2c中心的任意弦， l 是 ab线段的垂直平分线，m 是l 上异于椭圆中心的点。若 mooa （o 为坐标原点）当a点在椭圆2c上运动时，求点 m 的轨迹方程；若点 m 是l 与椭圆2c的交点，求amb的最小面积【解】 （1）由题意得2224 52 53ababab，又0ab

31、，解得：2254ab，因此所求椭圆的标准方程为：22154xy（2）假设ab所在直线的斜率存在且不为零，设ab所在直线方程为(0)ykx k，且设()aaa xy，解方程组22154xyykx，得：222045axk，2222045akyk，所以22222222202020(1)454545aakkoaxykkk设()m xy，由题意知：(0)mooa，所以222mooa，即2222220(1)45kxyk，因为l是ab的垂直平分线，所以直线l的方程为1yxk，即xky，因此22222222222220120()4545xyxyxyxyxy， 又22)0 xy，所以2225420 xy，故22

32、245xy当0k或不存在时，上式仍然成立综上所述，m的轨迹方程为222(0)45xy 当k存在且0k时，由（ 1）得：222045axk，2222045akyk，由221541xyyxk，解得：2222054mkxk，222054myk，所以2222220(1)45aakoaxyk，222280(1)445kaboak，22220(1)54komk 由于22214ambsabom2222180(1)20(1)44554kkkk2222400(1)(45)(54)kkk2222222222400(1)1600(1)4081(1)945542kkkkk，当且仅当224554kk，即1k时等号成立，

33、此时amb面积的最小值是409ambs当0k，1402 522 529ambs当k不存在时，140542 529ambs综上所述，amb的面积的最小值为409【 （2）另解】因为222222111120(1)20(1)4554kkoaomkk2224554920(1)20kkk，又22112oa omoaom，所以409oaom， 当且仅当224554xkk， 即1k时等号成立，此时amb面积的最小值是409ambs【例 14】已知椭圆22:143xyc的左，右焦点分别为12,ff ，过1f的直线与椭圆交于,ab两点（1）求2af b的面积的最大值（2）当2af b的面积最大值时，求12tan

34、f af的值【解】 （1）由已知得：121, 0 ,1, 0ff设直线 ab的方程为1xky，且设1122,a xyb xy联立2222134690143xkykykyxy则有：12122269,3434kyyy ykk由已知可得：212121212af bsf fyyyy212124yyy y2226363434kkk22222212112112134311311kkkkkk令1( )31g tttt易证函数在1,上递增，所以当1t时，( )g t取得最小值 4，故当0k时，221311kk取得最小值 4， 故2af bs的最大值为 3。（2） 当2af bs最大值时，0k， 从而132af

35、， 而122f f所以121214tan3fff afaf【例 15】(2009 山东卷) 设椭圆 e: 222210 xyabab过 m（2，2） ，n(6,1)两点，o 为坐标原点，（1）求椭圆 e的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点 a,b,且oaob？若存在，写出该圆的方程，并求| ab | 的取值范围，若不存在说明理由。（3）设直线 l 与椭圆222:(22 2)cxyrr相切于 p点，与椭圆e只有一个公共点q，当r取何值时， pq 取得最大值？并求此最大值【解】 （1）因为椭圆 e: 222210 xyabab过 m （2，2） ，n(6

36、,1) 两点, 所以2222421611abab解得22118114ab即2284ab所以椭圆 e的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e 恒有两个交点 a、b，且oaob。设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184ykxmxy消去 y，得：, 222(12)4280kxkmxm, . 则=22244(12)(28)0kmkm，即22840km由由韦达定理得：1224+12kmxxk，21222812mx xk。于是22221212121228()()(+)12mky ykxm kxmk x xkm xxmk要使oaob, 需使1 2120 xxyy

37、，所以223880mk，因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为2222(1)1mrmrkk由 可得：2 63r，所求的圆为2283xy，而当切线的斜率不存在时，切线为2 63x，与椭圆22184xy的两个交点为2 62 6(,)33或2 62 6(,)33，满足oaob。综上, 存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆e 恒有两个交点 a、b，且oaob.因为, 1224+12kmxxk，21222812mx xk， 所以22212121 211( +)4abkxxkx xx x22222428141212kmmkkk222228(84)112kmkk2

38、2232 45132134413441kkkkkkk）当0k时，32111344abkk。因为221448kk所以221101844kk, ， 即3232111213344kk, 所以46| 2 33ab，当且仅当22k时取” =”. ）当0k时,4 6|3ab. ）当 ab的斜率不存在时 , 两个交点为2 62 6(,)33或262 6(,)33此时4 6|3ab, 综上, |ab |的取值范围为：46| 2 33ab。即: 4| 6,233ab。【另解】如图，设oab，作odab于 d，由及已知可得 ：2tan22，263od易知tanodad，tanbdod。所以1261tantanta

39、n3tanabod。令tant，12( )22f tttt，易知：函数( )f t在2, 12上递减，在1 ,2上递增。所以min( )(1)2f tf，max32( )(2)2ftf。 故46233ab。2f1fa b d o （3）设直线 l 的方程为ykxm，设00(,)q xy，因为直线 l 与圆 c相切，所以2222(1)1mrmrkk联立22184ykxmxy，消去 y得：222(12)4280kxkmxm由已知：22244(12)(28)0kmkm，即2284mk由 可得：22248rkr，22248rmr。当直线 l 与椭圆22184xy有唯一公共点 q时，有：02212kmx

40、k即有：220216(4)rxr从而有：222024(8)42xryr于是有：22222220023212pqoqopxyrrr而22328 2rr，当且仅当2232rr，即42 2r时取等号。所以2128 2pq，故当2232rr时，max222pq。【注】存在以坐标原点o 为圆心的圆， 使得圆的任一切线与椭圆交于p, q 两点，满足opoq，且圆的方程为222222a bxyab；反之，若opoq，则 o 点到直线pq 的距离为定值22abab. 当 kpqba时， |pq|取得最大值22ab ;当2k0pq或pqx轴时，|pq|取得最小值222abab。. 4 直线与椭圆的位置关系【例

41、16】已知12,ff 是椭圆22:14xcy的左，右焦点，直线 l 与椭圆相切。（1）分别过12,ff 作切线 l 的垂线，垂足分别为mn， ，求12fmf n 的值（3）设直线 l 与x轴， y 轴分别交于两点,a b，求 ab 的最小值。【解】 （1）设直线l的方程为ykxm，由已知 : 1(3 , 0)f，2( 3 , 0)f。所以1231kmf mk；2231kmf nk。于是2212222333111kmkmkmf mf nkkk。联立2214ykxmxy，消去 y，的：222(14)8440kxkmxm。因为直线l与椭圆相切，所以2222284(1 4)(44)041kmkmmk。

42、所以22212223(41)1111kkkf mf nkk为定值。（2）易知：, 0mak，(0 ,)bm。所以222222111(41)1mabmmkkkk22145453kk。 当且仅当2214kk， 即22k时取等号。所以min3ab。【例 17】 已知椭圆22:194xyc， 过点0 3p，作直线 l 与椭圆顺次交于,a b两点 （ a在,pb之间） 。 （1）求papb的取值范围；（2）是否存在这样的直线l ，使得以弦 ab为直径的圆经过坐标原点？若存在，求l 的方程，若不存在，说明理由。【解】 （1）方法一： （联立方程法）当直线 l 的斜率存在时，设直线的方程为3ykx且设112

43、2,a xyb xy。联立223194ykxxy， 消去 y，并整理得：229454450kxkx则有22544 94 450kk， 求得：259k又有1225494kxxk1224594kx xk设01appb，则有12xx，即12xx从，中消去12,xx 可得：2213241459k而259k， 所以2113645。 而0, 1，故求得：115）当直线 l 的斜率不存在时，15综上所述，appb的取值范围是1, 15方法二： （点差法）设1122,a xyb xy，01papb则有：papb， 所以12xx，1233yy， 即22,33axy于是有22222222331(1)941(2)9

44、4yxxy(1)(2) 得：222619114y，即21356y由已知，222y，所以135122565而0, 1， 所以115（2）假设满足条件的直线存在，设1122,a xyb xy，则12120 x xy y由（1）可知：1225494kxxk1224594kx xk从而求得：21212236363394ky ykxkxk于是有：2345363602kk满足259k故满足条件的直线 l 存在，且直线方程为：332yx或332yx【例 18】设,a b是椭圆2230 xy上两点，点3n 1，是线段 ab的中点，线段 ab的垂直平分线交椭圆于,cd两点（1）确定的取值范围，并求直线ab的方程

45、（2）是否存在这样的实数，使得,a b cd 四点在同一圆上？并说明理由【解】 （）解法 1：依题意，设直线 ab 的方程为(1)3 ,yk x代人223xy整理得222(3)2 (3)(3)0kxk kxk设1122(,) ,(,)a xyb xy，则12,xx是方程的两个不同的根，224 (3)3(3) 0kk且1222 (3)3k kxxk。由 n（1，3）是线段 ab 的中点，得：2121 ,(3)3.2xxk kk解得 k=1，代入得，12。 则的取值范围是（ 12，+）. 于是，直线 ab 的方程为3(1) ,40.yxxy即：解法 2：设1122(,) ,(,),a x yb xy则有22111212121222223()()()()0.3xyxxxxyyyyxy依题意，1212123(),.abxxxxkyyn（1，3）是 ab 的中点，12122 ,6 ,1.abxxyyk从而又由 n（1，3）在椭圆内，223 1312。的取值范围是（ 12，+）. 直线 ab 的方程为 y3=（x1） ，即x+y4=0. （）cd 垂直平分 ab，直线 cd 的方程为 y3=x1，即xy+2=0，代入椭圆方程，整理得24440.xx设3344(,) ,(,) ,c xyd xycd