初高中数学衔接教材几何

1、2.3方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法练 习1.（ 1）（ 2）是方程的组解；（ 3）（4）不是方程组的解2（ 1）（ 3）x115,x2y120,y25x,320,15;x15,x22,（ 2）y12,y25;x12,x22,（ 4）y4 .3y12,y22.2.3.2 一元二次不等式解法1（ 1） x 1，或 x 43练 习； （2） 3x4；（ 3） x 4，或 x 1；（ 4） x42不等式可以变为x1 a x 1 a ，0（ 1）当 1 a 1 a，即 a 0 时， 1 ax 1 a；（ 2）当 1 a 1 a，即a0 时，不等式即为x 120， x 1；（ 3）当 1 a

2、 1 a，即 a 0 时， 1 ax 1 a综上，当a 0 时，原不等式的解为1 ax 1a；当 a 0 时，原不等式的解为x 1；当 a 0 时，原不等式的解为1 ax 1a习题 2 3a组x11（ 1）y1x1（ 3）y12,0,32,32,x10 ,234y2.3x232,y232;x10,（ 2）y10,x24 ,2512y2.5（ 4）x1 y13,x21,y23,x31,y33,x43,1,y41.2（ 1）无解（2）23x2333（ 3） 12x12（ 4） x2，或 x 21消去 y ，得4x24mb组1xm20 2当16m1216m0 ,即 m1时，方程有一个实数解21将 m

3、代入原方程组，得方程组的解为2x 1 ,4y 1.2不等式可变形为x1 xa 0当 a 1 时，原不等式的解为1 xa；当 a 1 时，原不等式的无实数解；当 a 1 时，原不等式的解为a x1c组1由题意，得 1 和 3 是方程 2x2 bx c0 的两根，bc 13 2 ， 1×3 2 ，即 b 4， c 6等式 bx2 cx 40就为 4 x26x 40，即 2 x2 3x20，12 2 x22 y x2 mx2 x m2m2 2 m，4m2当 022，即 0m4时， k 24；m当 2 0，即 m 0 时， k 2；m当 2 2，即 m 4 时， k 2m 22,m0,2 k

4、m2,0m4,42m2,m4.3 1相像形3.1.1平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与争论中，我们发觉平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线l1, l2 ,l3 （如图 3.1-1），直 线 a交l1, l2 ,l3于 点a, b ,c，ab2, bc3 ，另作直线 b 交 l ,l , l 于点a ', b ', c '，不难发现 a ' b 'ab2 .123b 'c 'bc3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得

5、的图 3.1-1对应线段成比例 .如图 3.1-2， l/ l/ l ， 有 ab =de .当然，也可以得出abde.在运用该定懂得决问题的过123bcefacdf程中，我们肯定要留意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例 .例 1如图 3.1-2，l1 / l2/ l3 ，且 ab =2, bc =3, df =4, 求de, ef .解q l/ / l/ /l, a b =d e = 2,123b ce f3图 3.1-2de2df8 , ef3df12 .235235例 2在abc 中，adaedeabacbc求证：d , e 为边.ab, ac 上的点，de /bc ，证明（ 1）

6、de /bc,adeabc ,aedacb ,ade abc ，adaede .abacbc证明（ 2） 如图 3.1-3，过 a 作直线l /bc ，l / de / bc,adae .abac过 e 作 ef / ab 交 ab 于 d ，得bdef ，因而 debf .ef /ab,aebfde .acbcbc图 3.1-3adaede .abacbc从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边， 并且和其它两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 .例 3已知abc ， d 在 ac 上，

7、 adbd 上.: dc2 :1 ，能否在 ab 上找到一点 e ，使得线段 ec 的中点在解假设能找到，如图3.1-4，设 ec 交 bd 于 f ，就 f 为 ec 的中点，作eg /ac 交 bd 于 g .eg / ac , effc ，egfcdf ，且 egdc ，eg /1 ad ,2begbad ， 且beeg1 ,baad 2e 为 ab 的中点 .可见，当 e 为 ab 的中点时， ec 的中点在 bd上.我们在探究一些存在性问题时， 经常先假就存在，无解或冲突就不存在.图 3.1-4设其存在，再解之，有解例 4在 v abc 中， ad 为d bac 的平分线，求证：ab

8、 =bd .证明过 c 作 ce/ad，交 ba 延长线于 e，babdacdcq ad/ ce ,=.aedcq ad 平分 衆bac ,. bad. dac ,由 ad / ce 知. bad行e ,dac= . ace ,图 3.1-5. e. ace,即aeac,abbd=.acdc例 4 的结论也称为 角平分线性质定理 ，可表达为 角平分线分对边成比例 （等于该角的两边之比） .练习 11如图 3.1-6，l1 / l2/ l3 ，以下比例式正确选项（）a ad =ceb ad =bcdfbcbeafc ce =add. af=bedfbcdfce图 3.1-62如图3.1-7，de

9、 /bc , ef /ab,ad =5cm,db =3cm, fc =2cm,求 bf .图 3.1-73如图，在 v abc 中， ad 是角 bac 的平分线，ab=5cm,ac=4cm,bc=7cm,求 bd 的长.图 3.1-84如图，在v abc 中，d bac的外角平分线 ad 交 bc 的延长线于点 d ，求证： ab =bd .acdc图 3.1-95如图，在v abc的边 ab、ac 上分别取 d、e 两点，使 bd=ce，de 延长线交 bc 的延长线于f.求证： df =ac .efab图 3.1-103.12相像形我们学过三角形相像的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定

10、两个三角形相像？有哪些方法可以判定两个直角三角形相像？例 5如图 3.1-11，四边形 abcd 的对角线相交于点o，. bac. cdb，求证： . dac. cbd .证明在v oab 与 v odc 中，. aob行doc ,oab= . odc ,v oab v odc ，oaob=，即odocoaod=.oboc又v oadv oad与v obc v obc中， . aod，. boc ，图 3.1-11. dac. cbd .例 6如图 3.1-12,在直角三角形 abc 中， d bac为直角， ad bc于d .求 证 ：（1）ab 2 =bd .bc，ac 2 =cd .cb

11、 ；（2） ad 2 =bd .cd证明（ 1 ）在 rtvbac 与 rtv bda 中，. b. b ，v bacv bda，图 3.1-12ba =bc ,即ab2 =bd .bc.bdba同理可证得ac 2 =cd .cb .（2）在 rtv abd与 rtv cad中， . c90o -. cad. bad ，rtv abd rtv cad ，ad =dc ,即ad 2 =bd .dc .bdad我们把这个例题的结论称为射影定理 ，该定理对直角三角形的运算很有用.例 7在 v abc 中，ad bc于d , de ab于e, df ac于f，求证： ae .abaf.ac .证明qa

12、 d b c，v adb为直角三角形，又de ab ，由射影定理，知ad 2 =ae .ab .同理可得ad 2 =af .ac .ae .abaf.ac .图 3.1-13例 8如图 3.1-14，在 v abc 中， d 为边 bc 的中点， e 为边 ac 上的任 意 一 点 ， be 交 ad于 点 o . 某 学 生 在 研 究 这 一 问 题 时 ， 发 现 了 如 下 的 事 实 ：（1） 当 ae =1 =图 3.1-141时，有 ao =2 =2.（如图 3.1-14a）ac21+ 1ad32 + 1（2） 当ae = 1 =1时，有ao =2 =2.（如图 3.1-14b）

13、ac31 + 2ad42 + 2（3） 当ae = 1 =1时，有ao =2 =2.（如图 3.1-14c）ac41 + 3ad52 + 3在图 3.1-14d 中，当ae = ac11+ n时，参照上述争论结论，请你猜想用n 表示 aoad的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数） .解：依题意可以猜想：当ae = ac11 + n时，有ao = ad22 + n成立.证明过点 d 作 df /be 交 ac 于点 f， q d 是 bc 的中点，f 是 ec 的中点，由 ae =1 可知ae =1 ，ae =2 , ae =2.ac1 + necnao =ae =2.efnaf2 + na

14、daf2 + n想一想，图 3.1-14d 中，如ao =1 ，就ae = .adnac此题中采纳了从特别到一般的思维方法.我们常从一些详细的问题中发觉一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定.数学的进展史就是不断探究的历史.练习 21如图 3.1-15，d 是v abc的边 ab 上的一点，过 d 点作 de/bc 交 ac 于e.已知 ad：db=2： 3，就sv ade: s四边形 bcde等于（）a 2 : 3b 4 : 9c 4 : 5d 4 : 21图 3.1-152如一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是 3: 2 ，就梯形的上、下底

15、长分别是 .3已知：v abc的三边长分别是3，4，5，与其相像的v a ' b ' c ' 的最大边长是 15，求a ' b ' c ' 的面积 sv a ' b 'c ' .4已知：如图 3.1-16，在四边形 abcd 中， e、f、g、h 分别是 ab、bc、cd、da 的中点 .（1） 请判定四边形efgh 是什么四边形，试说明理由；（2） 如四边形 abcd 是平行四边形，对角线ac、bd满意什么条件时， efgh 是菱形？是正方形？图 3.1-165如图 3.1-17,点 c、d 在线段 ab 上， v pc

16、d是等边三角形，（1） 当 ac、cd、db 满意怎样的关系时， v acp v pdb ？（2） 当v acp v pdb 时，求 d apb的度数 .习题 3.1a 组图 3.1-171如图 3.1-18，v abc 中，ad=df =fb，ae=eg=gc，fg=4，就（）a de=1， bc=7bde=2，bc=6cde=3， bc=5dde=2，bc=8图 3.1-182如图 3.1-19， bd、ce 是v abc 的中线， p、q 分别是 bd、ce 的中点，就 pq : bc 等于（）a 1：3b1：4c1：5d1：6图 3.1-193如图 3.1-20， yabcd中， e

17、是 ab 延长线上一点，de 交 bc 于点f，已知 be：ab=2：3， sv bef =4 ，求sv cdf .图 3.1-204如图 3.1-21，在矩形 abcd 中， e 是 cd 的中点，be ac 于 f，过f 作 fg/ab 交 ae 于 g，求证：ac交ag 2 =af .fc .图 3.1-21b 组1如图 3.1-22，已知 v abc 中，ae：eb=1：3，bd：dc=2：1， ad与 ce相交于 f，就 ef +af 的值为（）a 12fcfdb1c 32d2图 3.1-222如图 3.1-23，已知v abc周长为 1，连结 v abc三边的中点构成其次个三角形，

18、再连结其次个对角线三边中点构成第三个三角形， 依此类推，第 2003个三角形周长为（）a 12002b120031c 2 20021d 220033如图 3.1-24，已知 m 为yabcd的边 ab 的中点 ， cm交bd 于点 e，就图中阴影部分的面积与（）y abcd面 积 的比 是a 13b 14c 16d 512图 3.1-244如图 3.1-25，梯形 abcd 中， ad/bc，ef 经过梯形对角线的交点o，且 ef/ad.（1） 求证： oe=of；（2） 求 oe + oe 的值；adbc（3） 求证：1+1=2.adbcef图 3.1-251如图 3.1-26， v abc

19、c 组中， p 是边 ab 上一点，连结 cp.（1） 要 使v a c pv abc， 仍 要 补 充 的 一 个 条 件 是 .（2） 如v acpv abc，且ap:p=b2: ， 就bc:p=_c .图 3.1-262如图 3.1-27，点 e 是四边形 abcd 的对角线 bd 上一点，且（1） 求证： be .adcd .ae ；. bac. bdc. dae .（2） 依据图形的特点，猜想bcde可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.图 3.1-273如图 3.1-28，在 rtv abc中， ab=ac， . a90o ，点 d 为 bc

20、上任一点， df ab 于 f，de ac 于 e，m 为 bc 的中点，试判定v mef 是什么外形的三角形，并证明你的结论.图 3.1-284如图 3.1-29a，ab bd ,cd bd, 垂足分别为 b、d，ad 和 bc 相交于 e， ef bd 于 f，我们可以证明1+1=1成立.abcdef图 3.1-29如将图 3.1-29a 中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b， ab / cd , ad、bc 相交于 e，ef/ab 交 bd于 f，就：（1） ）1+1=1仍成立吗？假如成立，请给出证明；假如不成立，请说明理由；abcdef（2） ） 请找出sv abd , sv bcd

21、 和sv ebd 之间的关系，并给出证明.3.1 相像形练习 11 ddeadx510102设bfx, x，即 bf.bcabx2833abbd5353,bdcm.acdc49abbdabbd4作 cf/ ab 交 ad 于 f ，就cfdc，又afcfaefac 得accf ,.acdc5作eg /ab 交 bc 于 g ，cegcab ,egce , 即abacaccedb ,abegegdfac.efab练习 21 c2 12， 18115 23sabc346,s a ' b' c'654.2514 （ 1 ） 因 为eh /2bd /fg ,所 以 efgh是

22、平 行 四 边 形 ；（ 2 ） 当 acbd 时 ， efgh为 菱 形 ； 当acbd , acbd 时， efgh为正方形 .5（ 1）当习题 3.1a 组cd 2acbd 时，acppdb ；（ 2）apb120 o .1 b2.b3. s cdf94 bf 为直角三角形abc 斜边上的高，b 组oeoeaebeadbcababeobcaeabdedcofbc.1 c2.c3.abf 2affc ，又可证agbf ,ag 2affc .4 （ 1）ad /bc, eoof.（ 2 ）1. （ 3）由（ 2 ）知1ad1bc1oe2efc 组21.1 acapab 或acpb .2bc

23、: pc3 :2 .2（ 1）先证aebadc ，可得 beaecdad；（ 2）adeacb,bcabad .deaeac3连 ad 交 ef 于 o ，连 om ，abc 为等腰直角三角形，且aedf 为矩形，om为 rtamd 斜边的中线， om1 ad1 ef ,mef 为直角三角形. 又可证bmfame ，得 mfme ，故mef 为等腰22直角三角形 .efeffdbf1111114（ 1）成立，1,. （ 2）abcdbdbdabcdefsabds bcds ebd，证略 .3.2 三角形3 21三角形的 “四心”三角形是最重要的基本平面图形，许多较复杂的图形问题可以化归为三角形

24、的问题.图 3.2-1图 3.2-2如图 3.2-1 ，在三角形v abc中，有三条边ab, bc, ca ，三个角行a,b, . c ，三个顶点a, b,c ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例 1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知d、e、f 分别为 v abc 三边 bc、ca、ab 的中点，图 3.2-3求证ad、be、cf 交于一点，且都被该点分成2：1.证明连结 de，设 ad、be 交于点 g，

25、q d 、e 分别为bc、ae 的中点，就de/ab，且de =1 ab ，2v gde v gab，且相像比为 1： 2，ag =2gd , bg =2ge .图 3.2-4设 ad、cf 交于点g ' ，同理可得，ag ' =2g ' d , cg ' =2g ' f .就 g 与 g ' 重合，ad、be、cf 交于一点，且都被该点分成2 :1 .三角形的三条角平分线相交于一点， 是三角形的内 心.三 角 形的内心在三角形的内部， 它到三角形的三边的距离相等 .（ 如 图3.2-5）图 3.2-5例 2已知 v abc的三边长分别为bc =

26、a, ac =b, ab =c，i 为v abc的内心，且 i 在v abc 的边bc、ac、ab上的射影分别为 d、 e、 f，求证：ae =af =b + c -a .2证明作v abc的切点，的内切圆，就 d、e、f分别为内切圆在三边上q ae , af 为圆 的从 同一 点作 的两 条 切线 ，a e =a f，同理， bd=bf，cd=ce.b + c -a =af +bf +ae +ce -bd -cd=af +ae =2af =2 ae图 3.2-6即 ae =af =b + c -a .2例 3如三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知o 为三角形 abc

27、的重心和内心 .求证三角形 abc 为等边三角形 .证明如图，连 ao 并延长交 bc 于 d.q o 为三角形的内心，故ad 平分 d bac ，ab =bd （角平分线性质定理）acdcq o 为三角形的重心， d 为 bc 的中点，即bd=dc.ab = ac1 ，即 ab =ac .同理可得， ab=bc.图 3.2-7v abc 为等边三角形 .三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心肯定在三角 形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图 3.2-8）图 3.2-8例 4求证：三角形的三条高交于一点.已知v abc

28、 中，ad bc于d, be ac于e，ad 与 be 交于 h 点.求证c h a b.证明以 ch 为直径作圆，q ad bc, be ac,. hdc. hec90o ,d、 e 在以 ch 为直径的圆上，. fcb. deh .同 理 ， e 、 d在 以 ab为 直 径 的 圆 上 ， 可 得. bed. bad . bch. bad ，图 3.2-9又 v abd与 v cbf有公共角d b ，. cfb. adb90 o ，即 ch ab .过不共线的三点a、b、c 有且只有一个圆，该圆是三角形abc 的外接圆，圆心 o 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的

29、垂直平分线的交点.练习 11求证：如三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2 （1） 如三角形abc 的面积为s，且三边长分别为a、b、c ，就三角形的内切圆的半径是- ;（ 2）如直角三角形的三边长分别为a、 b、 c （其中 c 为斜边长），就三角形的内切圆的半径是 . 并请说明理由 .3.2.2几种特别的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形abc 中，三角形的内心 i 、重心 g、垂心 h 必定在一条直线上 .例 5在abc 中，abac3, bc2. 求（1） abc 的面积s abc及 ac 边上的高 be ；（2） abc 的内切圆的

30、半径 r ；（3） abc 的外接圆的半径r .解（1）如图，作 adbc 于 d .abac,d 为 bc 的中点，adab2bd 222,图 3.2-10s abc122222.2又 s abc1 acbe , 解得 be242 .3（2）如图， i 为内心，就 i 到三边的距离均为r ，连 ia, ib , ic ，s abcs iabs ibcs iac ，即 221 abr1 bcr1 ca r，222图 3.2-11解得 r2 .2（3）abc 是等腰三角形，外心 o 在 ad 上，连 bo ，就 rtobd 中， odadr, ob2bd 2od 2 ,r222r212 , 解得

31、 r92 .8图 3.2-12在直角三角形 abc 中， d a 为直角，垂心为直角顶点a ，外心o为斜边bc 的中点，内心i在三角形的内部，且内切圆的半径为a,b, c 分别为三角形的三边bc,ca,ab 的长），为什么？该 直 角 三 角 形 的 三 边 长 满 足 勾 股 定 理 ：b + c-2a （其中ac 2 +ab 2 =bc 2 .图 3.2-13例 6如图，在v abc中， ab=ac，p 为 bc 上任意一点 .求证：ap2 =ab 2 -pb .pc .证明：过 a 作 ad bc 于 d.在 rtv abd 中， 在 rtv apd 中，ad 2 =ap2 =ab2 -

32、ad 2 -bd 2 .dp 2 .图 3.2-14ap2 =ab2 -bd 2 +dp2 =ab2 - bd +dp bd -dp.q ab =ac , ad bc ,bd =dc .bd -dp =cd -dp =pc .ap2 =ab 2 -pb .pc .正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的 中心.例 7已知等边三角形abc 和点 p，设点 p 到三边 ab，ac，bc 的距离分别为abc 的高为 h ，h1, h2 , h3 ，三角形“如点 p在一 边bc上 ， 此 时h3 = 0 ，可得结论 ：h1 +h2 +h3 =h. ”请

33、直接应用以 上信息解决以下问题：当（ 1）点 p 在 v abc内（如图 b），（2）点在v abc外如图 c，这两种情形时，上述结论是否仍成立？如成立，请赐予证明；如不成立，（不必证明） .h1 , h2 , h3 与 h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想解（1）当点 p 在 v abc内时，法一如图，过p作b 'c ' 分别 交ab, am, ac 于b ', m', c ' ，由题设知am ' =pd +pe ，而 am ' =am -pf ，图 3.2-16故 pd +pe +pf =am ，即h1 +h2 +h3 = h .法

34、二如图，连结，q sv abc =sv pab +sv pac +sv pbc ，1 bc .am1 ab .pd1 ac .pe1 bc .pf ，2222又 ab =bc =ac ，图 3.2-17am =pd +pe +pf ，即h1 +h2 +h3 = h .（ 2 ） 当 点p在v abc外 如 图 位 置 时 ，h1 +h2 +h3 =h 不成立，猜想：h1 +h2 -h3 = h .留意：当点p 在v abc其它的结论，如外的其它位置时，仍有可 能 得 到图 3.2-18h1 -h2 +h3 =h ， h1 -h2 -h3 =h（如图 3.2-18，想 一 想 为什么？）等 .在

35、解决上述问题时， “法一”中运用了化归的数学思想方法， “法二”中敏捷地运用了面积的方法.练习 21直角三角形的三边长为3，4， x ,就 x = .2等腰三角形有两个内角的和是100°，就它的顶角的大小是 .3满意以下条件的v abc，不是直角三角形的是（）a b2 =a 2 -c2b . c. a. bc 行a :b : . c3: 4 : 5d a : b : c =12 :13: 54已知直角三角形的周长为33 ，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积 .5证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题 3.2a 组1已知：在abc 中， ab=ac，bac

36、120o , ad 为 bc 边上的高，就以下结论中，正确选项（）a ad3 abb ad21 abc adbdd ad22 bd22三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（）a 6b4.5c2.4d 83假如等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 .4已知：a,b, c 是abc 的三条边， a7, b10 ，那么 c 的取值范畴是 ；5如三角形的三边长分别为1、a、8 ，且 a 是整数，就 a 的值是 ；b 组1如图 3.2-19，等边abc 的周长为 12，cd 是边 ab 上的中线， e 是 cb 延长线上一点，且bd=be，就cde的 周长为（

37、）a 643b 18123c 623d 1843图 3.2-192如图 3.2-20，在abc 中，dbc 的度数；cabc2a ， bd 是边 ac上 的 高 ， 求图 3.2-203如图 3.2-21，rtabc,c证： mn=ac ；90o , m 是 ab 的中点，am=an，mn/ac ， 求图 3.2-214如图 3.2-22，在abc 中， ad 平分bac ，ab+bd=ac.求b :c 的值；图 3.2-225如图 3.2-23，在正方形 abcd 中， f 为 dc 的中点， e 为bc 上一点，且 ec =1 bc4，求证：. efa90o .c 组图 3.2-231已知

38、 k1, b2k, ac2k 2 , ack 41，就以 a、b、c 为边的三角形是（）a 等边三角形b等腰三角形c直角三角形d外形无法确定2如图 3.2-24，把abc 纸片沿 de 折叠，当点 a 落在 四 边 形bcde 内部时，就a 与12 之间有一种数量关系 始 终 保持不变，请试着找一找这个规律， 你发觉的规律是 （）a ac 3a12b 2a12d 3a12212图 3.2-243如图 3.2-25，已知 bd 是等腰三角形abc 底角平分线，且 ab=bc+cd，求证： . c90o .图 3.2-254如图 3.2-26，在等腰 rtabc 中c90o ， d 是斜边 ab

39、上任一点， aecd 于 e， bfcd 交 cd 的延长线于f，chab 于 h，交 ae 于 g.求证： bd=cg.图 3.2-263.2 三角形练习 12 s1证略2.（ 1）abc；（ 2）abc.2练习 21 5 或72. 20 o 或 80o3.c4设两直角边长为5.可利用面积证. 习 题 3.2 a 组a ,b ，斜边长为2，就 ab13 ，且 a 2b24 ，解得 ab3 ，s1 ab223 .1 b2. d3. 120o4. 3b 组1 a2.18o3连 bm ，证mabamn .c175.84 在ac上 取 点e ， 使ae=ab， 就a b da e，baed. 又bd

40、=de=ec，cedc ,b :c2 :1.5可证adffce ，因而afd 与cfe 互余，得c 组efa90 o .1 c不妨设 ac ，可得ak 21, ck 21,a2b2c2 ，为直角三角形.2 b3在ab上取e使be=bc，就bcdb，且ae=ed=dc，cbed2aab180oc,c90o.4先 证明acecbf ，得 ce=bf ，再证cgebdf ， 得 bd=cg .3 3 圆33 1 直线与圆，圆与圆的位置关系设有直线 l 和圆心为 o 且半径为 r 的圆，怎样判定直线 l 和圆 o 的位置关系？图 3.3-1观看图 3.3-1，不难发觉直线与圆的位置关系为：当圆心到直线

41、的距离d > r 时，直线和圆相离，如圆 o 与直线l1 ；当圆心到直线的距离d =r 时，直线和圆相切，如圆o 与直线l2 ；当圆心到直线的距离 d <r 时，直线和圆相交，如圆o 与直线l3 .在直线与圆相交时， 设两个交点分别为a、b.如直线经过圆心，就ab 为直径；如直线不经过圆心， 如图 3.3-2，连结圆心 o和 弦 ab 的 中点 m 的线段 om 垂直于这条弦ab .且在 rtv oma 中，oa 为 圆 的 半径 r ， om 为圆心到直线的距离d ， ma 为弦长 ab 的一半，依据勾股定理，有r 2 -d 2 =ab 2.2图 3.3-2当直线与圆相切时，如图3.3-3， pa, pb 为圆 o 的切线，可得pa，poapa. ，且在 rtpoa 中， po 2pa2oa2 .图 3.3-3如图 3.3-4， pt 为圆 o 的切线， pab 为圆 o 的割线，我们可以证得patptb