高考数学圆锥曲线专题复习

1、圆锥曲线一、知识结构1. 方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线c(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线 c 的方程是f(x,y)=0，则点 p0(x0,y0) 在曲线 c 上f(x0,y 0)=0；点 p0(x0,y0)不在曲线 c上f(x0,y0)0两条曲线的交点若曲线 c1，c2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点

2、p0(x0,y0)是 c1，c2的交点 f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点 . 2. 圆圆的定义：点集： m om =r ，其中定点 o为圆心，定长r 为半径 . 圆的方程：(1) 标准方程圆心在 c(a,b) ，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2) 一般方程当 d2+e2-4f0 时，一元二次方程x2+y2+dx+ey+f=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2d,-2e） ，半径是24f-ed22. 配方，将方程x2+y2+dx+ey+

3、f=0化为(x+2d)2+(y+2e)2=44f-ed22当 d2+e2-4f=0 时，方程表示一个点(-2d,-2e); 当 d2+e2-4f0 时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系已知圆心 c(a,b), 半径为 r, 点 m的坐标为 (x0,y0) ，则mc r点 m在圆 c内， mc =r点 m在圆 c 上， mc r点 m在圆 c内，其中 mc =2020b)-(ya)-(x. (3) 直线和圆的位置关系直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i) 判别式法(ii)利用圆心 c(a,b

4、) 到直线 ax+by+c=0 的距离 d=22cbbaaba与半径 r 的大小关系来判定 . 3. 椭圆、双曲线和抛物线基本知识椭圆双曲线抛物线轨迹条件m mf1 + mf2=2a, f1f22a m mf1 - mf2. =2a, f2f2 2a. m mf =点 m到直线 l 的距离 . 圆形标准方程22ax+22by=1(ab0) 22ax-22by=1(a 0,b0) y2=2px(p 0) 顶点a1(-a,0),a2(a,0); b1(0,-b),b2(0,b) a1(0,-a),a2(0,a) o(0,0) 轴对称轴 x=0,y=0 长轴长： 2a 短轴长： 2b 对称轴 x=0

5、,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴 y=0 焦点f1(-c,0),f2(c,0) 焦点在长轴上f1(-c,0),f2(c,0) 焦点在实轴上f(2p，0) 焦点对称轴上曲线性质焦距f1f2=2c，c=b2-a2f1f2=2c, c=b2a2准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外 . x=ca2准线垂直于实轴， 且在两顶点的内侧 . x=-2p准 线 与 焦 点 位 于顶点两侧， 且到顶点的距离相等 . 离心率e=ac,0 e1 e=ac,e 1 e=1 4. 圆锥曲线的统一定义平面内的动点 p(x,y) 到一个定点 f(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l的距离之比是

6、一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点f(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率 . 当 0e1 时，轨迹为椭圆，当e=1 时，轨迹为抛物线当e1 时，轨迹为双曲线5. 坐标变换坐标变换在解析几何中， 把坐标系的变换 ( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 ) 叫做 坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴. 坐标轴的平移公式设平面内任意一点m ，它在原坐标系xoy 中的坐标是9x,

7、y) ，在新坐标系x o y中的坐标是 (x ,y ). 设新坐标系的原点o 在原坐标系 xoy中的坐标是 (h,k) ，则x=x+h x=x -h (1) 或(2) y=y+k y=y -k 公式(1) 或(2) 叫做平移 (或移轴 )公式.中心或顶点在 (h,k) 的圆锥曲线方程见下表. 方程焦点焦线对 称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1 (c+h,k)x=ca2+h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1 (h, c+k)y=ca2+k x=h y=k 双 曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 (c+h,k)=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya

8、-22h)-(xb=1 (h, c+h)y=ca2+k x=h y=k 抛 物线(y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2p+h,k) x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 二、知识点、能力点提示( 一) 曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样

9、求出的曲线方程才能准确无误. 另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标 . 三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程 . 椭圆的简单几何性质. 椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程. 双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程. 抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。四对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3 题(1 个选择题 , 1个填空题

10、 , 1个解答题 ), 共计 22分左右 , 考查的知识点约为20个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点 , 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络 , 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系 , 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合

11、理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 . 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“ 先定形，后定式，再定量” 的步骤 . 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式 根据 “ 形” 设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0). 定量 由题设中的条件找到“ 式” 中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 . 【例题】【例 1】双曲线2224byx=1(bn)

12、的两个焦点 f1、f2，p 为双曲线上一点，|op|5,|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等比数列，则b2=_. 解：设 f1(c,0） 、f2(c,0)、p(x,y),则|pf1|2+|pf2|2=2(|po|2+|f1o|2)2(52+c2), 即|pf1|2+|pf2|250+2c2, 又 |pf1|2+|pf2|2=(|pf1|pf2|)2+2|pf1| |pf2|, 依双曲线定义，有|pf1|pf2|=4, 依已知条件有 |pf1| |pf2|=|f1f2|2=4c216+8c250+2c2,c2317, 又 c2=4+b2317,b235,b2=1. 【例 2】已知圆c1的方程

13、为3201222yx，椭圆c2的方程为12222byaxab0，c2的离心率为22，如果c1与c2相交于a、b两点，且线段ab恰为圆c1的直径，求直线ab的方程和椭圆c2的方程。解：由.,2,22,222222cbcaace得设椭圆方程为. 122222bybx设).1, 2().,().,(2211由圆心为yxbyxa又, 12,12222222221221bybxbybx两式相减，得. 022222122221byybxx又. 1.2.421212121xxyyyyxx得即3xy将得代入, 1232222bybxxy由.3204)(222122121xxxxxxba得.3203722422

14、b解得.82b故所有椭圆方程. 181622yx【例 3】过点 (1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆 c 相交于 a、b 两点，直线y=21x 过线段 ab 的中点，同时椭圆c 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆 c 的方程 . 解法一：由 e=22ac,得21222aba,从而 a2=2b2,c=b. yxc1f2f1oab设椭圆方程为x2+2y2=2b2,a(x1,y1),b(x2,y2)在椭圆上 . 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,.)(221212121y

15、yxxxxyy设 ab 中点为 (x0,y0),则 kab=002yx, 又(x0,y0)在直线 y=21x 上， y0=21x0, 于是002yx=1,kab=1, 设 l 的方程为 y=x+1. 右焦点 (b,0)关于 l 的对称点设为 (x,y),由点 (1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=89,1692a. 所求椭圆 c 的方程为2291698yx=1,l 的方程为 y=x+1. 解法二：由 e=21,22222abaac得,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆 c 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x1), 将 l 的方程代入 c 的方程，得 (

16、1+2k2)x24k2x+2k22b2=0, 则 x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2212kk. 直线 l：y=21x 过 ab 的中点 (2,22121yyxx),则2222122121kkkk, 解得 k=0，或 k=1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 f(c,0)关于直线 l 的对称点就是f 点本身，不能在椭圆 c 上，所以 k=0 舍去，从而 k=1，直线 l 的方程为 y=(x1),即 y=x+1,以下同解法一 . 解法 3：设椭圆方程为) 1( ) 0(12222babyax直线l不平行于y轴，否则ab中点在x

17、轴上与直线abxy过21中点矛盾。故可设直线)2()1(xkyl的方程为bay=12xoyxf2f1)()(2211yxbyxa，设，22222212bakakxx知：21221xxkk，212222222akbakkk，2122kabkk，22e又122)(22222222eacaabk，xyl1的方程为直线，222ba此时，02243)3(22bxx化为方程，0)13(8)1(241622bb33b，)4(22222byxc的方程可写成：椭圆，2222bbac又，) 0( ，右焦点bf，)(00yxlf，的对称点关于直线设点，则byxbxybxy112121000000，得：在椭圆上，代入

18、，又点)4()11(b22)1(21bb，3343b，1692b，892a所以所求的椭圆方程为：11698922yx【例 4】如图，已知 p1op2的面积为427，p 为线段 p1p2的一个三等分点，求以直线 op1、op2为渐近线且过点p 的离心率为213的双曲线方程 . 解：以 o 为原点， p1op2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222byax=1(a0,b0) 由 e2=2222)213()(1abac，得23ab. 两渐近线op1、op2方程分别为y=23x 和 y=23x设点 p1(x1,23x1),p2(x2,23x2)(x10,x20), 则由点

19、 p 分21pp所成的比 =21pppp=2, 得 p 点坐标为 (22,322121xxxx), oyxpp2p1又点 p 在双曲线222294ayax=1 上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1, 即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2即 x1x2=29由、得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为9422yx=1. 【例 5】过椭圆 c：) 0(12222babxay上一动点 p引圆 o：x2+y2=b2的两条切线 pa、pb，a、b为切点，直线ab与x轴，y轴分别交于m 、n两点。 (1) 已知 p点坐标为 (x0，y0) 并且x0y00

20、，试求直线ab方程 ； (2) 若 椭 圆 的 短 轴 长 为8 ， 并 且1625|2222onboma，求椭圆 c的方程； (3) 椭圆 c上是否存在点 p，由 p向圆 o所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1) 设a(x1，y1) ，b(x2，y2) 切线 pa：211byyxx，pb：222byyxxp点在切线 pa、pb上，2020220101byyxxbyyxx直线ab的方程为)0(00200yxbyyxx(2) 在直线ab方程中，令y=0，则 m(02xb，0)；令x=0，则 n(0，02yb) 1625)(|22220220222222b

21、abxaybaonboma2b=8 b=4 代入得a2 =25, b2 =16 椭圆 c方程：)0(1162522xyxy（注：不剔除xy0，可不扣分）(3) 假设存在点 p(x0，y0) 满足 papb，连接 oa、ob由|pa|=|pb| 知，四边形 paob为正方形， |op|=2|oa| 220202byx又 p点在椭圆 c上22202202baybxa由知x2222202222220,)2(babaybababab0 a2b20 (1) 当a22b20，即a2b时，椭圆 c上存在点，由p 点向圆所引两切线互相垂直；(2) 当a22b20，即ba0 设x1,x2为方程 *的两根，则22

22、1316kkmxx故 ab中点 m的坐标为 (2313kkm，231km) 线段 ab的垂直平分线方程为：)313)(1(3122kkmxkkmy将 d(0， 1)坐标代入，化简得：4m=3k21 故 m 、k 满足134031222kmkm，消去 k2得： m24m0 解得： m4 又 4m=3k211 m 41故 m),4()0,41(. 【直线与圆锥曲线练习】一、选择题1 斜率为 1的直线 l 与椭圆42x+y2=1 相交于 a、 b 两点， 则|ab|的最大值为 ( ) a.2 b.554c.5104d.51082抛物线 y=ax2与直线 y=kx+b(k0) 交于 a、b 两点，且此

23、两点的横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是x3,则恒有 ( ) a.x3=x1+x2 b.x1x2=x1x3+x2x3c.x1+x2+x3=0 d.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题3已知两点 m(1，45)、n(4，45)，给出下列曲线方程：4x+2y1=0, x2+y2=3,22x+y2=1,22xy2=1,在曲线上存在点p 满足 |mp|=|np|的所有曲线方程是 _. 4正方形 abcd 的边 ab 在直线 y=x+4 上， c、d 两点在抛物线y2=x 上，则正方形 abcd 的面积为 _. 5在抛物线 y2=16x 内，通过点 (2，1)且在此点被平分的

24、弦所在直线的方程是 _. 三、解答题6已知抛物线y2=2px(p0),过动点 m(a,0)nbaoyxf且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点a、b，且 |ab| 2p. (1)求 a 的取值范围 . (2)若线段 ab 的垂直平分线交x 轴于点 n，求nab 面积的最大值 . 7已知中心在原点， 顶点 a1、a2在 x 轴上，离心率 e=321的双曲线过点p(6，6). (1)求双曲线方程 . (2)动直线 l 经过 a1pa2的重心 g，与双曲线交于不同的两点m、n，问：是否存在直线 l,使 g 平分线段 mn，证明你的结论 . 8已知双曲线c 的两条渐近线都过原点，且都以点a

25、(2，0)为圆心， 1 为半径的圆相切，双曲线的一个顶点a1与 a 点关于直线 y=x 对称 . (1)求双曲线 c 的方程 . (2)设直线 l 过点 a，斜率为 k,当 0k1 时，双曲线c 的上支上有且仅有一点 b 到直线 l 的距离为2，试求 k 的值及此时 b 点的坐标 . 直线与圆锥曲线参考答案一、 1.解析：弦长 |ab|=55422t5104.答案： c 2.解析：解方程组bkxyaxy2,得 ax2kxb=0,可知 x1+x2=ak,x1x2=ab,x3=kb,代入验证即可 .答案： b 二、 3.解析：点 p 在线段 mn 的垂直平分线上，判断mn 的垂直平分线于所给曲线是

26、否存在交点.答案：4.解析：设 c、d 所在直线方程为y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|cd|的长，利用 |cd|的长等于两平行直线y=x+4 与 y=x+b 间的距离， 求出 b 的值，再代入求出 |cd|的长 . 答案： 18 或 50 5.解析：设所求直线与y2=16x 相交于点 a、b，且 a(x1,y1),b(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得， (y1+y2）(y1y2)=16(x1x2). 即21212116yyxxyykab=8. 故所求直线方程为y=8x15. 答案： 8xy15=0 三、 6.解： (1)设直线 l 的方程为： y=xa,代入抛物线方程得 (xa)2=2px,即 x22(a+p)x+a2=0 |ab|=224)(42apa2 p.4ap+2p2 p2,即 4ap p2又 p0,a 4p. (2)设 a(x1,y1