高考数学排列组合与二项式定理

1、排列组合和二项式定理基础知识. 两个基本原理：加法原理、乘法原理（正确地分类与分步是学好这一章的关键）加法原理与乘法原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数。它们的区别在于：加法原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；乘法原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。说明：教学中要强调分类与分步的区别，因为学生易混淆。. 排列（1）排列、排列数定义（2）排列数公式：mnp =)!(!mnn=n(n1)(n m+1) （3）全排列公式：nnp =n! 组合（1）组合、组合数定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式： cnm=)!( !

2、mnmn=12)1(1)m-(n1)-n(mmn；（3）组合数的性质cnm=cnn-m；rnrnrnccc11；说明：排列与组合问题的共同点是要“从n 个不同元素中，任取m个元素” ；不同点是对于所取出的 m个元素，前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不管怎样的顺序并成一组”。另外， 由于学生经常用计算器计算排列数和组合数，容易忽视排列数公式和组合数公式，所以应做一些简单的带字母的排列数和组合数问题，以熟练公式，打牢基础。二项式定理（1）二项式展开公式： (a+b)n=cn0an+cn1an-1b+cnkan-kbk+cnnbn；二项展开式有以下特征： （应再次强调）a、它有 n+1

3、 项; b、各项的次数和都等于二项式的次数n; c 、字母 a 按降幂排列，次数由n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由0 递增到 n; d、各项的系数依次为0nc,1nc,2nc, ,nnccn0+cn1+cnn=2n；cn0-cn1+(-1)ncnn=0，即 cn0+cn2+cn4+=cn1+cn3+=2n-1；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1 项的通项公式是： tk+1=cnkan-kbk；教学中应强调，这个通项公式是针对(a+b)n这个标准形式而言的，对于(b+a)n的展开式 ,tk+1=cnkbn-kak对于的 (a-b)n展开式 tk+1=cnkan-k(-b)k 这表

4、明它们与标准形式的通项公式是有区别的。教学中应强调，由于其通项一般记为1rt,r不是项数 , r+1才是项数；反过来，当已知项数时，将它减去1，才得到 r 。（二）主要思想方法 解排列组合应用题的基本思路： 乘法原理与加法原理使用方法有两种：单独使用；联合使用。 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合问题的关键一步 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；. 解排列组合题的基本方法： 对于带限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；二、应知应会知识1

5、会根据两个原理解决有关分配决策的问题（要正确区分分类和分步）(1) 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有（）a.15 种b.8 种c.53种d.35种(2) 四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，则不同的分配方案有_种(3) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2 人承担，乙、丙各需1 人承担，从 10 人中选派 4人承担这三项任务，不同的选法共有（）a. 1260 种b. 2025 种c. 2520 种d. 5040 种2会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题（1）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起

6、，则不同的排法种数共有（）a12 种b20 种c24 种d48 种（2）5 人站成一排，其中 a不在左端也不和 b 相邻的排法种数为（）a48b54c60d66 （3）用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求1 和 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答）3.会求某些元素按指定顺序排列的问题（1）七个人排成一行，则甲在乙左边（不一定相邻）的不同排法数有_种（2）某工程队有 6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行， 又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安

7、排这 6 项工程的不同的排法种数是 _. （用数字作答）（3）今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分， 将这 9 个球排成一列有 _种不同的方法（用数字作答）. 4.会解与平均分组和非平均分组有关的问题（1）从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少有甲型与乙型电视机各1 台，则不同的取法共有（）a.140种b.84 种c.70 种d.35 种（2） 将 9 个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、 乙分在同一组， 则不同分组方法的种数为 （）a70 b140 c280 d840 5.会解其它有限制条件的排列组合问题(要注意使用最常用、最本原的方法-列举法 )

8、（1）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( ) a. 36 个b. 24 个c. 18 个d. 6 个（2）电视台连续播放6 个广告，其中含4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. （3）以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（）a34cb1387c cc1387c c-6d4812c（4）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）a. 6 种b. 9 种c. 11种d. 23种（5）设有编号为 1、2、3

9、、4、5 的五个球和编号为1、2、3、4、5 的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样投放的方法总数为 ( )a.20 b.30 c.60 d.120 （6）用六种不同颜色，给图中a、b、c、d、四块区域涂色，允许同一种颜色涂不同区域，但相邻区域不能涂同一种颜色，共有_种不同的涂法 . 6.会将所给的二项式展开或合并(1)计算:) 1(5) 1(10)1(10) 1(5)1(2345xxxxx_. (2)设nn,则12321666nnnnnncccc_. 7.会求二项式的展开式的指定项（要注意区分“第n项”、“第n项的系数”

10、、“第n项的二项式系数”等概念的不同 ;会灵活运用二项式系数的性质解题）(1)若32()nxx展开式中含3x的项是第 8 项，则展开式中含1x的项是（）a第 8 项b第 9 项c第 10 项d第 11 项(2)若521x展开式中的第 2 项小于第 1项，且第 2 项不小于第 3 项，则实数 x 的取值范围是（）a. x101b. 101x0 c. 41x101d. 41x0a b c d (3) 设 k=1,2,3,4,5, 则(x+2)5的展开式中kx的系数不可能是( c) a . 10 b . 40 c . 50 d . 80 (4)在（1x）（ 1x）2（1x）6的展开式中， x2项的系

11、数是.（用数字作答） . (5)已知5( cos1)x的展开式中2x的系数与45()4x的展开式中3x的系数相等，则 cos_(6)843)1()2(xxxx的展开式中整理后的常数项等于. (7)10)31(xx的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是a. 0b. 2c. 4d. 6 8.会求展开式的系数和，能正确使用赋值法解题(1) 如果3213nxx的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是（）a. 7 b. 7c. 21 d. 21(2)在 （x2）2006的二项展开式中， 含 x 的奇次幂的项之和为s， 当 x2时，s 等于 （）a.23008b.-23008c.2300

12、9d.-23009 (3) 若1021001210(2)xaa xa xa x，则则01210aaaa= _; 1210aaa=_; 0123910aaaaaa=_; 8a=_. 课后作业一、选择题 （每小题有四个选项，只有一个是正确的，共40 分）1某公司员工义务献血，在体检合格的人中，o 型血的有 10人，a 型血的有 5 人，b 型血的有 8 人，ab型血的有 3 人，从四种血型的人中各选1 人去献血，不同的选法种数为( d ) a、26 b、300 c、600 d、1200 2nn*，则（ 20-n）(21-n)(100-n)等于（ c）a80100nabnna20100c81100

13、nad8120 na3、设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4 条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应（d ）a、从东边上山b、从西边上山c、从南西上山d、从北边上山4、在(1x)5(1x)6的展开式中，含 x3的项的系数是( c ) a、5 b、 5 c、10 d、10 5、有 4 名男生 3 名女生排成一排，若3 名女生中有 2 名站在一起，但3 名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有（ a ）a、2880 b、3080 c、3200 d、3600 6若4234012341xaa xa xa xa x ，则1234aaaa的值为( b ) a0 b15 c16 d

14、17 7从 3 名男生和 2名女生中选出 3 名代表去参加辩论比赛，则所选出的3 名代表中至少有 1名女生的选法共有( a ) a9种b10种c12种d20种8三张卡片的正反面上分别写有数字0 与 2，3 与 4，5与 6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为( b) a 36 b40 c44 d48 9、123xx展开式中含x的正整数次幂的项共有（c）（a）1 项（b）2 项（c）3 项（d）4 项10、从 6 人中选 4 人分别去北京，上海，广州，重庆四个城市游览，每人只去一个城市游览，但甲，乙两人都不去北京，则不同的选择方案有（ b）a、300种b、240种c、144 种d、96 种二、填空题 （每小题 4分，共 20分）11、在10)(ax的展开式中，7x的系数是 15，则实数a= -0.5 ；12、310(1)(1)xx的展开式中，5x的系数是207 ； （用数字作答）13、3 名老