高考数学知识讲析：12种典型排列组合问题的解法归类

1、高考数学知识讲析： 12 种典型排列组合问题的解法归类相邻问题捆绑法所 谓 “ 捆 绑 法 ” ， 就 是 在 解 决 对 于 某 几 个 元 素 相 邻 的 问 题 时 ， 可 整 体 考 虑将 相 邻 元 素 视 作 一 个 “ 大 ” 元 素 。相离问题插空法不 相 邻 问 题 是 要 求 某 些 元 素 不 能 相 邻 ， 由 其 它 元 素 将 它 们 隔 开 。 此 类 问 题可 以 先 将 其 它 元 素 排 好 ， 再 将 所 指 定 的 不 相 邻 的 元 素 插 入 到 它 们 的 间 隙 及 两 端位 置 ， 故 称 插 空 法 。定序问题缩倍法在 排 列 问 题 中 限

2、 制 某 几 个 元 素 必 须 保 持 一 定 顺 序 称 为 定 序 问 题 。 这 类 问 题用 缩 小 倍 数 的 方 法 求 解 比 较 方 便 快 捷 。标号排位问题分步法把 元 素 排 在 指 定 号 码 的 位 置 上 称 为 标 号 排 位 问 题 。 求 解 这 类 问 题 可 先 把 某个 元 素 按 规 定 排 放 ， 第 二 步 再 排 另 一 个 元 素 ， 如 此 继 续 下 去 ， 依 次 即 可 完 成 。有 序 分 配 问 题 逐 分 法有 序 分 配 问 题 是 指 把 元 素 按 要 求 分 成 若 干 组 ， 常 采 用 逐 步 下 量 分 组 法 求

3、 解 。多元问题分类法元 素 多 ， 取 出 的 情 况 也 多 种 ， 可 按 结 果 要 求 ， 分 成 互 不 相 容 的 几 类 情 况 分别 计 算 ， 最 后 总 计 。交叉问题集合法某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集 ， 可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 的 公 式 ：来 求 解 。定 位 问 题 优 限 法所 谓 “ 优 限 法 ” ， 即 有 限 制 条 件 的 元 素 （ 或 位 置 ） 在 解 题 时 优 先 考 虑 。例 8、 计 划 展 出 10 幅 不 同 的 画 ， 其 中 1 幅 水 彩 画 、 4 幅 油 画 、 5 幅 国

4、画 ，排 成 一 行 陈 列 ， 要 求 同 一 品 种 的 画 必 须 连 在 一 起 ， 并 且 水 彩 画 不 放 在 两 端 ， 那么 不 同 的 陈 列 方 式 有 （）a. b. c. d. 【 解 析 】 先 把 3 种 品 种 的 画 看 成 整 体 ， 而 水 彩 画 不 能 放 在 头 尾 ， 故 只 能 放在 中 间 ，则 油 画 与 国 画 有种 放 法 。再 考 虑 油 画 之 间 与 国 画 之 间 又 可 以 各 自 全排 列 。 故 总 的 排 列 的 方 法 为种 ， 故 选 d。多 排 问 题 单 排 法把 元 素 排 成 几 排 的 问 题 ， 可 归 结

5、 为 一 排 考 虑 。例 9、 两 排 座 位 ， 第 一 排 有 3 个 座 位 ， 第 二 排 有 5 个 座 位 ， 若 8 名 学 生 入座 （ 每 人 一 座 位 ） ， 则 不 同 的 坐 法 种 数 为 （）a. b. c. d. 【 解 析 】 此 题 分 两 排 坐 ， 实 质 上 就 是 8 个 人 坐 在 8 个 座 位 上 ， 故 有种 坐法 ， 所 以 选 d。至 少 问 题 间 接 法含 “ 至 多 ” 或 “ 至 少 ” 的 排 列 组 合 问 题 ， 通 常 用 分 类 法 。例 10 、从 4 台 甲 型 和 5 台 乙 型 电 视 机 中 任 意 取 出

6、3 台 ，其 中 至 少 要 甲 型 与乙 型 电 视 机 各 一 台 ， 则 不 同 的 取 法 共 有 （） 种a. 140 b. 80 c. 70 d. 35 【 分 析 】 本 题 所 用 的 解 法 是 间 接 法 ， 即 排 除 法 （ 总 体 去 杂 ） ， 适 用 于 反 面情 况 明 确 且 易 于 计 算 的 情 况 。【 解 析 】 在 被 取 出 的 3 台 中 ， 若 不 含 甲 型 或 不 含 乙 型 的 抽 取 方 法 均 不 合 题意 ， 故 符 合 题 意 的 取 法 有=70 种 ， 选 c。选 排 问 题 先 取 后 排 法例 11 、 四 个 不 同 的

7、 小 球 放 入 编 号 为 1， 2， 3， 4 的 四 个 盒 子 中 ， 则 恰 有 一个 空 盒 的 放 法 共 有 _ 种 （ 用 数 字 作 答 ） 。分 析 ：这 是 一 道 排 列 组 合 的 混 合 应 用 题 目 ，这 类 问 题 的 一 般 解 法 是 先 取（ 组合 ）后 排（ 排 列 ）。本 题 正 确 求 解 的 关 键 是 把 四 个 小 球 中 的 两 个 视 为 一 个 整 体 ，如 果 考 虑 不 周 ， 就 会 出 现 重 复 和 遗 漏 的 错 误 。【 解 析 】 先 从 四 个 小 球 中 取 两 个 放 在 一 起 ，种 不 同 的 取 法 ； 再

8、 把 取 出 的两 个 小 球 与 另 外 两 个 小 球 看 作 三 堆 ， 并 分 别 放 入 四 个 盒 子 中 的 三 个 盒 子 中 ， 有种 不 同 的 放 法 。 依 据 分 步 计 数 原 理 ， 共 有种 不 同 的 方 法 。部 分 符 合 条 件 淘 汰 法例 12 、四 面 体 的 顶 点 及 各 棱 中 点 共 有 10 个 点 ，在 其 中 取 4 个 不 共 面 的 点 ，不 同 的 取 法 共 有 （）a. 150种b. 147种c. 144种d. 141种【 分 析 】 在 选 取 总 数 中 ， 只 有 一 部 分 符 合 条 件 ， 可 从 总 数 中 减 去 不 符 合 条件 的 个 数 ， 即 为 所 求 。【 解 析 】10 个 点 中 取 4 个 点 共 有种 取 法 ，其 中 同 一 侧 面 内 的 6 个 点 中 任取 4 个 点 必 共 面 ， 这 样 的 面 共 有 4 个 ； 又 同 一 条 棱 上 的 3 个