高考极坐标和参数方程知识题型总结

1、高考极坐标和参数方程知识题型总结一、坐标系1极坐标系的概念在平面上取一个定点o叫做极点；自点o引一条射线ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向为正方向) ，这样就建立了一个极坐标系( 如图) 设m是平面上的任一点，极点o与点m的距离|om| 叫做点m的极径，记为；以极轴ox为始边，射线om为终边的xom叫做点m的极角，记为. 有序数对(，) 称为点m的极坐标，记作m(，) 2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设m是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y

2、) 和(，) ，则xcos，ysin或2x2y2，tanyx(x0).3圆的极坐标方程若圆心为m(0，0) ，半径为r的圆方程为220cos(0) 20r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1) 当圆心位于极点，半径为r：r；(2) 当圆心位于m(a,0)，半径为a：2acos；(3) 当圆心位于( ,)2m a，半径为a：2asin.4直线的极坐标方程若直线过点m(0，0) ，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin() 0sin(0) 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1) 直线过极点：0和0；(2) 直线过点m(a,0)且垂直于极轴：cosa；(3) 直线过( ,)2m b且平行于极轴：

3、sinb.二、参数方程1. 直线的参数方程若直线过(x0,y0), 为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数 ). 这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.2. 圆的参数方程若圆心在点m0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为02.3. 椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点m0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为0t2.题型一：极坐标与直角坐标的互化方法总结：进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tanyx(x0)例 1、在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为tytx13（t为参数），以o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极

4、坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线c的极坐标方程为0cos2.（） 把曲线c的极坐标方程化为普通方程；（）求直线l与曲线c的交点的极坐标 （规定：20,0）.例 2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线c的极坐标方程为2cos2sin，它在点22,4m处的切线为直线l.（1）求直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与2214yx的交点为p1，p2，求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.例 3在直角坐标系xoy中，曲线c的方程为223425xy. 以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线c的极坐标方程；例 4.在直

5、角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为2221141txttyt，（t为参数）以坐标原点o为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为2cos3 sin110求c和l的直角坐标方程题型二、参数方程与普通方程的互化方法总结：1. 参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法，常用的消参方法有: 代入消元法 ; 加减消元法 ; 恒等式 ( 三角的如sin2cos21 或代数的 ) 消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.2. 普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的

6、关系比较明显且关系相对简单; 当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值. 一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数 ; 与直线有关的常选用直线的倾斜角、 斜率、截距作为参数 ; 与实践有关的问题,常取时间作为参数 . 此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标( 纵坐标 ) 作为参数.3. 常见的参数方程直线的参数方程若直线过(x0,y0), 为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数 ). 这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.圆的参数方程若圆心在点m0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为02.椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点m0(x0,y0),相应的椭圆参数

7、方程为0t2.例 1 、将下列参数方程化为普通方程(1)x1t，y1tt21(t为参数 ) ；(2)x2sin2，y1cos2(为参数 ) 例 2、将下列参数方程化为普通方程(1)x3k1k2，y6k21k2(k为参数 ) ；(2)x1sin2，ysincos(为参数 ) 例 3. 在 平 面直 角 坐 标 系xoy中 ， 曲线1c：22212xtyt（t是 参 数）， 曲 线2c：2 cossinxy（是参数），若曲线1c与2c相交于a，b两个不同点，则|ab|=_.例4 、 在 直 角 坐 标 系xoy中 ， 已 知 曲 线1c、2c的 参 数 方 程 分 别 为1c：2cos3sinxy

8、( 为参数），2c：1cossinxtyt(t为参数）例 5、在平面直角坐标系xoy中，曲线1c的参数方程为22cos,2sinxy(为参数 ) ，曲线2c的参数方程为23 ,12xtyt(t为参数 ) 求曲线12,c c的普通方程；题型三、直线参数方程“ t ”的几何意义1.经过点 p(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为为参数）ttyytxx(sincos00若 a，b为直线 l 上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段 ab的中点为 m ，点m所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1) t0=t1t22；(2)| pm |=| t0|=t1t22；(3)| ab

9、 |=| t2t1| ；(4)| pa | | pb |=| t1t2|（5）0,0,4)(212121212212121ttttttttttttttpbpa当当【注意】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1 时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t | 是直线上任一点 m (x，y)到 m0( x0，y0)的距离，即|m0m |=| t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t，则弦长12ltt；2.解题步骤第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步： 将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于 t 的一元二次方程：02cbtat第三步：韦达定理：acttab

10、tt2121,第四步：选择公式代入计算。例 1：已知直线 l ：x532t ，y312t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为 2cos.(1) 将曲线 c的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点 m的直角坐标为(5， 3)， 直线 l 与曲线 c的交点为 a， b， 求| ma | | mb |的值 例2在 直 角 坐 标 系xoy中 ， 已 知 曲 线1c、2c的 参 数 方 程 分 别 为1c：2cos3sinxy( 为参数），2c：1cossinxtyt(t为参数）（1）求曲线12,c c的普通方程；（2）已知点1,0p，若曲线1c与

11、曲线2c交于,a b两点，求papb的取值范围例 3在平面直角坐标系xoy中，曲线1c的参数方程为22cos,2sinxy(为参数 ) ，曲线2c的参数方程为23 ,12xtyt(t为参数 ) （1）求曲线1c的普通方程；（2）若曲线1c与曲线2c交于p，q两点，且2, 1a，求11apaq的值.例 4在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为3cos ,1sinxy（为参数） . 以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0.（1）求曲线c的极坐标方程，（2）设直线l与曲线c相交于不同的两点12,p p，求1211opop的取值范围.例 5. 在直角坐标系xo

12、y 中，曲线 c 的参数方程为2cos4sinxy，（ 为参数），直线l 的参数方程为1cos2sinxtyt，（t为参数）（1）求 c 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 c 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2) ，求 l 的斜率题型四、面积最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题 点到线的最值问题例 1、在平面直角坐标系xoy 中，圆 c的参数方程为， （t为参数），在以原点 o为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，a，b 两点的极坐标分别为（1）求圆 c的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点 p是圆 c上任一点，求 pab 面积的最小值例 2

13、、在平面直角坐标系xoy中，圆 c的参数方程为， （t为参数），在以原点 o为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，a，b 两点的极坐标分别为（1）求圆 c的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点 p 是圆 c上任一点，求 pab 面积的最小值例 3、在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1c的极坐标方程为cos4（1）m为曲线1c上的动点，点p在线段om上，且满足| | 16omop，求点p的轨迹2c的直角坐标方程；（2）设点a的极坐标为(2,)3，点b在曲线2c上，求oab面积的最大值例 4、在平面直角坐标系xoy中，

14、圆c的参数方程为x52cost，y32sint(t为参数 ) ，在以原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为22cos4 1.(1) 求圆c的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2) 设直线l与x轴，y轴分别交于a，b两点，点p是圆c上任一点，求a，b两点的极坐标和pab面积的最小值题型五、直线与两曲线分别相交，求交点间的距离常采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2 个交点的极坐标，利用极径相减即可。例 1、在直角坐标系xoy中，曲线 c1的参数方程为（其中为参数） ，曲线 c2： （x1）2+y2=1，以坐标原点 o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求

15、曲线 c1的普通方程和曲线 c2的极坐标方程；（）若射线=（0）与曲线 c1，c2分别交于 a，b 两点，求|ab|例 2、已知直线l的参数方程为14232xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2cos（1）求曲线c的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（2） 若直线6r与曲线c交于点a（不同于原点） ， 与直线l交于点b， 求ab的值题型六、距离的最值(“参数法”)常考两种题型1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题常用方法：“参数法”设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设代公式：利用点到线的距离公式辅助角

16、：利用三角函数辅助角公式进行化一例 1、1c的普通方程为2213xy，2c的直角坐标方程为40 xy，求1c上的点 p到2c上点 q的最小距离分析：设点 p 的直角坐标为 ( 3cos ,sin)（直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）因为2c是直线，所以 |pq 的最小值即为 p到2c的距离( )d的最小值，|3cossin4|()2 |sin()2 |32d.当时）（13sin即当2()6kkz时，( )d取得最小值，最小值为2，此时p的直角坐标为3 1(,)2 2.例 2、在直角坐标系 xoy中，曲线1c的参数方程为3cos()sinxy为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建

17、立极坐标系，曲线2c的极坐标方程为sin()2 24（i ）写出1c的普通方程和2c的直角坐标方程；（ii ）设点 p 在1c上，点 q在2c上，求pq的最小值及此时 p 的直角坐标例 3、【2017 年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参考方程为82xtty（t为参数），曲线c 的参数方程为2222xsys（ s为参数）设p 为曲线 c上的动点，求点p 到直线 l 的距离的最小值例 4、在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为3cos ,sin ,xy（为参数），直线l的参数方程为4 ,1,xattyt（ 为参数）（1）若1a，求c与l的交点坐标；（2）若c上的点到l

18、距离的最大值为17 ，求a例5、在极坐标系中，已知两点3,2,42ab，直线l的方程为sin34（1）求a，b两点间的距离；（ 2）求点b到直线l的距离例 6、在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为2221141txttyt，（t为参数）以坐标原点o为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为2cos3sin110（1）求c和l的直角坐标方程；（2）求c上的点到l距离的最小值题型七、有关圆的题型一：圆与直线的位置关系 （圆与直线的交点个数问题）- 利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:rd个交点；相切， 1:rd个交点

19、；相交， 2:rd用圆心（x0,y0）到直线 ax+by+c=0的距离2200bacbyaxd，算出 d，在与半径比较。二：圆上的点到直线的最值问题方法：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线 ax+by+c=0 的距离2200bacbyaxd第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：rddmax，rddmin相切、相交：rddmaxmin0d三：直线与圆的弦长问题弦长公式222drl，d是圆心到直线的距离弦长公式21ttl“直线参数方程的几何意义”例 1、以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点p的直角坐标为 (1,2) ，点c的极坐标为3，2 ，若直线l

20、过点p，且倾斜角为6，圆c以点c为圆心，3 为半径(1) 求直线l的参数方程和圆c的极坐标方程；(2) 设直线l与圆c相交于a，b两点，求|pa| |pb|.例 2、已知曲线c的参数方程是xcos，ymsin(为参数 ) ，直线l的参数方程为x155t，y4255t(t为参数 ) (1) 求曲线c与直线l的普通方程；(2) 若直线l与曲线c相交于p，q两点，且|pq| 4 55，求实数m的值例 3、在极坐标系中，圆c的圆心为c2，3 ，半径为2. 以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x132t，y312t(t为参数 ) (1) 求圆c的极坐标

21、方程；(2) 设l与圆的交点为a，b，l与x轴的交点为p，求|pa| |pb|.例 4、已知直线l：x532t，y312t(t为参数 ) 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程2cos.(1) 将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点m的直角坐标为 (5，3)，直线l与曲线c的交点为a，b，求|ma| |mb| 的值例 5、平面直角坐标系xoy中，曲线c：(x1)2y21. 直线l经过点p(m,0)，且倾斜角为6. 以o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1) 写出曲线c的极坐标方程与直线l的参数方程；(2) 若直线l与曲线c相交于a，b两点，且|p

22、a| |pb| 1，求实数m的值综合练习题：1、在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为3cos,1sinxy（为参数） . 以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0.（1）求曲线c的极坐标方程，（2）设直线l与曲线c相交于不同的两点12,p p，求1211opop的取值范围.2、在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为22212xtyt（t为参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241sin.（1）求直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程；（2）设p（0， - 1） ，直线l与c的交点为m，n，线段mn的中点为q，求opoq.3、在平面直角坐标系中，将曲线1c向左平移2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2c，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1