初高中衔接相关知识点

1、学习必备欢迎下载初高中连接（中学可以提前学习的高中学问）高中数学必修 1 学问点（1）集合的概念第一章集合与函数概念【1.1.1 】集合的含义与表示集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法n 表示自然数集，n或 n表示正整数集，z 表示整数集，q 表示有理数集，r 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 m 的关系是 am ，或者 am ，两者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： x | x 具有的性质 ，其中 x 为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦

2、恩图来表示集合.（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 .（ 1）函数的概念1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念设 a 、 b 是两个非空的数集，假如依据某种对应法就f ，对于集合a 中任何一个数x ，在集合 b中都有唯独确定的数f x 和它对应， 那么这样的对应 （包括集合a ，b 以及 a 到 b 的对应法就f ）叫做集合a 到 b 的一个函数，记作f : ab 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同，且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数

3、，且ab ，满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 a, b ；满意axb 的实数 x 的集合叫做开区间，记做a,b ；满意 axb ，或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 a, b ， a, b ；满意 xa , xa, xb, xb 的实数 x 的集合分别记做 a , a, b, b 留意： 对于集合 x | axb 与区间 a, b ，前者 a 可以大于或等于b ，而后者必需ab 学习必备欢迎下载（ 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原就： f x 是整式时，定义域是全体实数 f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时，定义域

4、是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 ytan x 中， xkkz 2零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时，就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 如已知f x 的定义域为 a,b ，其复合函数f g x的定义域应由不等式ag xb 解出对于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，仍要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和

5、求函数值域的方法基本上是相同的事实上，假如在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数，我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数yf x可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y0 ，就在a y0 时，由于x, y 为实数，故必需有b2 y4a yc y0 ，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换

6、元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（ 5）函数的表示方法【1.2.2 】函数的表示法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种学习必备欢迎下载解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 a 、 b 是两个集合，假如依据某种对应法就f ，对于集合a 中任何一个元

7、素，在集合b 中都有唯独的元素和它对应，那么这样的对应 （包括集合a ， b 以及 a 到 b 的对应法就f ）叫做集合a到 b 的映射，记作f : ab 给定一个集合a 到集合 b 的映射，且 aa, bb 假如元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象（ 1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值定义图象判定方法假如对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 , 当 x1<x2时，都yy=fxfx2 （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性有 fx

8、 1<fx2 ， 那 么 就 说函数的单调性 fx在这个区间上是 增函数假如对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、x2 ，当 x1<x2时，都fx1 ox1x 2 xyy=fxfx 1fx2 （ 3）利用函数图象 （在某个区间图象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象 （在有 fx 1>fx2 ， 那 么 就 说 fx在这个区间上是 减函数ox1x 2x某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个

9、增函数为减函数y对于复合函数yf g x ，令ug x ，如yf u为增，ug x为增，就yf g x为增；如yf u 为减，ug x为减，就yf g x为 增 ； 如yf u 为 增 ，ug x为 减 ， 就ox学习必备欢迎下载yf g x 为减；如yf u 为减，ug x 为增，就yf g x 为减（ 2）打“”函数f xxa a x0 的图象与性质f x 分别在 ,a 、 a , 上为增函数，分别在a , 0 、 0,a 上为减函数（ 3）最大（小）值定义一般地，设函数yf x的定义域为i ，假如存在实数m 满意：（ 1）对于任意的xi ，都有f xm ；（ 2 ）存在 x0i ，使得f

10、 x0 m 那么，我们称m 是函数f x的最大值，记作fmax xm 一般地，设函数yf x 的定义域为i ，假如存在实数m 满意：（ 1）对于任意的xi ，都有f xm ；（2）存在 x0i ，使得f x0 m 那么，我们称m 是函数f x 的最小值，记作fmax xm （ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质【1.3.2 】奇偶性定义图象判定方法函数的奇偶性假如对于函数fx定义域内任意一个x，都有f x= fx,那么函数fx叫做 奇函数假如对于函数fx定义域内任意一个 x，都有 f x=fx,那么函数 fx叫做 偶函数（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象

11、（图象关于原点对称）（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数，且在x0 处有定义，就f 00 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象学习必备欢迎下载（ 1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）利用基本函数图象的变换作图：；画出函数的图象要精确记忆一次函数、

12、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf xyf xh 0,左移 h个单位h 0,右移 | h|个单位k 0,上移 k个单位k 0,下移 | k|个单位yf xhyf xk伸缩变换yf x01,伸1,缩yf xyf x0 a 1, 缩yaf xa 1, 伸对称变换yf xx轴yf xyf xy轴1yf x原点yf xyf xyf x直线 yxyf xyf x去掉 y轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象yf | x |yf x（ 2）识图保留 x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y| f x |对于给定函数的图象，要能从图象的左右

13、、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为争论数量关系问题供应了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法其次章基本初等函数 2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念假如 xna, ar, xr, n1 ，且 nn，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当n 是奇数时，a 的 n 次方根用符号n a 表示；当 n 是偶数时，正数a 的正的 n 次方根用符号n a 表示，负的 n 次方根用符号n a 表示； 0 的 n

14、 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数当n 为奇数时， a 为任意实数；当学习必备欢迎下载n 为偶数时， a0 根 式 的 性 质 ： n a na ； 当 n 为 奇 数 时 ，n ana ； 当 n 为 偶 数 时 ，n an| a |aa0aa0（ 2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：幂等于 0ma nna m a0, m, nn, 且 n1 0 的正分数指数m1 m1正数的负分数指数幂的意义是：an nn m a0, m, nn, 且 n1 0aa的负分数指数幂没有意义留意口诀： 底数取倒数，指数取相反数（ 3

15、）分数指数幂的运算性质 a ra sar s a0, r , sr a r sars a0, r , sr abra r b r a0, b0, rr（ 4）指数函数【2.1.2 】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数ya x a0 且 a1 叫做指数函数a10a1yya xya xy图象y10,1y10,1oxox定义域r值域0,过定点图象过定点0,1 ，即当 x0 时，y1 奇偶性单调性在r 上是增函数非奇非偶在 r 上是减函数学习必备欢迎下载函数值的变化情形ax1 x0ax1 x0ax1 x0a x1x0a x1x0a x1x0a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在其

16、次象限内，a 越大图象越低（ 1）幂函数的定义2.3 幂函数一般地，函数yx叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第 一、二象限 图象关于y 轴对称 ；是奇函数时，图象分布在第一、三象限图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义，并且图象都通过点1,1单调性：假如0 ，就幂函数的图象过原点，并且在0, 上为增函数假如0 ，就幂函数的图象在 0, 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴奇偶性： 当为奇数时，

17、 幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当q（其中pp, q 互质， p 和 qz ），如 p 为奇数 q 为奇数时， 就qyx p 是奇函数， 如 p 为奇数 q 为偶数时， 就qyx p学习必备欢迎下载是偶函数，如p 为偶数 q 为奇数时，就qyx p 是非奇非偶函数图象特点：幂函数yx, x0, ，当1 时，如 0x1，其图象在直线yx 下方，如x1 ，其图象在直线yx 上方，当1时，如 0x1，其图象在直线yx 上方，如 x1 ，其图象在直线yx 下方补充学问二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式一般式：f xax 2bxc a0 顶点式：f xa xh 2k a0 两根式：f

18、xa xx1 xx2 a0 （ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式如已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f x 更便利（ 3）二次函数图象的性质二次函数f xax 2bxc a0 的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb , 顶点坐标是2ab4acb2, 2a当 a4a0 时，抛物线开口向上， 函数在 ,4acb2b 上递减， 在 2ab , 上递增， 当 xb时，2a2abbfmin x；当 a4ab0 时，抛物线开口向下，函数在,2a4acb2上递增，在 , 上2a递减，当 x时，

19、fmax x2a4a二次函数f x2axbxc a0 当2b4ac0 时，图象与x 轴有两个交点m1x1,0,m2x2,0,|m1m2 | |x1x2 | a|（ 4）一元二次方程ax2bxc0 a0 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分学问在中学代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用， 下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布2设一元二次方程axbxc0a0 的两实根为x1 , x2 ，且 x1x2 令f x2axbxc ，学习必备欢迎下载从以下四个方面来分析此类问题：开口方向

20、：a对称轴位置：x函数值符号k x1 x2b判别式：端点2ayybf k0a0x2aok x1ox2xkx1x2xbf k0xa02ax1 x2 kya0ox1f k0x2kxybx2aokx1x 2xxba02af k 0x1 kx2af k 0yya0okx1x2xf k0x1okx2xf k0a0k1 x1 x2 k2yok1f k1 x1a00f k2 0x2k2xyk1ox1xb2ak2x2xf k1 0xb2aa0f k 2 0有且仅有一个根x1（或 x2 ）满意 k1 x1（或 x2）k2f k1 f k2 0，并同时考虑f k1=0学习必备欢迎下载或 f k2=0 这两种情形是

21、否也符合yok1a0f k1 0x1k 2x2xyox1f k1 k10k2x2xf k 2 0a0f k2 0k1 x1 k2 p1 x2 p2此结论可直接由推出（ 5）二次函数f xax2bxca0 在闭区间 p , q 上的最值设 f x 在区间 p , q 上的 最大值为 m ，最小值为 m ，令 x01 pq 2（） 当 ab0 时（开口向上）bbb如2amf q p ，就mf p如 pq ，就2 amf 如2a2aq ，就fqoff pb 2apxffqoxf b 2apqfoxff b 2ax0b，就2amf q bx ， 就02amf pfx0qoxff pb 2apx0qfo

22、xff b 2a学习必备欢迎下载 当 a0 时 开口向下 bbbb如p ，就 mf 2a p如 pq ，就2amf 如2a2aq ，就mf qf b 2apofxfqpf b 2afoxfqpqofbff2a xb如x0 ，就2amf q bx0 ，就2amf p fpobf 2ax0xfqx0pqofbf f2a x一、方程的根与函数的零点第三章函数的应用1、函数零点的概念：对于函数yf x xd ，把使f x0 成立的实数x 叫做函数yf x xd 的零点；2、函数零点的意义： 函数 yf x 的零点就是方程f x0 实数根， 亦即函数 yf x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f

23、 x0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴有交点函数 yf x 有零点3、函数零点的求法：求函数 yf x 的零点： 1（代数法）求方程f x0 的实数根； 2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：yf x 的图象联系起来，并利二次函数yax 2bxca0 ），方程函数有两个零点），方程ax 2ax2bxcbxc0 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次0 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点）， 方程ax2bxc0 无实根， 二次函数的图象与x 轴无交点， 二次函数

24、无零点学习必备欢迎下载高中数学必修2 学问点第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与 x 轴相交时 ,取 x 轴作为基准 , x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 . 特殊地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,规定 = 0 °.2、 倾斜角 的取值范畴：0° 180°.当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 °.3、直线的斜率 :一条直线的倾斜角 90° 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母k 表示 , 也就是 k= tan 当直线 l 与

25、 x 轴平行或重合时, =0° , k = tan0° =0;当直线 l 与 x 轴垂直时 ,= 90 ° , k不存在 .由此可知 ,一条直线 l 的倾斜角 肯定存在 , 但是斜率 k 不肯定存在 .4、 直线的斜率公式 :给定两点 p1x1,y1,p2x2,y2,x1 x2, 用两点的坐标来表示直线p1p2 的斜率：斜率公式 : k=y2-y1/x2-x13.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，假如它们平行，那么它们的斜率相等；反之，假如它们的斜率相等，那么它们平行，即留意 :上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少

26、这个前提，结论并不成立即假如 k1=k2,那么肯定有l1l22、两条直线都有斜率，假如它们相互垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，假如它们的斜率互为负倒数，那么它们相互垂直，即3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的 点斜式 方程：直线 l 经过点p0 x0 , y0 ，且斜率为kyy0k xx0 2、直线的 斜截式 方程：已知直线l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为3.2.2 直线的两点式方程 0,bykxb1、直线的两点式方程：已知两点 x1x2 , y1y2 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2p1 x1 , x2 , p2 x2 , y2 其中2 、直线的截距式方程：已知直线l

27、与 x 轴的交点为a a,0，与y 轴的交点为b 0,b，其中a0,b03.2.3 直线的一般式方程学习必备欢迎下载1、直线的一般式方程：关于2、各种直线方程之间的互化；x, y 的二元一次方程axbyc0 （a， b 不同时为 0）3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标l1 ：3x +4y-2=0l1： 2x+y +2=02ppxx解：解方程组3xy422xy2202yy1 22221所以 l1 与 l2 的交点坐标为m （-2， 2）3.3.2 两点间距离两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：得 x=-2，y=2

28、点 p x0 , y0 到直线l : axbyc0的距离为：dax0by0ca 2b 22、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1 和 l 2 的一般式方程为l1 ： axbyc10 ，l 2 ： axbyc20 ，就 l 1 与 l 2 的距离为 dc1c 2a 2b 24.1.1 圆的标准方程第四章圆与方程1、圆的标准方程：xa 2 yb2r 22圆心为 aa,b,半径为 r 的圆的方程2、点m x0 , y0 与圆 xa yb 2r 2 的关系的判定方法：（1） xa 2 yb2 > r 2 ，点在圆外（ 2） xa2 yb2 = r 2 ，点在圆上0000（3） x0a 2

29、 y0b2 < r 2 ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：x 2y2dxeyf02、圆的一般方程的特点：(1) x2 和 y2 的系数相同，不等于0没有 xy 这样的二次项学习必备欢迎下载(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数d、e、f，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3) 、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特点明显，圆的标准方程就指出了圆心坐标与半径大小，几何特点较明显；4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判定直线与圆的位置关系设直线 l ：axbyc0 ，圆 c ：x 2y 2dxeyf0 ，圆的半径为 r ，圆心 d

30、,e 22到直线的距离为d ，就判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当 dr 时，直线 l 与圆 c 相离；（ 2）当 dr 时，直线 l 与圆 c 相切；（3）当 dr 时，直线 l 与圆 c 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为l ，就判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当 lr1r2 时，圆c1 与圆 c 2 相离；（ 2）当 lr1r 2 时，圆c1 与圆c2 外切；（3）当 | r1r 2 |lr1r 2 时，圆c1 与圆 c 2 相交；（4）当 l| r1r2| 时，圆c1 与圆c 2 内切；（5）当 l| r1r2|时，圆c1 与圆

31、 c2 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；其次步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论学习必备欢迎下载高中数学必修 4 学问点 第三章三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： coscoscossinsin； coscoscossinsin； sinsincoscossin； sinsincoscossin； tantantan1tantan（ tantantan1tantan）； tantantan1tantan（ tantantan1tantan）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos1sin 2sin 2cos 22sincossincos 22222 cos2cossin2cos112sin升幂公式 1cos2 cos2,12c