动点与抛物线专题复习

1、学习必备欢迎下载动点与抛物线专题复习一、平行四边形与抛物线1、如图甲， 在平面直角坐标系中，a、b 的坐标分别为 （ 4，0）、（ 0，3），抛物线 y=x2+bx+c经过点 b，且对称轴是直线x=（ 1）求抛物线对应的函数解析式；（ 2）将图甲中 abo 沿 x 轴向左平移到 dce （如图乙），当四边形abcd 是菱形时，请说明点 c 和点 d 都在该抛物线上；（ 3）在（ 2）中，如点m 是抛物线上的一个动点（点m 不与点 c、d 重合），经过点m 作 mn y 轴交直线cd 于 n，设点 m 的横坐标为t，mn 的长度为l ，求 l 与 t 之间的函数解析式，并求当t 为何值时，以m

2、、n、c、e 为顶点的四边形是平行四边形（参考公式：抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）的顶点坐标为（，），对称轴是直线x=）2、如图， 在平面直角坐标系中，已知 rtaob 的两条直角边oa、ob 分别在 y 轴和 x 轴上，并且 oa、 ob 的长分别是方程x2 7x+12=0 的两根（ oa ob），动点 p 从点 a 开头在线段ao 上以每秒1 个单位长度的速度向点0 运动；同时，动点q 从点 b 开头在线段ba 上以每秒 2 个单位长度的速度向点a 运动，设点p、q 运动的时间为t 秒（ 1）求 a、b 两点的坐标（ 2）求当 t 为何值时， apq 与 aob 相像，并直接写出此

3、时点q 的坐标（ 3）当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点m ，使以 a、p、q、m 为顶点的四边形是平行四边形？如存在，请直接写出m 点的坐标；如不存在，请说明理由学习必备欢迎下载23.如图，已知抛物线y= x+bx+c 与始终线相交于a（ 1， 0）， c（2， 3）两点，与y 轴交于点 n其顶点为d（ 1）抛物线及直线ac 的函数关系式；（ 2）设点 m （ 3， m），求使 mn +md 的值最小时m 的值；（ 3）如抛物线的对称轴与直线ac 相交于点 b，e 为直线 ac 上的任意一点，过点e 作 ef bd 交抛物线于点f，以 b， d， e， f 为顶点的四边形能否为平行四边

4、形？如能，求点e 的坐标；如不能，请说明理 由；（ 4）如 p 是抛物线上位于直线ac 上方的一个动点，求apc 的面积的最大值二、梯形与抛物线1、已知，在 rt oab 中， oab=90 °， boa=30 °，ab=2如以 o 为坐标原点， oa 所在直线为 x 轴，建立如下列图的平面直角坐标系，点 b 在第一象限内将 rtoab 沿 ob 折叠后，点 a 落在第一象限内的点 c 处（ 1）求点 c 的坐标；（ 2）如抛物线y=ax2+bx（ a0）经过 c、a 两点，求此抛物线的解析式；（ 3）如上述抛物线的对称轴与ob 交于点 d，点 p 为线段 db 上一动点，

5、过p 作 y 轴的平行线，交抛物线于点m ，问：是否存在这样的点p，使得四边形cdpm 为等腰梯形？如存在，恳求出此时点p 的坐标；如不存在，请说明理由2、如图， o 为坐标原点，直线l 围着点 a（ 0， 2）旋转，与经过点c（ 0， 1）的二次函数y=x2+h 的图象交于不同的两点p、q（ 1）求 h 的值；（ 2）通过操作、观看，算出 poq 的面积的最小值（不必说理）；学习必备欢迎下载（ 3）过点 p、c 作直线，与x 轴交于点b，试问：在直线l 的旋转过程中，四边形aobq 是否 为 梯 形 ？ 如 是 ， 请 说 明 理 由 ； 如 不 是 ， 请 指 出 四 边 形 的 形 状

6、3.如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形 aocd 的顶点 a 的坐标是（ 0，4），现有两动点p，q，点 p 从点 o 动身沿线段oc （不包括端点o， c）以每秒2 个单位长度的速度匀速向点 c 运动，点q 从点 c 动身沿线段cd （不包括端点c， d ）以每秒 1 个单位长度的速度匀速 向点 d 运动点 p，q 同时动身， 同时停止， 设运动时间为t（ 秒），当 t=2（秒）时，pq=2（ 1）求点 d 的坐标，并直接写出t 的取值范畴（ 2）连接 aq 并延长交 x 轴于点 e，把 ae 沿 ad 翻折交 cd 延长线于点 f ，连接 ef ，就 aef的面积 s 是否随 t 的变

7、化而变化？如变化，求出 s 与 t 的函数关系式；如不变化，求出 s 的值（ 3）在（ 2）的条件下，t 为何值时，四边形apqf 是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线1、在平面直角坐标系xoy 中，一块含 60°角的三角板作如图摆放，斜边 ab 在 x 轴上，直角顶点c 在 y轴正半轴上，已知点a（ 1， 0）（ 1）请直接写出点b、c 的坐标：b、c；并求经过a、b、c 三点的抛物线解析式；（ 2）现有与上述三角板完全一样的三角板 def（其中 edf =90°， def =60°），把顶点 e放在线段 ab 上（点 e 是不与 a、b 两点重合的动点） ，并

8、使 ed 所在直线经过点 c此时， ef 所在直线与（ 1）中的抛物线交于点 m 设 ae=x，当 x 为何值时， oce obc ； 在 的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点p 使pem 是等腰三角形？如存在，请写出点p 的坐标；如不存在，请说明理由学习必备欢迎下载3、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形aob 的顶点 a、b 分别落在坐标轴上o 为原点，点a 的坐标为（ 6， 0），点 b 的坐标为（ 0， 8）动点 m 从点 o 动身沿 oa 向终点 a 以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点n 从点 a 动身，沿 ab 向终点 b 以每秒个单位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个

9、动点也随之停止运动，设动点m 、n 运动的时间为t 秒（ t 0）（ 1）当 t=3 秒时直接写出点n 的坐标，并求出经过o、 a、n 三点的抛物线的解析式；（ 2）在此运动的过程中， mna 的面积是否存在最大值？如存在，恳求出最大值；如不存在，请说明理由；（ 3）当 t 为何值时， mna 是一个等腰三角形？4、如图，直线l1 经过点 a（ 1， 0），直线 l 2 经过点 b（ 3， 0）， l1、 l2 均为与 y 轴交于点c（ 0，），抛物线y=ax2+bx+c（ a0）经过 a、b、c 三点（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）抛物线的对称轴依次与x 轴交于点d、与 l2 交于点

10、e、与抛物线交于点 f 、与 l1 交于点 g求证： de =ef =fg ；（ 3）如 l1 l 2 于 y 轴上的 c 点处，点 p 为抛物线上一动点，要使 pcg为等腰三角形，请写出符合条件的点p 的坐标，并简述理由5、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形oabc 的边 oc、oa 分别与 x 轴、y 轴重合，ab oc ， aoc =90°， bco=45°，bc=12，点 c 的坐标为（ 18， 0）（ 1）求点 b 的坐标；（ 2）如直线 de 交梯形对角线bo 于点 d ，交 y 轴于点 e，且 oe=4， od =2bd ，求直线de 的解析式；（ 3）如点

11、p 是（ 2）中直线 de 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点q，使以 o、e、p、q 为顶点的四边形是菱形？如存在，请直接写出点q 的坐标；如不存在，请说明理由学习必备欢迎下载6、如图，已知抛物线经过原点o 和 x 轴上一点a（ 4，0），抛物线顶点为e，它的对称轴与x 轴交于点d 直线 y= 2x 1 经过抛物线上一点b（ 2，m）且与 y轴交于点c，与抛物线的对称轴交于点f（ 1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（ 2） p（ x， y）是抛物线上的一点，如s adp =s adc，求出全部符合条件的点p 的坐标；（ 3）点 q 是平面内任意一点，点m 从点 f 动身，沿对称轴向上

12、以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设点m 的运动时间为t 秒，是否能使以 q、a、e、m 四点为顶点的四边形是菱形？如能，请直接写出点m 的运动时间t 的值；如不能，请说明理由四、直角三角形与抛物线1、如图，抛物线y=与 x 轴交于 a、b 两点（点a 在点 b的左侧），与 y 轴交于点c（ 1）求点 a、 b 的坐标；（ 2）设 d 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 acd 的面积等于 acb 的面积时，求点d 的坐标；（ 3）如直线 l 过点 e（ 4，0），m 为直线 l 上的动点，当以a、b、m 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式2、如图，在等腰三角形ab

13、c 中， ab=ac，以底边bc 的垂直平分线和bc+x+4 经过 a、b 两点所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x2（ 1）写出点a、点 b 的坐标；（ 2）如一条与y 轴重合的直线l 以每秒 2 个单位长度的速度向右平移，分 别交线段oa、ca 和抛物线于点e、 m 和点 p，连接 pa、pb设直线 l 移动的时间为t（ 0 t 4）秒，求四边形 pbca 的面积 s（面积单位） 与 t（ 秒）的函数关系式，并求出四边形pbca 的最大面积；（ 3）在（ 2）的条件下，抛物线上是否存在一点p，使得 pam 是直角三角形？如存在，恳求出点 p 的坐标；如不存在，请说明理由学习必备欢迎下

14、载3.如图，顶点为p（ 4， 4）的二次函数图象经过原点（0， 0），点 a在该图象上，oa 交其对称轴l 于点 m ，点 m 、n 关于点 p 对称，连接an 、on，（ 1）求该二次函数的关系式；（ 2）如点 a 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题： 证明： anm =onm ； ano 能否为直角三角形？假如能，恳求出全部符合条件的点a 的坐标；假如不能，请说明理由+bx+c 的图象过4、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2 交 x 轴于点 p，交 y 轴于点 a抛物线 y=x2点 e（ 1， 0），并与直线相交于a、b 两点（ 1）求抛物线的解析式（关系式）；（

15、 2）过点 a 作 acab 交 x 轴于点 c，求点 c 的坐标；（ 3）除点 c 外，在坐标轴上是否存在点m ，使得 mab 是直角三角形？如存在，恳求出点m 的坐标；如不存在，请说明理由五、相像三角形与抛物线1、如图 1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过 a（3， 0）、b（ 4，4）两点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）将直线ob 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点d，求 m的值及点d 的坐标；（ 3）如图 2，如点 n 在抛物线上，且 nbo =abo ，就在（ 2）的条件下，求出全部满意 pod nob 的点 p 坐标（点 p、o、d 分别与点n、o、

16、b 对应）3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象学习必备欢迎下载经过原点o，交 x 轴于点 a，其顶点b 的坐标为（ 3，）（ 1）求抛物线的函数解析式及点a 的坐标；（ 2）在抛物线上求点p，使 s poa =2s aob；（ 3）在抛物线上是否存在点q，使 aqo 与aob 相像？假如存在，恳求出 q 点的坐标；假如不存在，请说明理由4.如图，已知抛物线的方程c1：y=（ x+2）（ x m）（ m0）与 x 轴相交于点 b、 c，与 y 轴相交于点e，且点 b 在点 c 的左侧（ 1）如抛物线c1 过点 m （ 2， 2），求实数m 的值；（ 2）在（ 1）的条件下，求b

17、ce 的面积；（ 3）在（ 1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点h，使 bh+eh 最小，并求出点 h 的坐标；（ 4）在第四象限内， 抛物线 c1 上是否存在点f，使得以点b、c、f 为顶点的三角形与bce 相像？如存在，求m 的值；如不存在，请说明理由5、如图，已知二次函数的图象过点a（ 4， 3）， b（ 4， 4）（ 1）求二次函数的解析式：（ 2）求证： acb 是直角三角形；（ 3）如点 p 在其次象限，且是抛物线上的一动点，过点p 作 ph 垂直 x 轴于点 h，是否存在以 p、h 、d 为顶点的三角形与abc 相像？如存在，求出点p的坐标；如不存在，请说明理由6 如图，直线ab

18、 交 x 轴于点 b（4， 0），交 y 轴于点 a（ 0，4），直线 dm x 轴正半轴于点m ，交线段ab 于点 c，dm =6，连接 da ， dac =90 °学习必备欢迎下载（ 1）直接写出直线ab 的解析式；（ 2）求点 d 的坐标；（ 3）如点 p 是线段 mb 上的动点，过点 p 作 x 轴的垂线，交 ab 于点 f，交过 o、d、b 三点的抛物线于点 e，连接 ce 是否存在点 p，使 bpf 与 fce 相像？如存在， 恳求出点 p 的坐标； 如不存在，请说明理由7.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2 的图象与x 轴交于 a（ 3，0），b（ 1，0

19、）两点，与 y 轴交于点 c（ 1）求这个二次函数的关系解析式；（ 2）点 p 是直线 ac 上方的抛物线上一动点，是否存在点p，使 acp 的面积最大？如存在，求出点p 的坐标；如不存在，说明理由；考生留意：下面的（3）、（4）、（ 5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（ 3）在平面直角坐标系中，是否存在点q，使 bcq 是以 bc 为腰的等腰直角三角形？如存在，直接写出点q 的坐标；如不存在，说明理由；（ 4）点 q 是直线 ac 上方的抛物线上一动点，过点q 作 qe 垂直于 x 轴，垂足为e是否存在点 q，使以点 b、q、e 为顶点的三角形

20、与aoc 相像？如存在， 直接写出点q 的坐标；如不存在，说明理由；（ 5）点 m 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点q，使以 a、c、m 、q 为顶点的四边形是平行四边形？如存在，直接写出点q 的坐标；如不存在，说明理由六、抛物线中的翻折问题学习必备欢迎下载1、如图，抛物线y=ax2+bx+2 交 x 轴于 a（ 1， 0）， b（ 4， 0）两点，交y 轴于点 c，与过点 c 且平行于x 轴的直线交于另一点d ，点 p 是抛物线上一动点（ 1）求抛物线解析式及点d 坐标；（ 2）点 e 在 x 轴上，如以a，e， d， p 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点 p 的坐标；（ 3）过点

21、 p 作直线 cd 的垂线， 垂足为 q，如将 cpq 沿 cp 翻折，点 q 的对应点为q是否存在点p，使 q恰好落在 x 轴上？如存在，求出此时点p 的坐标；如不存在，说明理由22、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c 的图象与x 轴交于 a、b 两点， a 点在原点的左侧，b 点的坐标为（ 3， 0），与 y 轴交于 c（ 0， 3）点，点 p 是直线 bc 下方的抛物线上一动点（ 1）求这个二次函数的表达式（ 2）连接 po、pc，并把 poc 沿 co 翻折，得到四边形popc，那么是否存在点p，使四边形 popc 为菱形？如存在，恳求出此时点p 的坐标；如不存在，请说

22、明理由（ 3）当点 p 运动到什么位置时，四边形abpc 的面积最大并求出此时p 点的坐标和四边形abpc 的最大面积动点与抛物线专题复习答案解析学习必备欢迎下载一、平行四边形与抛物线1、解：（ 1）由于抛物线y=x2+bx+c 与 y 轴交于点b （ 0， 4），就c=4；抛物线的对称轴x= =， b=5a=；即抛物线的解析式：y=x2+x+4 （ 2） a （ 4，0）、b（ 3， 0） oa=4 ，ob=3 ， ab=5；如四边形abcd是菱形，就bc=ad=ab=5， c（ 5， 3）、d （ 1， 0）将 c（ 5， 3）代入 y=x2+x+4 中，得：×（ 5） 2+&#

23、215;（ 5） +4=3 ，所以点c 在抛物线上；同理可证：点d 也在抛物线上（ 3）设直线cd 的解析式为：y=kx+b ，依题意，有：，解得直线 cd ： y= x 由于 mn y 轴，设m （ t，t2+t+4 ），就n （t ，t）； t 5 或 t 1 时， l=mn= （t2+t+4）（t ） =t2+t+； 5 t 1 时， l=mn= （t）（t2+t+4 ） =t2t；如以 m 、n、c、e 为顶点的四边形是平行四边形，由于mn ce，就 mn=ce=3 ，就有：t2+t+=3，解得： t= 3±2；t2t=3，解得： t= 3；综上， l=且当 t= 3

24、7;2或 3 时，以 m 、n 、c、e 为顶点的四边形是平行四边形学习必备欢迎下载2、解：（ 1）解方程x2 7x+12=0 ，得 x1=3 ， x2=4， oa ob， oa=3 ，ob=4 a （0， 3），b （ 4，0）（ 2）在 rt aob 中， oa=3 ， ob=4 ， ab=5 ， ap=t ，qb=2t ， aq=5 2t apq 与 aob 相像，可能有两种情形：（ i ） apq aob ，如图（ 2） a 所示就有，即，解得 t=此时 op=oa ap=，pq=ap .tana=， q（，）；（ ii ） apq abo ，如图（ 2） b 所示就有，即，解得 t=

25、此时 aq=，ah=aq .cosa=，hq=aq .sina=，oh=oa ah=， q（，）综上所述， 当 t=秒或 t=秒时， apq 与 aob 相像， 所对应的 q 点坐标分别为 （，）或（，）（ 3）结论：存在如图（3）所示 t=2 ， ap=2 ，aq=1 ， op=1过 q 点作 qe y 轴于点 e，就 qe=aq .sin qap=， ae=aq .cosqap=， oe=oa ae=， q（，） . apqm1 ， qm1 x 轴，且 qm1=ap=2 ， m1 （，）； . apqm2 ， qm2 x 轴，且 qm2=ap=2 ， m2 （，）；如图（ 3），过 m3

26、点作 m3f y 轴于点 f，学习必备欢迎下载 . aqpm3 ， m3p=aq ， qae= m3pf ， pm3f= aqe ；在 m3pf 与 qae 中， qae= m3pf ， m3p=aq ， pm3f= aqe ， m3pf qae ， m3f=qe=，pf=ae=， of=op+pf=， m3 （，）当 t=2 时，在坐标平面内，存在点m ，使以 a 、p、q、m 为顶点的四边形是平行四边形点 m 的坐标为： m1 （，）， m2 （，）， m3 （，）3.解：（ 1）由抛物线y= x2+bx+c 过点 a （ 1， 0）及 c（ 2， 3）得，解得，故抛物线为y= x2+2x

27、+3又设直线为y=kx+n 过点 a （ 1， 0）及 c（ 2， 3）得，解得故直线 ac 为 y=x+1 ；（ 2）作 n 点关于直线x=3 的对称点n ，就 n （ 6， 3），由（ 1）得 d（ 1， 4），故直线 dn 的函数关系式为y= x+，当 m （ 3， m）在直线 dn 上时， mn+md的值最小，就 m=×=；（ 3）由（ 1）、（ 2）得 d（ 1， 4），b （ 1， 2）学习必备欢迎下载点 e 在直线 ac 上， 设 e（ x， x+1 ），当点 e 在线段 ac 上时，点 f 在点 e 上方， 就 f（x ， x+3 ）， f 在抛物线上， x+3= x

28、2+2x+3 ，解得， x=0 或 x=1 （舍去） e（ 0， 1）；当点 e 在线段 ac （或 ca ）延长线上时，点f 在点 e 下方，就 f（x ， x 1）由 f 在抛物线上 x 1=x2+2x+3解得 x=或 x= e（，）或（，）综上，满意条件的点e 为 e（ 0，1）、（，）或（，）；（ 4）过点 p 作 pq x 轴交 ac 于点 q，交 x 轴于点 h ；过点 c 作 cg x 轴于点 g，如图 2， 设 q（ x， x+1 ），就 p（x ， x2+2x+3 ）又 sapc=s aph+s 直角梯形phgc s agc=（ x+1 ）（ x2+2x+3 ） +（x2+2

29、x+3+3 ）（ 2 x）×3×3=x2+x+3=（ x ） 2+ apc 的面积的最大值为学习必备欢迎下载二、梯形与抛物线1、解：（ 1）过点 c 作 ch x 轴，垂足为h；在 rtoab 中， oab=9°0， boa=3°0， ab=2 ， ob=4 ， oa=2；由折叠的性质知：cob=3°0 ， oc=ao=2， coh=6°0 ， oh=， ch=3 ； c 点坐标为（， 3）（ 2）抛物线y=ax2+bx （ a0）经过 c（， 3）、a （ 2， 0）两点，解得；此抛物线的函数关系式为：y= x2+2x（ 3）存在由

30、于 y= x2+2x 的顶点坐标为（， 3），即为点 c， mp x 轴，垂足为n，设 pn=t；由于 boa=3°0，所以 on=t，学习必备欢迎下载 p（t， t ）；作 pq cd ，垂足为q， me cd ，垂足为e； 把 x=t 代入 y= x2+2x ，得 y= 3t2+6t ， m （t ， 3t2+6t ）， e（， 3t2+6t ），同理： q（， t）， d（，1）；要使四边形cdpm 为等腰梯形，只需ce=qd ，即 3（ 3t2+6t ） =t 1，解得 t=， t=1（舍）， p 点坐标为（，），存在满意条件的p 点，使得四边形cdpm 为等腰梯形，此时p

31、点坐标为（，）2、解：（ 1）抛物线y=x2+h 经过点 c（ 0， 1），+h=1 ，解得 h=1（ 2）依题意，设抛物线y=x2+1 上的点， p（ a，a2+1）、q（b，b2+1）（a 0 b）过点 a 的直线 l ： y=kx+2 经过点 p、q，a2+1=ak+2b2+1=bk +2 ×b ×a 得：（ a2bb2a） +b a=2（ b a），化简得： b=；学习必备欢迎下载 s poq=oa .|xq xp|=.oa .| a|=（） +（ a）2.=4由上式知：当= a，即 |a|=|b|（ p、q 关于 y 轴对称）时， poq 的面积最小；即 pq x

32、 轴时， poq 的面积最小，且poq 的面积最小为4（ 3）连接 bq，如 l 与 x 轴不平行（如图） ，即 pq 与 x 轴不平行，依题意，设抛物线y=x2+1 上的点， p（ a，a2+1）、q（ b，b2+1）（a 0 b）直线 bc： y=k1x+1 过点 p，a2+1=ak1+1 ，得 k1= a， 即 y=ax+1令 y=0 得： xb= ，同理，由（ 2）得： b=点 b 与 q 的横坐标相同， bq y 轴，即 bqoa ， 又 aq 与 ob 不平行，四边形aobq 是梯形，据抛物线的对称性可得（a 0 b）结论相同故在直线l 旋转的过程中： 当 l 与 x 轴不平行时，

33、 四边形 aobq 是梯形； 当 l 与 x 轴平行时，四边形 aobq 是正方形3.解：（ 1）由题意可知，当t=2 （秒）时， op=4， cq=2 ，在 rt pcq 中，由勾股定理得：pc=4， oc=op+pc=4+4=8 ，又矩形aocd ， a（ 0，4）， d（ 8， 4）点 p 到达终点所需时间为=4 秒，点 q 到达终点所需时间为=4 秒，由题意可知，t 的取值范畴为： 0 t 4学习必备欢迎下载（ 2）结论： aef 的面积 s 不变化 aocd 是矩形， ad oe， aqd eqc ，即，解得 ce=由翻折变换的性质可知：df=dq=4 t，就 cf=cd+df=8

34、ts=s 梯形 aocf+s fce s aoe=（oa+cf ） .oc+cf.ce oa .oe=4+ （8 t） ×8+（ 8 t） .×4×（ 8+）化简得： s=32 为定值所以 aef 的面积 s 不变化， s=32 （ 3）如四边形apqf 是梯形，由于ap 与 cf 不平行，所以只有pq af 由 pq af 可得： cpq daf ，即，化简得 t2 12t+16=0 ，解得： t1=6+2， t2=6 2，由（ 1）可知， 0 t 4， t1=6+2不符合题意，舍去当 t=（ 6 2）秒时，四边形apqf 是梯形三、等腰三角形、菱形与抛物线1、

35、解：（ 1）点 a （ 1， 0）， oa=1 ，由图可知，bac 是三角板的60°角， abc 是 30°角，所以， oc=oa .tan60 °=1×=，ob=oc .cot30 =°×=3，学习必备欢迎下载所以，点b （ 3，0）， c（ 0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c ，就，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2+x+；（ 2） oce obc ，=，即=， 解得 oe=1 ，所以， ae=oa+oe=1+1=2 ，即 x=2 时， oce obc ；存在理由如下：抛物线的对称轴为x= =1， 所以，点e 为抛物线

36、的对称轴与x 轴的交点， oa=oe ， oc x 轴， bac=60° ， ace 是等边三角形， aec=60° ，又 def=60° ， feb=60°， bac= feb ， ef ac ，由 a （ 1， 0）， c（0，）可得直线ac 的解析式为y=x+，点 e（1， 0），直线 ef 的解析式为y=x，学习必备欢迎下载联立，解得，（舍去），点 m 的坐标为（ 2，），em=2，分三种情形争论pem 是等腰三角形，当 pe=em 时， pe=2 ，所以，点p 的坐标为（ 1， 2）或（ 1， 2），当 pe=pm 时， feb=60°

37、; ， pef=90° 60°=30°，pe=em÷cos30 °=×2÷=，所以，点p 的坐标为（ 1，），当 pm=em 时， pe=2em .cos30°=2×2×=2，所以，点p 的坐标为（ 1， 2），综上所述，抛物线对称轴上存在点p（ 1， 2）或（ 1， 2）或（ 1，）或（ 1， 2），使 pem 是等腰三角形3、解：（ 1）由题意， a （ 6， 0）、b （ 0， 8），就 oa=6 ， ob=8， ab=10 ； 当 t=3 时， an=t=5=ab ，即 n 是线段 ab

38、 的中点； n （3， 4）设抛物线的解析式为：y=ax （x 6），就： 4=3a（ 36）， a=；学习必备欢迎下载抛物线的解析式：y= x（ x6） =x2+x （ 2）过点 n 作 nc oa 于 c；由题意， an=t， am=oa om=6 t，nc=na .sinbao=t.=t； 就： s mna=am .nc=×（ 6 t） × t=（ t 3） 2+6 mna的面积有最大值，且最大值为6（ 3） rtnca 中， an=t，nc=an .sin bao=t， ac=an .cos bao=t ； oc=oa ac=6 t， n（ 6 t，t） nm=；又

39、： am=6 t， an=t（ 0 t 6）；当 mn=an时，=t，即： t2 8t+12=0 ， t1=2 ， t2=6 （舍去）；当 mn=ma时，=6 t，即：t2 12t=0， t1=0 （舍去）， t2=；当 am=an时， 6 t=t，即 t=；综上，当t 的值取2 或或时， man是等腰三角形4、解：（ 1）抛物线 y=ax2+bx+c （ a0）经过 a （ 1，0），b（3，0），c（ 0，）三点，解得 a=， b=， c=，抛物线的解析式为：y=x2x学习必备欢迎下载（ 2）设直线 l1 的解析式为y=kx+b ，由题意可知，直线l1 经过 a（ 1，0），c（ 0，）两

40、点，解得 k=， b=，直线 l1 的解析式为：y=x；直线 l2 经过 b（ 3，0），c（0，）两点，同理可求得直线l2 解析式为： y=x抛物线y=x2x=（x 1） 2，对称轴为x=1 ，d （ 1，0），顶点坐标为f（ 1，）；点 e 为 x=1 与直线 l2： y=x的交点，令x=1 ，得 y=， e（ 1，）；点 g 为 x=1 与直线 l1：y=x的交点，令x=1 ，得 y=， g（ 1，）各点坐标为：d（ 1，0）， e（1，）， f（ 1，），g（ 1，），它们均位于对称轴x=1 上， de=ef=fg=（ 3）如右图，过c 点作 c 关于对称轴x=1 的对称点p1， cp

41、1 交对称轴于h 点，连接 cf pcg 为等腰三角形，有三种情形：当 cg=pg 时，如右图，由抛物线的对称性可知，此时p1 满意 p1g=cg c（0，），对称轴x=1， p1（2，）当 cg=pc 时，此时p 点在抛物线上，且cp 的长度等于cg 如右图， c（ 1，）， h 点在 x=1 上， h（ 1，），在 rt chg 中， ch=1 ， hg=|yg yh|=|（） |=，由勾股定理得：cg=2 pc=2如右图， cp1=2，此时与中情形重合；又 rt oac 中， ac=2，点 a 满意 pc=2 的条件，但点a 、c、g 在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形当 pc=pg

42、 时，此时p 点位于线段cg 的垂直平分线上 l1 l2 ， ecg 为直角三角形，由（ 2）可知， ef=fg，即 f 为斜边 eg 的中点， cf=fg ， f 为满意条件的p 点， p2（ 1，）；学习必备欢迎下载又 cos cge=， cge=3°0 ， hcg=6°0 ，又 p1c=cg ， p1cg 为等边三角形， p1 点也在 cg 的垂直平分线上，此种情形与重合综上所述， p 点的坐标为p1（ 2，）或 p2（ 1，）5、解：（ 1）过点 b 作 bf x 轴于 f在 rt bcf 中 bco=4°5 ， bc=6 cf=bf=12 c的坐标为（

43、18， 0） ab=of=6点 b 的坐标为（6， 12）（ 2）过点 d 作 dg y 轴于点 g ab dg odg oba=， ab=6 ，oa=12 dg=4 ，og=8 d （ 4， 8）， e（ 0， 4）设直线 de 解析式为y=kx+b （k0）直线 de 解析式为y= x+4 学习必备欢迎下载（ 3）结论：存在设直线 y= x+4 分别与 x 轴、 y 轴交于点e、点 f，就 e（ 0，4）， f（ 4， 0），oe=of=4 ， ef=4如答图 2 所示，有四个菱形满意题意菱形 oep1q1，此时 oe 为菱形一边就有 p1e=p1q1=oe=4 ， p1f=ef p1e=

44、4 4易知 p1nf 为等腰直角三角形，p1n=nf=p1f=4 2；设 p1q1 交 x 轴于点 n，就 nq1=p1q1 p1n=4（ 4 2） =2，又 on=of nf=2， q1（ 2， 2）；菱形 oep2q2，此时 oe 为菱形一边此时 q2 与 q1 关于原点对称，q2（ 2， 2）；菱形 oeq3p3，此时 oe 为菱形一边此时 p3 与点 f 重合，菱形oeq3p3 为正方形，q3（ 4，4）；菱形 op4eq4，此时 oe 为菱形对角线 由菱形性质可知，p4q4 为 oe 的垂直平分线，由 oe=4，得 p4 纵坐标为 2，代入直线解析式y= x+4 得横坐标为2，就 p

45、4（ 2， 2），由菱形性质可知，p4、q4 关于 oe 或 x 轴对称， q4（ 2， 2）综上所述，存在点q，使以 o、e、p、q 为顶点的四边形是菱形；点 q 的坐标为： q1（ 2， 2）， q2（ 2， 2）， q3（ 4， 4），q4（ 2， 2）学习必备欢迎下载6、解：（ 1）点 b（ 2， m）在直线y= 2x1 上 m=3即 b（ 2，3）又抛物线经过原点o设抛物线的解析式为y=ax2+bx点 b（ 2， 3）， a （ 4， 0）在抛物线上，解得：设抛物线的解析式为（ 2） p（ x ， y）是抛物线上的一点，如 s adp=s adc ， 又点 c 是直线 y= 2x1

46、与 y 轴交点， c（0， 1）， oc=1 ，即或，解得：点 p 的坐标为（ 3）结论：存在学习必备欢迎下载抛物线的解析式为，顶点 e（ 2， 1），对称轴为x=2 ；点 f 是直线 y= 2x 1 与对称轴x=2 的交点， f（ 2， 5）， df=5又 a（ 4， 0）， ae=如右图所示，在点m 的运动过程中，依次显现四个菱形：菱形 aem1q1 此时 dm1=ae=， m1f=df de dm1=4 ， t1=4 ；菱形 aeom2 此时 dm2=de=1 ， m2f=df+dm2=6， t2=6 ；菱形 aem3q3 此时 em3=ae=， dm3=em3 de= 1， m3f=d

47、m3+df=（ 1） +5=4+， t3=4+；菱形 am4eq4 此时 ae 为菱形的对角线，设对角线ae 与 m4q4 交于点 h，就 ae m4q4 ，易知 aed m4eh ，即，得 m4e=， dm4=m4e de= 1=， m4f=dm4+df=+5=， t4=综上所述，存在点m 、点 q，使得以q、a 、e、m 四点为顶点的四边形是菱形；时间t 的值为： t1=4 ， t2=6 ， t3=4+， t4=学习必备欢迎下载四、直角三角形与抛物线1、解：（ 1）令 y=0 ，即=0， 解得 x1= 4， x2=2， a 、b 点的坐标为a （ 4， 0）、 b（ 2，0）（ 2） sacb=ab .o