高考真题：三角函数及解三角形综合

1、三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换6.（2019 浙江 18）设函数( )sin ,f xx xr. （1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值；（2）求函数22()()124yf xf x的值域 . 解 析 （ 1 ） 因 为()sin()f xx是 偶 函 数 ， 所 以 ， 对 任 意 实 数 x 都 有sin()sin()xx，即sin coscos sinsincoscos sinxxxx，故2sincos0 x，所以cos0又0,2 )，因此2或32（2）2222sinsin124124yfxfxxx1cos 21cos 2133621cos2sin222222xxx

2、x31cos 223x因此，函数的值域是331,12227 （2018 江苏）已知,为锐角，4tan3，5cos()5(1)求cos2的值；(2)求tan()的值【解析】 (1)因为4tan3，sintancos，所以4sincos3因为22sincos1 ，所以29cos25，因此，27cos22cos125(2)因为,为锐角，所以(0, ) 又因为5cos()5，所以22 5sin()1cos ()5，因此 tan()2 因为4tan3，所以22tan24tan 21tan7，因此，tan2tan()2tan()tan2()1+tan2tan()1128 （2018 浙江） 已知角的顶点与

3、原点o重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55p(1)求sin()的值；(2)若角满足5sin()13，求cos的值【解析】 (1)由角的终边过点34(,)55p得4sin5，所以4sin()sin5(2)由角的终边过点34(,)55p得3cos5，由5sin()13得12cos()13由()得coscos()cossin()sin，所以56cos65或16cos6529 （2017 浙江）已知函数22( )sincos2 3 sincosf xxxxx ()xr（）求2()3f的值；（）求( )f x的最小正周期及单调递增区间【解析】（）由23sin32，21cos32，2

4、()3f223131()()2 3()2222得2()23f（）由22cos2cossinxxx与sin22sincosxxx得( )cos23sin22sin(2)6f xxxx所以( )f x的最小正周期是由正弦函数的性质得3222262kxk，kz解得263kxk,kz所以( )f x的单调递增区间是2,63kk(kz)三角函数的图象与性质50 （2018 上海）设常数ar，函数2( )sin 22cosf xaxx(1)若( )fx为偶函数，求a的值；(2)若()314f，求方程( )12f x在区间， 上的解【解析】 (1)若( )f x为偶函数，则对任意rx，均有( )()f xf

5、x；即22sin 22cossin 2()2cos ()axxaxx，化简得方程sin20ax对任意rx成立，故0a；(2)2()sin(2)2cos ()131444faa，所以3a，故2( )3sin 22cosf xxx则方程( )12f x，即23 sin22cos12xx，所以23sin 22cos12xx，化简即为2sin(2)26x，即2sin(2)62x，解得1124xk或524xk，,zk k若求该方程在,上有解，则13 35,24 24k，19 29,24 24k，即0k或 1；0k或 1，对应的x的值分别为：1124、1324、524、192451 （2017 江苏）已知

6、向量(cos ,sin)xxa，(3,3)b，0,x（1）若ab，求x的值；（2）记( )f xa b，求( )f x的最大值和最小值以及对应的x的值【解析】（1）因为(cos ,sin)xxa，(3,3)b，ab，所以3 cos3sinxx若cos0 x，则sin0 x，与22sincos1xx矛盾，故cos0 x于是3tan3x又0,x，所以56x（2）(cos,sin) (3,3)3cos3sin2 3cos( )6f xxxxxxa b. 因为0,x，所以 7,666x，从而31cos()62x. 于是，当66x，即0 x时，( )f x取到最大值3；当6x，即56x时，( )f x取

7、到最小值2 3. 52 （2017 山东）设函数( )sin()sin()62f xxx，其中03已知()06f（）求；（）将函数( )yf x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数( )yg x的图象，求( )g x在3,44上的最小值【解析】（）因为( )sin()sin()62f xxx，所以31( )sincoscos22f xxxx33sincos22xx133(sincos)22xx3(sin)3x由题设知()06f，所以63k，kz故62k，kz，又03，所以2（）由（）得( )3 sin(2)3f xx所以( )3sin

8、()3 sin()4312g xxx因为3,44x，所以2,1233x，当123x，即4x时，( )g x取得最小值32三角函数的综合应用1.（2019 江苏 18）如图，一个湖的边界是圆心为o 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥 ab（ ab 是圆 o 的直径）规划在公路l 上选两个点p、q，并修建两段直线型道路pb、qa规划要求：线段pb、qa 上的所有点到点o 的距离均不小于圆 o 的半径已知点 a、b 到直线 l 的距离分别为ac 和 bd（ c、d 为垂足） ，测得 ab=10，ac=6，bd=12（单位：百米）（1）若道路pb 与桥 ab 垂直，求道路pb 的长；（2）在规

9、划要求下，p 和 q 中能否有一个点选在d 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路pb 和 qa 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时， p、q两点间的距离解析解法一：（1）过 a作aebd，垂足为 e. 由已知条件得，四边形acde为矩形，6,8debeacaecd. 因为 pbab，所以84cossin105pbdabe. 所以12154cos5bdpbpbd. 因此道路 pb的长为 15（百米） . （2）若 p在d处，由（ 1）可得 e在圆上，则线段be上的点（除 b，e）到点 o的距离均小于圆 o的半径，所以 p选在 d处不满足规划要求. 若 q在d处，联结 ad，由（

10、1）知2210adaeed，从而2227cos0225adabbdbadad ab，所以 bad为锐角 . 所以线段 ad上存在点到点 o的距离小于圆 o的半径 . 因此， q选在 d处也不满足规划要求. 综上， p和 q均不能选在 d处. （3）先讨论点 p的位置 . 当 obp90 时，在1ppb中，115pbpb. 由上可知， d15.再讨论点 q的位置 . 由（ 2）知，要使得qa15 ，点 q只有位于点c的右侧，才能符合规划要求.当qa=15时，22221563 21cqqaac.此时，线段 qa上所有点到点o的距离均不小于圆o的半径 . 综上，当 pb ab，点 q位于点 c右侧，

11、且 cq=3 21时， d最小，此时p， q两点间的距离pq=pd+cd+cq=17+3 21. 因此， d最小时， p，q两点间的距离为17+3 21（百米） . 解法二： （1）如图，过 o作ohl，垂足为 h. 以o为坐标原点，直线oh为y轴，建立平面直角坐标系. 因为 bd=12，ac=6，所以 oh=9，直线 l的方程为 y=9，点 a，b的纵坐标分别为3，- 3. 因为 ab为圆 o的直径， ab=10，所以圆 o的方程为 x2+y2=25. 从而 a（4，3）， b（- 4，- 3），直线 ab的斜率为34. 因为 pbab，所以直线 pb的斜率为43，直线 pb的方程为4253

12、3yx. 所以 p（- 13，9），22( 134)(93)15pb. 因此道路 pb的长为 15（百米） . （2）若 p在d处，取线段 bd 上一点 e（- 4，0），则 eo=45，所以 p选在 d处不满足规划要求 . 若 q在d处，联结 ad，由（ 1）知 d（- 4，9），又 a（4，3），所以线段 ad：36( 44)4yxx剟. 在线段 ad上取点 m（3，154），因为22221533454om，所以线段 ad上存在点到点 o的距离小于圆 o的半径 . 因此 q选在 d处也不满足规划要求. 综上， p和 q均不能选在 d处. （3）先讨论点 p的位置 . 当 obp90 时，在

13、1ppb中，115pbpb. 由上可知， d15.再讨论点 q的位置 . 由（ 2）知，要使得 qa 15，点 q只有位于点 c的右侧，才能符合规划要求.当qa=15时，设 q（a，9），由22(4)(93)15(4)aqaa，得 a=43 21，所以 q（43 21，9），此时，线段qa上所有点到点 o的距离均不小于圆o的半径 . 综上，当 p（- 13，9）， q（43 21，9）时， d最小，此时 p，q两点间的距离43 21( 13)173 21pq. 因此， d 最小时， p，q 两点间的距离为173 21（百米）12 （2018 江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆o的一

14、段圆弧mpn（p为此圆弧的中点）和线段mn构成已知圆o的半径为40 米，点p到mn的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形abcd，大棚内的地块形状为cdp， 要求,a b 均在线段mn上， ,c d 均在圆弧上 设oc与mn所成的角为nmpoabcd(1)用分别表示矩形abcd和cdp的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43 求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】 (1)连结po并延长交mn于h，则phmn，所以oh=10he kgnmpoabcd过o作oebc于e

15、，则oemn，所以coe，故40cosoe，40sinec，则矩形abcd的面积为240cos(40sin10)800(4sincoscos )，cdp的面积为1240cos (4040sin)1600(cossincos )2过n作gnmn，分别交圆弧和oe的延长线于g和k，则10gkkn令0gok，则01sin4，0(0,)6当0,)2时，才能作出满足条件的矩形abcd，所以sin的取值范围是1,1)4答：矩形abcd的面积为800(4sincoscos )平方米，cdp的面积为1600(cossincos )，sin的取值范围是1,1)4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43

16、，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(0)k，则年总产值为4800(4sincoscos )31600(cossincos )kk8000 (sincoscos )k，0,)2设( )sincoscosf，0,)2，则222( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f令( )0f，得6，当0(,)6时，( )0f，所以( )f为增函数；当(,)6 2时，( )0f，所以( )f为减函数，因此，当6时，( )f取到最大值答：当6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大13 （2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均

17、为 32cm， 容器的底面对角线ac的长为 107cm， 容器的两底面对角线eg，11e g的长分别为14cm 和 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器中，l的一端置于点a处，另一端置于侧棱1cc上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器中，l的一端置于点e处，另一端置于侧棱1gg上，求l没入水中部分的长度【解析】（1）由正棱柱的定义，1cc平面abcd，所以平面11a acc平面abcd，1ccac记玻璃棒的另一端落在1cc上点m处因为107ac，40am所以2240(10 7)30

18、mn，从而3sin4mac记am与水平的交点为1p，过1p作11pqac，1q为垂足，则11pq平面abcd，故1112pq，从而11116sinpqapmac答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm. ( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) （2）如图，o，1o是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义，1oo平面efgh，所以平面11e egg平面efgh，1ooeg. 同理，平面11e egg平面1111e f g h，1oo11e g. 记玻璃棒的另一端落在1gg上点n处 . 过g作gk11e g，k为垂足，则gk=1oo=32. 因为eg= 14 ，11e

19、g= 62 ，所以1kg= 6214242，从而222211243240ggkggk. 设1,eggeng则114sinsin()cos25kggkgg. 因为2，所以3cos5. 在eng中，由正弦定理可得4014sinsin，解得7sin25. 因为02，所以24cos25. 于是sinsin()sin()sincoscossinneg42473(35)525255. 记en与水面的交点为2p，过2p作22pqeg，2q为垂足， 则22p q平面efgh，故22p q=12，从而2ep=2220sinpnegq. 答: 玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm. ( 如果将“没入水中部分”理解

20、为“水面以上部分”，则结果为20cm)解三角形1.(2019全 国 理17)abc的 内 角a ， b ， c的 对 边 分 别 为a ， b ， c ， 设22(sinsin)sinsinsinbcabc（1）求 a；（2）若22abc，求 sinc解： （1） 由已知得222sinsinsinsinsinbcabc， 故由正弦定理得222bcabc由余弦定理得2221cos22bcaabc因为0180a，所以60a（2）由（ 1）知120bc，由题设及正弦定理得2 sinsin 1202sinacc，即631cossin2sin222ccc，可得2cos602c由于0120c，所以2sin

21、602c，故sinsin6060ccsin60cos60cos60sin60cc6242. （2019 全国理18） abc 的内角 a、 b、 c 的对边分别为a、 b、 c， 已知sinsin2acaba（1）求 b；（2）若 abc 为锐角三角形，且c=1，求 abc 面积的取值范围解析 （1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2acaba因为sin0a，所以sinsin2acb由180abc，可得sincos22acb，故cos2sincos222bbb因为cos02b，故1sin22b，因此60b（2）由题设及（1）知 abc的面积34abcsa由正弦定理得sin 120si

22、n31sinsin2tan2ccaaccc由于abc为锐角三角形，故090a，090c，由（ 1）知120ac，所以3090c，故122a，从而3382abcs因此，abc面积的取值范围是33,823.（2019 江苏 15）在 abc中，角 a，b，c的对边分别为a，b，c（1）若 a=3c，b=2，cosb=23，求 c 的值；（2）若sincos2abab，求sin()2b的值.解析 （ 1）由余弦定理222cos2acbbac，得2222(3 )( 2)323cccc，即213c.所以33c. （2）因为sincos2abab，由正弦定理sinsinabab，得cossin2bbbb，

23、所以cos2sinbb. 从而22cos(2sin)bb，即22cos4 1 cosbb，故24cos5b. 因为sin0b，所以cos2sin0bb，从而2 5cos5b. 因此2 5sincos25bb. 4.（2019 北京 15）在abc中，a=3，b- c = 2，1cos2b（）求b,c 的值；（）求sin(b- c)的值 . 解析： （i）由余弦定理2222cosbacacb，得222132 32bcc. 因为2bc，所以222123232ccc.解得5c，所以7b. （ii ）由1cos2b得3sin2b.由正弦定理得5 3sinsin14ccbb. 在abc中，b是钝角，所以

24、c为锐角 .所以211cos1 sin14cc. 所以4 3sinsincoscossin7bcbcbc. 5.（2019 天津理15）在abc中，内角,a b c所对的边分别为, ,a b c.已知2bca，3 sin4 sincbac. （）求cosb的值；（）求sin 26b的值 . 解 析 （ ） 在abc中 ， 由 正 弦 定 理sinsinbcbc， 得sinsinbccb， 又 由3 sin4 sincbac，得3 sin4 sinbcac，即34ba.又因为2bca，得到43ba，23ca. 由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbbaa. （）由（）

25、可得215sin1cos4bb，从而15sin22sincos8bbb，227cos2cossin8bbb，故153713 57sin 2sin2coscos2sin666828216bbb. 39 （2018 北京）在abc中，7a，8b，1cos7b(1)求a；(2)求ac边上的高【解析】 (1)在abc中，1cos7b，(, )2b，24 3sin1cos7bb由正弦定理得sinsinabab78sin4 37a，3sin2a(, )2b，(0,)2a，3a(2)在abc中，sinsin()sincoscossincababab=3114 3()2727=3 314如图所示，在abc中，

26、sinhcbc，sinhbcc=3 33 37142，ac边上的高为3 3240（ 2018 全国卷）在平面四边形abcd中，90adco，45ao，2ab，5bd(1)求cos adb；(2)若2 2dc，求bc【解析】 (1)在abd中，由正弦定理得sinsinbdabaadb由题设知，52sin45sinadb，所以2sin5adb由题设知，90adb，所以223cos1255adb(2)由题设及 (1)知，2cossin5bdcadb在bcd中，由余弦定理得2222cosbcbddcbd dcbdc22582522525所以5bc41 （ 2018 天津）在abc中，内角a，b，c所对

27、的边分别为a，b，c已知sincos()6baab(1)求角b的大小；(2)设2a，3c，求b和sin(2)ab的值【解析】 (1)在abc中，由正弦定理sinsinabab，可得sinsinbaab，又由sincos()6baab，得sincos()6abab，即sincos()6bb，可得tan3b又因为(0 )b，可得3b(2)在abc中，由余弦定理及2a，3c，3b，有2222cos7bacacb，故7b由sincos()6baab，可得3sin7a因为ac，故2cos7a因此4 3sin 22sincos7aaa，21cos22cos17aa所以，sin(2)sin2coscos2sinababab4 31133 372721442 （2017 新课标）abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知abc的面积为23sinaa(1)求sinsinbc；(2)若6coscos1bc，3a，求abc的周长【解析】（1）由题设得21sin23sinaacba，即1sin23sinacba由正弦定理得1sinsinsin23sinacba故2sinsin3bc（2）由题设及（ 1）得121co