勾股定理知识点梳理

1、名师总结优秀学问点勾股定理学问点梳理21.直角三角型有哪些特别的性质; 角，直角三角型的两锐角互余；边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在rt abc中， a2b2运算面积的方法；2. 如何判定一个三角形是直角三角形呢？c ； 面积，两种有一个内角为直角的三角形是直角三角形；两个内角互余的三角形是直角三角形；如b果三角形的三边长为a、b、c 满意 a2 22 ，那么这个三角形是直角三角形c3勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系区分：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关；4互逆命题的概念假如一

2、个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题；2225. 勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即正整数时，称a ， b ， c 为一组勾股数abc 中， a ， b ， c 为记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ， 8,15,17；9,40,41 等6.勾股定理的证明d勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法c用拼图的方法验证勾股定理的思路是h图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有间隙，面积不会转变e依据同一种图形的面积不

3、同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理fg常见方法如下：方法一： 4 sss， 41 ab2ba2c ，化简可证baacb方法二：正方形 efgh正方形 abcd2baacbc四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积bc2四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为s41 abc 2222abcca22a aab大正方形面积为saba2abbd222所以 abccb方法三： s1 ab ab ， s2ss2 1 ab1 c 2 ，化简得证ce梯形梯形2adeabe22abbc名师总结优秀学问点一典型例题类型一：勾股定理的直接用法1、在 rtabc中， c=90°1 已知

4、a=6， c=10，求 b， 2已知 a=40， b=9，求 c； 3已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形使用；举一反三【变式】 :如图 b= acd=90°, ad=13,cd=12, bc=3,就 ab 的长是多少 .类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求： bc的长 .思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 d，就有，再由勾股定理运算出ad、dc 的长，进而求出 bc的长 .举一反三 【变式1】如图，已知：，于p.求证：.【变式 2】已知：如图，b= d=90°

5、， a=60°， ab=4， cd=2；求：四边形abcd的面积；类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图，在一次夏令营活动中，小明从营地a 点动身，沿北偏东60°方 向走了到达 b 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地c 点；名师总结优秀学问点（ 1）求 a、c 两点之间的距离；（ 2）确定目的地c 在营地 a 的什么方向；举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门外形如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.【答案】 由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门

6、正中间时其高度是否小于 ch如下列图，点d 在离厂门中线0.8 米处，且cd，与地面交于h（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网 改造，某地有四个村庄a、b、c、d，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分 请你帮忙运算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理运算线路长，然后进行比较，得出结论举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一 只蚂蚁从点a 动身，沿着圆柱的侧面爬行到

7、点c，试求出爬行的最短路程解：名师总结优秀学问点如图，在rt中，底面周长的一半cm， 依据勾股定理得（提问：勾股定理） ac（cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm 类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段；思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作；举一反三【变式】在数轴上表示的点；解析： 可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1 ；作法 ：如下列图在数轴上找到a 点，使 oa=3，作 acoa 且截取

8、 ac=1，以 oc 为半径，以 o 为圆心做弧，弧与数轴的交点b 即为；类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判定是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系；解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华： 此题是为了学

9、习勾股定理的逆命题做预备；7、假如 abc的三边分别为a、b、c，且满意 a2+b2+c2 +50=6a+8b+10c，判定 abc 的外形；名师总结优秀学问点总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来讨论图形的位置关系的,在证明中也常要用到；举一反三 【变式 1】四边形abcd中， b=90°， ab=3， bc=4， cd=12， ad=13，求四边形 abcd的面积； n22【变式 2 】已知 : abc的三边分别为m,2mn,m22+n m,n为正整数 ,且 m n,判定 abc 是否为直角三角形.分析 :此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 : a2+b2=c2 即可证

10、明：所以 abc是直角三角形.【变式 3 】如图正方形abcd， e 为 bc中点， f 为 ab 上一点，且bf=ab；请问 fe与 de是否垂直 .请说明；经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、如直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积；思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积， 可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积；总结升华： 直角三角形边的有关运算中，经常要设未知数， 然后用勾股定理列方程（组）求解；举一反三【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积；【变式 2】直角三角形周长为12c

11、m，斜边长为5cm，求直角三角形的面积；【变式 3】如直角三角形的三边长分别是n+1， n+2， n+3，求 n； 思路点拨： 第一要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解；【变式 4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）a、8， 15， 17b、4， 5， 6c、5， 8， 10d、8， 39，40解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判定，【变式 5】四边形abcd中， b=90°， ab=3，bc=4， cd=12，ad=13，求四边形abcd的面积；类型二：勾股定理的应用2、如图，大路mn 和大路 pq 在点 p 处交汇，且 qpn 30

12、6;，点 a 处有一所中学， ap 160m；假设拖拉机行驶时，四周100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是否会受到噪名师总结优秀学问点声影响？请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（ 1）要判定拖拉机的噪音是否影响学校a，实质上是看a 到大路的距离是否小 于 100m,小于 100m 就受影响， 大于 100m 就不受影响， 故作垂线段ab 并运算其长度；（ 2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校a 的影响所行驶的路程；因此必需找到拖拉机行至哪一点开头影响学校，行至哪一点后终止

13、影响学校；同理，拖拉机行驶到点d 处学校开头脱离影响，那么，ad100m ，bd60m, cd 120m ；拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/s t 120m ÷5m/s 24s；答： 拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时， 学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒；总结升华 :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,如图形缺少直角条件, 就可以通过作帮助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理；举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了躲开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”；他们仅仅少走了 步路（假设2 步为 1m），却踩伤了 花草；解析

14、：他们原先走的路为3+4 7m设走“捷径”的路长为xm，就故少走的路长为7 5 2m又由于 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路；【答案】 4【 变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形；（ 1）直接写出单位正三角形的高与面积；（ 2）图中的平行四边形abcd 含有多少个单位正三角形？平行四边形abcd 的面积是多少？（ 3）求出图中线段ac 的长（可作帮助线） ；名师总结优秀学问点类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如下列图，abc是等腰直角三角形，ab=ac，d 是斜边 bc 的中点， e、f 分别是 ab、ac 边上的点，且de df，如 be=12， cf=5求线段 ef 的长；思路点拨： 现已知 be、cf，要求 ef，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，依据直角三角形的特点，三角形的中线有特别的性质，不妨先连接ad总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等学问；通过此题，我们可以