高考热点问题一：函数、导数、不等式(A)

1、高考热点问题一：函数、导数、不等式（a）1. 已知0a，关于x的不等式04)1(22xaax的解集是.2. 设不等式1)11(logxa的解集为d，若d1，则d3. 已知函数3( )3()f xxax ar，若直线0myx对任意的mr都不是曲线)(xfy的切线，则a的取值范围是4. 已知函数f(x) 2x，x0 x1，x0，若 f(a) f( a) 2012，则实数 a 的值等于 _5. 已知命题“若22( )f xm x，2( )2g xmxm，则集合1|( )( ),12xf xg xx”是假命题，则实数m的取值范围是6. 设函数)(xf是定义在r上的奇函数，且对任意rx都有)4()(xf

2、xf，当)02(，x时，xxf2)(，则)2011()2012(ff的值为7. 设正实数, ,x y z满足21xyz，则19()xyxyyz的最小值为 _8. 已知函数4322fxxaxxb，其中,a br若函数fx仅在0 x处有极值，则a的取值范围是9. 已知函数2( )|6 |f xx，若0ab,且( )( )f af b，则2a b的最小值是 _10. 设函数( )f x在 r 上可导，其导函数为,( )fx， 且函数)( )1 (xfxy的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是函数( )f x有极大值(2)f和极小值(1)f函数( )f x有极大值( 2)f和极小值(1)f函数( )

3、f x有极大值(2)f和极小值( 2)f函数( )f x有极大值( 2)f和极小值(2)f11. 已知定义域为d 的函数)(xf，对任意dx，存在正数k，都有kxf| )(|成立，则称 函 数)(xf是d 上 的 “ 有 界 函 数 ” 已 知 下 列 函 数 ： 1sin2)(2xxf； 21)(xxf；xxf2log1)(；1)(2xxxf，其中是“有界函数”的是 （写出所有满足要求的函数的序号）12.已知定义域为r 的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，当 x 0 时，f(x)0，则关于 x 的不等式 f(mx2)2f(x)f(m2x)2f(m)(0m2)的解集为 _13.

4、已知( )(2)(3)fxm xmxm,( )22xg x，若同时满足条件：对于任意xr，( )0f x或( )0g x成立；存在(, 4)x，使得( )( )0f xg x成立则 m 的取值范围是. 14. 若函数( )1ln(0)f xxax a对任意12,(0,1x x，都有121211|()()|4|fxf xxx，则实数a的取值范围是15. 已知函数( )ln3()f xaxaxar（i ）当1a时，求函数( )f x的单调区间；（ii ）若函数( )yf x的图象在点(2,(2)f处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的1,2t， 函数32( )( )2mg x

5、xxfx在区间( ,3)t上总存在极值？16. 已知函数( )11f xxx。（1）求函数( )f x的定义域和值域；（2）设2( )( )2( )2af xfxf x（a为实数），求( )f x在0a时的最大值( )g a；（3）对（ 2）中)(ag，若222( )mtmg a对0a所有的实数a及 1,1t恒成立，求实数m的取值范围。17. 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 abcd 是正方形，其中ab=2 米；上部cdg 是等边三角形，固定点e 为 ab 的中点 emn 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），mn 是可以沿设

6、施边框上下滑动且始终保持和ab 平行的伸缩横杆（1）设 mn 与 ab 之间的距离为x米，试将 emn 的面积 s（平方米）表示成关于x 的函数；（2）求 emn 的面积 s（平方米）的最大值g e a b n d m c （17 题）18. 已知函数( )sinf xxx （1）设 p，q 是函数( )f x 图象上相异的两点，证明：直线pq 的斜率大于0；（2）求实数 a 的取值范围，使不等式( )cosf xaxx在02，上恒成立19. 已知集合121212( ,)0,0,dx xxxxxk其中k为正常数（1）设12ux x，求u的取值范围（2）求证：当1k时不等式21212112()(

7、)()2kxxxxk对任意12(,)x xd恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2kxxxxk对任意12(,)x xd恒成立的k的范围高考热点问题一：函数、导数、不等式（a）参考答案15. 解：( )(0)afxa xx（i ）当1a时，11( )1xfxxx，令( )0fx时，解得01x，所以( )f x在（ 0，1）上单调递增；令( )0fx时，解得1x，所以( )f x在（ 1， +）上单调递减（ii ）因为函数( )yf x的图象在点（2，(2)f）处的切线的倾斜角为45o，所以(2)1f所以2a，2( )2fxx322( )22mg xxxx32(2)22mxxx，2

8、( )3(4)2g xxm x，因为任意的1,2t，函数32( )( )2mg xxxfx在区间( ,3)t上总存在极值，所以只需(2)0,(3)0,gg解得3793m16.解：(1)由 1+x0 且 1-x 0，得 -1 x1, 所以定义域为 1,1 2 分又22( )22 12,4,f xx由( )f x0 得值域为2, 2 4 分（2）因为22( )( )2( )1112af xfxf xaxxx令( )11tf xxx，则221112xt，( )( )f xm ta(2112t)+t=21,2,22atta t 6 分由题意知g(a)即为函数21( ),2,22m tatta t的最大

9、值。注意到直线1ta是抛物线21( )2m tatta的对称轴。7 分因为 a0 时,函数 y=m(t),2, 2t的图象是开口向下的抛物线的一段，若1(0,2ta，即22a则( )(2)2g am 8 分若1( 2,2ta，即2122a则11( )()2g amaaa 10 分若1(2,)ta，即102a则( )(2)2g ama 11 分综上有2,1( ),22,ag aaa1221,2222aaa 12 分（3）易得min( )2ga， 14 分由222( )mtmg a对0a恒成立，即要使2min22( )2mtmga恒成立，15 分220mtm，令22h tmtm，对所有的1,1 ,

10、0th t成立，只需,02) 1(02) 1(22mmhmmh 17 分求出 m 的取值范围是2,m或m=0,或m2. 18 分17. 解： （1）如图 1 所示，当 mn 在正方形区域滑动，即 0 x 2时， emn 的面积 s=x221=x； 2 分如图 2 所示，当mn 在三角形区域滑动，即 2 x32时，如图，连接eg，交 cd 于点 f，交 mn 于点 h， e 为 ab 中点， f 为 cd 中点， gf cd，且 fg3. 又mn cd， mng dcggfghdcmn，即3)23(2xmn 5 分故emn 的面积 sxx3)23(221xx)3321(332； 7 分综合可得：

11、322,)3321(3320,2xxxxxs 8 分说明：讨论的分段点x=2 写在下半段也可（2）当 mn 在正方形区域滑动时，xs，所以有20s； 10 分当 mn 在三角形区域滑动时，s=xx)3321(332. 因而，当2231x（米），s在) 32, 2(上递减，无最大值，20s所以当2x时， s 有最大值，最大值为2 平方米 . 14 分e a b g n d m c 图 2 h f 18. 解： （1）由题意，得( )1cos0fxx所以函数( )sinf xxx 在 r 上单调递增设11()p x y，22()q xy，则有12120yyxx，即0pqk6 分（2）当0a时，(

12、)sin0cosf xxxaxx 恒成立8 分当0a时，令( )( )cossincosg xf xaxxxxaxx ，( )1cos(cossin )g xxaxxx1(1)cossinaxaxx当10a，即01a时，( )11cossin0g xaxaxx，所以( )g x在02，上为单调增函数所以( )(0)0sin00cos00g xga，符合题意 10 分当10a，即1a时，令( )( )1(1)cossinh xg xaxaxx ，于是( )(21)sincosh xaxaxx 因为1a，所以210a，从而( )0h x 所以( )h x 在02，上为单调增函数所以(0)( )2h

13、h xh，即2( )12ah xa，亦即2( )12ag xa12 分（i）当20a，即12a时，( )0g x ，所以( )g x 在02，上为单调增函数于是( )(0)0g xg，符合题意14 分（ii）当20a，即2a时，存在002x，使得当0(0)xx，时，有( )0g x，此时( )g x 在0(0)x，上为单调减函数，从而( )(0)0g xg，不能使( )0g x恒成立综上所述， 实数 a的取值范围为2a16 分19. 解： （1）221212()24xxkx x，当且仅当122kxx时等号成立，故u的取值范围为2(0,4k（2） 变形，得121212121221111()()xxxxx xxxx xxx222212121212121211122xxkkx xx xux xx xx xu. 由204ku，又1k，210k，21( )2kf uuu在2(0,4k上是增函数，所以121211()()xxxx212kuu22222214222()4424kkkkkkk即当1k时不等式21212112()()()2kxxxxk成立（3）令121211()()xxxx212