北京市海淀区高三第一次模拟考试数学文科试题

1、海淀区高三文科数学试题（ 1）如 sincos0 ，且 cos0 ，就角是（）（ a ）第一象限角（ b） 其次象限角（ c）第三象限角（d ）第四象限角（ 2）函数f x =2x 的反函数yf1x 的图象是（）y 21o12xy21o12xy21o12x（ a ）（b ）（c）（ d）（ 3）如向量a =（ 1， 2）， b =（ 1， - 3），就向量a 与 b 的夹角等于（）（ a ） 45（b ） 60（c） 120（d ） 135（ 4）已知 l 是直线，、是两个不同平面，以下命题中真命题是（）（ a ）如 l /， l /，就/（ b）如， l /，就 l （ c）如 l ， l

2、/，就（d ）如 l /，/，就l /（ 5）“ a2 ”是“直线 2 x +ay -1 = 0 与直线ax +3y -2 = 0 平行”的（）（ a ）充分必要条件（ b）充分而不必要条件（ c）必要而不充分条件（ d）既不充分也不必要条件（ 6）函数f xsin 4x 的一个单调增区间为（）（ a ） 3, 7（ b）, 3（ c） ,（d ） 3,44442244（ 7）如实数a,b,c 成公差不为0 的等差数列，就以下不等式不成立的是（）（ a ） b -1a +. 2c-b（ b ） ab +bc +ca . a2b2 + c2（ c） b 2ac（ d） b -a .cb（ 8）对

3、于数列 an ，如存在常数m ，使得对任意nn * ，an 与 an1 中至少有一个不小于m ，就记作 an m ，那么以下命题正确选项（ a ） .如 anm ，就数列 an 各项均大于或等于m（ b） 如 anm ， bn m ，就 anbn 2m（ c）如 an m ，就 an m22（ d）如 anm ，就 2 an12m1二、填空题 :本大题共6 小题 ,每道题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.（ 9）函数 ysin x 的最小正周期是.（ 10）在 2x6 的绽开式中，x 的系数是 （用数字作答）.（ 11）椭圆的两个焦点为f1 、 f2 ，短轴的一个端点为a ，且三角

4、形f1af2 是顶角为 120o的等腰三角形形，就此椭圆的离心率为.（ 12）已知四周体p a b c 中 ， papbpc ，且 abac，bac90 ，就异面直线pa 与 bc所成的角为.（ 13）在abc 中，ac =6, bc =2 ， b =60. ，就 a 的大小是； ab=.x 1，（ 14.）如实数 x， y 满意y x，就 z3x2 y 的最小值是；在平面直角坐标系中，x2y2 - 4x2 0此不等式组表示的平面区域的面积是.三、解答题：（ 15）（本小题共12 分）已知 ax | xa |4 ， bx | x2 |3 .（ i）如 a1，求 ab ；（ ii ）如 abr，

5、求实数 a 的取值范畴 .（ 16）（本小题共14 分）如图，四棱锥pabcd 中，pa平面 abcd ，底面 abcd 为直角梯形，且ab / cd ，bad90 ，paaddc2 ，ab4 .p（ i）求证：bcpc ；（ ii ）求 pb 与平面 pac 所成的角的正弦值；（ iii ）求点 a 到平面 pbc 的距离 .abdc（ 17）（本小题共13 分）已知数列 an 前 n 项的和为sn ，且满意sn = 1-nan n =1，2，3， .（）求（）求a1 、 a2 的值； an .（ 18）（本小题共13 分）3 名理想者在10 月 1 日至 10 月 5 日期间参与社区服务工

6、作，如每名理想者在这5 天中任选两天参与社区服务工作，且各名理想者的挑选互不影响.求（）这3 名理想者中在10 月 1 日都参与社区服务工作的概率；（）这3 名理想者中在10 月 1 日至多有 1 人参与社区服务工作的概率.19 （本小题共14 分）已知函数fx 是定义在r 上的奇函数，当x0 时， fx2x3mx21 m x .（ i）当 m2 时，求fx 的解析式；（ ii ）设曲线 yfx 在 xx0 处的切线斜率为k,且对于任意的x01,1-1 k 9，求实数 m 的取值范围.（ 20）（本小题共14 分）在 pab 中，已知a6,0、 b6,0，动点 p 满意 papb4 .（ i）

7、求动点p 的轨迹方程；（ ii ）设 m2,0， n 2,0，过点 n 作直线 l 垂直于 ab ，且 l 与直线 mp 交于点 q ，试在 x轴上确定一点 t ，使得 pnqt ；（ iii ）在（ ii ）的条件下，设点q 关于 x 轴的对称点为r ，求 opor 的值 .挑选题： cadcbabd文科数学试题答案填空题：（ 9） 2（10） 240（ 11）32（ 12 ） 90 （ 13） 45°3 + 1（ 14） 02 -215 解：（ i）当 a =1 时，a = x -3 < x <5 .2 分b = x x < -1或x >5 .4 分a .

8、 b x -3 < x < -1 .6 分（ ii ）a = x a -4 < x <a + 4 .8 分b = x x < -1或x >5 . 且 a . br.ìa -í4 < - 110分.a + 4 > 51 < a <3 .11 分实数 a 的取值范畴是1,3 .12 分注 如答案误写为1 剟a16 解：方法13 ，扣 1 分（ i）证明：在直角梯形abcd 中，ab / cd ，bad90 ，addc2adc90 ， 且 ac22 .1 分取 ab 的中点 e ，连结 ce ，由题意可知，四边形aecd

9、 为正方形，所以aece2 ，又 be1 ab22 ，所以 ce1 ab ，2就abc 为等腰直角三角形，所以 acbc ，2 分又由于 pa平面 abcd ，且ac 为 pc 在平面 abcd 内的射影，bc平面 abcd ，由三垂线定理得， bcpc4 分(ii) 由i 可知， bcpc ， bcac ， pcacc ，所以 bc平面 pac ，5 分pc 是 pb 在平面 pac 内的射影，所以cpb 是 pb 与平面 pac 所成的角，6 分又 cb22 ，7 分pb 2pa2ab220 ， pb25 ，8 分sin cpb10 ，即 pb 与平面 pac 所成角的正弦为109 分55

10、(iii) 由ii 可知， bc平面 pac ， bc平面 pbc ，所以平面 pbc平面 pac ，10 分过 a 点在平面pac 内作 afpc 于 f ，所以 af平面 pbc ，就 af 的长即为点a 到平面 pbc 的距离，11 分在直角三角形pac 中， pa2 ， ac22 ，12 分pc23 ，13 分所以 af26 即点 a 到平面 pbc 的距离为26 3314 分方法 2 ap平面 abcd ，bad90以 a 为原点， ad 、ab 、ap 分别为 x、 y、z 轴，建立空间直角坐标系1 分 paaddc2 ， ab4 . b 0,4,0,d 2,0 ,0 ,c2,2,

11、0,p 0,0,22 分（ i） bc2,2,0, pc2,2,2 bc pc03 分 bcpc ,即b cp c4 分(ii) ap0,0,2, ac2,2,0设面 apc 法向量 nx,y, zn apn ac0z0,6 分02x2 y0设 x1,y1 n1,1,07 分 pb0,4,2 cospb, npb n8 分| pb | n |10=9 分5即 pb 与平面 pac 所成角的正弦值为105(iii) 由 pb0,4,2, pc2,2,2 设面 pbc 法向量 ma,b, cm pbm pc04b2c0,02a2b2c011 分设 a1,c2, b1 m1,1,212 分点 a 到

12、平面 pbc 的距离为 d| ab m |13 分| m |26=3点 a 到平面 pbc 的距离为2631714 分（ i）当 n =1 时，a1 = 1-a1.1 分a1 =1.2 分2当 n =2 时，a2 =a1 +16a2 = 1-2a23 分5 分（）sn = 1-nan当 n 32 时 sn- 1 = 1-n -1an- 1an =n -1an- 1 -nan7 分a=n - 1 a9 分nn- 1an =n + 12an n + 1110 分1=nn + 1111 分当 n =1 时 a1 =符合上式12 分2an =1nn + 1n =1，2，313 分（ 18）解法 1:（

13、 i）这 3 名理想者中在10 月 1 号参与社区服务工作的人数恰好为3 人的大事为a1 分c1 34pa3c2585 分125这 3 名理想者中在10 月 1 号参与社区服务工作的人数恰好为3 人的概率为8.125（）这3 名理想者中在10 月 1 号参与社区服务工作的人数至多为1 人的大事为b6 分32c 2c 1c1c 24344pb3327548113 分c 2c 212512512555这 3 名理想者中在10 月 1 号参与社区服务工作的人数至多为1 人的概率为解法 2：81.125（ i）这 3 名理想者中在10 月 1 号参与社区服务工作的人数恰好为3 人的大事为a1 分3pa

14、285 分5125这 3 名理想者中在10 月 1 号参与社区服务工作的人数恰好为3 人的概率为8.125（）这3 名理想者中在10 月 1 号参与社区服务工作的人数至多为1 人的大事为b6 分132pb323275481c313 分555125125125这 3 名理想者中在10 月 1 号参与社区服务工作的人数至多为1 人的概率为81.125（ 19）解 :（ i）f x 是定义在r 上的奇函数，f 0 = 0.1 分当 x0 时，f x =2x3 +mx2 +1-m x .当 x0 时，f x = -f - x2 分f x = - -2x3 +mx2 -1-mx= 2x3 -mx2 +1

15、-m x3 分.ì2x3 + mx2 +1-mxx0f x = í 32.4 分.2x -mx +1-m xx < 0当 m =2 时,f x =ì. 2x3 +.3í2x2 -x, x05 分.2x -2x2 -xx < 0ì.6x2 + 2mx + 1-m, x0 由i 得:f x = í 26 分.6x -2mx+ 1-m,x < 0曲线 yfx 在 xx0 处的切线斜率，对任意的x01,1，总能不小于 -1 且不大于9， 就在任意 x01,1时， -1剟 f x0 89恒成立,7 分 f x 是偶函数对任意x

16、00,1 时， -1剟 f x0 9恒成立即可 1 当m,0 时，由题意得6f 01f 1,90 剟m29 分 2 当 0m ,1 时 6.ì. f -f.ím .1 60 . 9.f1 . 9.6 . m0 m11 分 3 当1时6.ì. fí. f0 ,91.18 . m613 分综合1 2 3 得，8 剟m-214 分实数 m 的取值范畴是 m |8 剟m02 .（ 20） 解：（ i）papb4ab，动点 p 的轨迹是以a 、 b 为焦点的双曲线的右支除去其与x 轴的交点 .1 分x2设双曲线方程为a 2a2b21a0, b0 .由已知，得c6,2a4,c6,解得2 分a2, b2 .3 分22动点 p 的轨迹方程为xa1 x2 .4 分42注：未去处点（2， 0），扣 1 分（ ii ）由题意，直线mp 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程 x =2.设 mp 的方程为yk x2 .5 分点 q 是 l 与直线 mp 的交点，q 2, 4k .设 p x0 , y0 22xy1,由42yk x2整理得12k 2 x28k 2 x8k 240.就此方程必有两个不等实根x12, x2x0212k 20. ，且8k 242x012k 2 .4k4k224k y0k x0212k 2 . p