第7章拉伸与压缩

1、第7章 拉伸与压缩教学提示：本章介绍拉伸与压缩最基本的内容，包括拉伸与压缩的概念，横截面上的内力与应力计算，拉伸或压缩时的强度、刚度计算，材料在拉伸与压缩时的力学性质，拉伸和压缩的超静定问题，应力集中的概念。期中横截面上的内力与应力计算，拉伸或压缩时的强度、刚度计算是本章的重点。教学要求：本章让学生掌握拉伸与压缩的概念，横截面上的内力与应力计算，拉伸或压缩时的强度、刚度计算，掌握截面法分析内力的方法，能熟练地画出工程结构的轴力图。7.1 拉伸与压缩的概念工程实际中，发生拉伸与压缩变形的构件是很常见的。如内燃机的连杆、上紧的螺栓杆、悬臂吊车的拉杆、液压传动机构中油缸的活塞杆、悬臂起重机等，都是拉

2、伸或压缩的实例。如图7-1、图7-2、图7-3所示。 图7-2液压传动机构中油缸的活塞杆 图7-1悬臂吊车的拉杆图7-3悬臂起重机通过以上实例可以看出，拉伸与压缩杆件的受力特点是：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。上述变形形式称为拉伸与压缩变形。由于是沿杆件轴线伸长或缩短，所以也叫轴向拉伸与压缩。拉（压）杆的受力简图如图7-4所示。图7-47.2 横截面上的内力与应力为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了解杆的内力情况。材料力学中，采用截面法研究杆的内力。7.2.1横截面上的内力一、内力的概念构件的材料是有许多质点组成的。构件不受外力作用时，材料内

3、部质点之间保持一定的相互作用力，使构件具有固体形状。当构件受外力作用产生变形时，其内部质点之间相互位置改变，原有内力也发生变化。这种由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。工程力学所研究的内力是由外力引起的，内力随外力的变化而变化，外力增大，内力也增大，外力撤销后，内力也随着消失。显然，构件中的内力是与构件的变形相联系的，内力总是与变形同时产生。构件中的内力随着变形的增加而增加大，但对于确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过这一限度，构件将发生破坏。因此，内力与构件的强度和刚度都有密切的联系。在研究构件的强度、刚度等问题时，必须知道构件在外力作用下某截

4、面上的内力值二、截面法确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。截面法求内力的步骤可归纳为:（1）截开:在欲求内力截面处,用一假想截面将构件一分为二。（2） 代替:弃去任一部分,并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替(即显示内力)。（3）平衡:根据保留部分的平衡条件,确定截面内力值。三、杆件的内力计算如图7-5（a）所示为一受拉杆,用截面法求m-m 截面上的内力，取左段（ 图7-5b）为研究对象：图7-5由X=0 N-P=0解得 N=P同样以右段（ 图7-5c）为研究对象：由X=0 -P=0解得 =P由上可见N与大小相等，方向相反，符合作用与反作用定律。由于内力的作用线与轴线重合，故称轴

5、力。其实际是横截面上分布内力的合力。为了无论取哪段，均使求得的同一截面上的轴力N有相同的符号，则规定：轴力N方向与截面外法线方向相同为正，即为拉力；相反为负，即为压力。四、轴力图轴力图是在以截面位置x为横轴、以截面对应轴力N为纵轴的坐标系上作出的关于轴力的图像。轴力图可以反映出轴力沿杆件轴线的变化规律，是强度校核与设计的重要依据。在以后的拉压问题中，只要沿轴线轴力值不完全相同，就必须画出轴力图，轴力图是内力图的一种，以后介绍基本变形时，还要介绍其它变形的内力图。轴力图的画法为：以x为横轴代表横截面所对应的位置，以y为纵轴代表轴力的大小，把正的轴力画在x轴的上方，把负的轴力画在x轴的下方，对应成

6、比例。下面举例说明轴力计算及轴力图的画法。例7-1 试求图7-6(a)中所示直杆指定载面的轴力值并画出整个杆的轴力图。已知：，。图7-6解 (1)求C端约束反力画出整个杆的受力图，如图5-8(b)所示，由整个杆的平衡条件， 得 (2)计算图5-8(b)中指定1-1，2-2上的截面轴力 1-1截面 （取左侧，1-1截面外法线向右，见7-6(c)）2-2截面 （取右侧，2-2截面外法线向左，见7-6c)）(3)画轴力图由截面法分析可知，AB段所有截面轴力与1-1截面相同，BC段所有截面轴力与2-2截面相同。故轴力图如图7-6(d)所示。7.2.2横截面上的应力1.横截面上的正应力从前面的分析可以知

7、道，拉压杆横截面上的内力只有轴力，与轴力对应的应力为正应力，且它们之间满足如下的静力学关系： (a)为了将上式中的正应力 求出来，必须知道 在横截面上的分布规律，而应力分布规律与变形有关，为此，通过试验观察杆的变形。如图7-7(a) 所示为一等截面直杆，试验前，在杆表面画两条垂直于杆轴的横线ab 和cd，然后，在杆两端施加一对大小相等、方向相反的轴向载荷。从试验中观察到：横线ab 和cd 仍为直线，且仍垂直于杆件轴线，只是间距增大，分别平移至a'b' 和c'd' 位置。根据这种现象，可以假设杆件变形后横截面仍保持为平面，且仍然垂直于杆的轴线。这就是平面假设。由此

8、可以推断拉杆所有纵向纤维的伸长是相等的。再考虑到材料是均匀的，各纵向纤维的力学性能相同，故它们受力相同，即正应力均匀分布于横截面上， 等于常量。于是由式(a)得(7.1)式(7.1)即为杆件受轴向拉伸或压缩时，横截面上正应力计算公式，适用于横截面为任意形状的等截面直杆。可见，正应力与轴力具有相同的正负号，即拉应力为正，压应力为负。(a) (b)图7-7若轴力沿轴线变化，或截面的尺寸也沿轴线缓慢变化时(图7-7(b)，只要外力合力与轴线重合，公式(7.1)仍可适用。这时把它写成(b)式中表示这些量都是横截面位置坐标x的函数。应该指出，公式(7.1)只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作

9、用点附近的应力情况则比较复杂(因为实际上杆端外力一般总是通过各种不同的连接方式传递到杆上的)。但圣维南(Saint-Venant)原理指出：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”，这一原理已被实验所证实。因此在拉压杆的应力计算中，都以公式(7.1)为准。当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图求得其最大轴力，代入公式(7.1)即得杆内的最大正应力为 (7-2) 横截面上的正应力横截面上的内力（轴力）A横截面的面积最大轴力所在的横截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为最大工作应力。2.斜截面上的应力为了全面分析拉压杆的强度问题，仅仅研究横截面上的正应力是不

10、够的，还需研究其斜截面上的应力情况。考察图 7-8(a)所示拉压杆，利用截面法，沿任一斜截面mm将杆截开，取左半部分为研究对象，该斜截面的方位以其外法线On 与x 轴的夹角 表示，且规定：从x 轴逆时针旋转到外法线On 时，角 为正，反之为负。如前所述，杆件横截面上的应力均匀分布，由此可以推断，斜截面mm上的总应力 也为均匀分布(图7-8(b)，且其方向必与杆轴平行。设杆件横截面的面积为A，则杆左半部分的平衡方程为由此可得斜截面mm上各点处的应力为式中，表示杆件横截面上的正应力。图7-8将应力 沿截面法向与切向分解(图7-8(c)，得斜截面上的正应力与切应力分别为 (7.3)式(7.3)是求拉

11、压杆中任意斜截面上正应力和切应力的计算公式。它反映了和值随斜截面方位角 的变化规律。其正负符号规定如下：正应力 仍规定拉应力为正，切应力 规定绕研究对象体内任一点有顺时针转动趋势时为正值，反之则为负值。由式(7.3)可知：(1) 当 = 0时，正应力最大，其值为max = ，即拉压杆的最大正应力发生在横截面上，其值为 。(2) 当 = 45时，切应力最大，其值为max = / 2，即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45的斜截面上，其值为 / 2。(3) 当 = 90时， = = 0，即与横截面垂直的纵截面上不存在应力。(4) 当=+ 90时,= 。这表明：在两个互相垂直的截面上，切应力必然成对

12、出现，其数值相等，方向为共同指向或背离此两垂直面的交线(图7-8(d)。这个规律称为切应力互等定理。这是一个普遍成立的定理，在任何受力情况下都是成立的。例7-2 一受轴向荷载的阶梯轴，如图7-9a图所示。求各段横截面上的应力。并画轴力图。解：1.求轴力。将截面法分别应用于阶梯轴的AB、BC、CE及EF段（为何这样图7-9 分段，建设读者自行思考），容易得出： 2. 轴力图如例题7-9b图。3. 求应力。应力的计算应根据轴力、横截面积的不同来分段进行计算。 从以上计算结果可以看出，对于受拉受压承受能力相同的材料来讲，DE段是最危险的，因为DE段的应力绝对值最大。7.3 拉伸或压缩时的强度计算7.

13、3.1 材料的极限应力材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值。用表示。所谓正常工作，一是不变形，二是不破坏。对于塑性材料，极限应力有两个，即材料的屈服极限和强度极限，工程中多数情况下不允许构件产生塑性变形，因此常以作为塑性材料的极限应力；对于脆性材料，因其没有明显的屈服阶段，故只以强度极限作为极限应力。极限应力是理论上的应力设计极限值，因为在设计时，很多情况难以精确计算，所以实际中是不能按照极限应力值进行设计的，要考虑给构件必要的安全储备。工程设计往往采用许用应力。7.3.2 许用应力许用应力是构件正常工作，材料允许达到的最大应力值。用表示。显然，许用应力是低于极限应

14、力的。而许用应力也是通过极限应力并考虑安全储备而得来的。即许用应力对于塑性材料，通常取=，对于脆性材料，=，于是式中和分别是对应于塑性材料与脆性材料的安全系数。一般来讲因为断裂破坏比屈服破坏更危险7.3.3 安全系数的确定安全因数是表示构件安全储备大小的一个系数。正确地选择安全因数是十分重要而又非常复杂的问题。安全因数取得偏大，将会造成材料的浪费；安全因数取得过小，又可能使构件不能正常工作甚至发生破坏性事故。因此，安全因数的选取必须体现既安全又经济实用的设计思想。确定安全因数时应该考虑的因素一般有：载荷的类型以及对载荷估计的准确性；材质类型(塑性材料或脆性材料)，包括材质的均匀性和材料性能数据

15、的可靠性；实际构件简化过程和计算方法的精确程度；构件的重要性及其工作条件等。许用应力和安全系数的数值，可在有关业务部门的一些规范中查到。目前一般机械制造中，在静载的情况下，对塑性材料可取ns=1.22.5。脆性材料均匀性较差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取nb=23.5，甚至取到39。7.3.4 轴向拉伸和压缩时的强度计算许用应力是构件正常工作时应力的极限值，即要求工作应力不超过许用应力，这就是构件轴向拉伸或压缩时的强度条件： (2.20)一般而言，式中N应是构件内轴力的最大值，A为杆的横截面面积，对变截面轴，应考虑N与A的比值，其最大值作为上述公式中的。针对不同情形，可利用上述强度条

16、件对拉（压）构件进行下列三种强度计算根据强度条件，按照求解方向的不同，实际强度问题可分为以下三方面的问题：1强度校核工程实际中，当需要检验某已知构件在已知载荷下能否正常工作时，构件的材料、截面积及所受载荷都是已知或可以计算出来，需要预先知道构件能否强度条件，即判断强度条件不等式 (7-2)是否成立。如果强度条件不等式满足，则强度满足；反之，强度不足。事实上，任何设计出来的构件在投入使用之前都必须经过严格地校核。2设计截面尺寸如果构件的受力情况是知道的，材料也已选定，那么可以在满足强度条件的前提下，将强度条件变化为先算出截面面积，再根据截面形状，设计出具体的截面尺寸。3确定许可载荷通常对于已经加

17、工出来的构件，其材料及尺寸都是已经确定的，为最大限度地应用这一构件，往往需要确定该构件所能承受的最大载荷，可将强度条件变化为根据上式确定出构件的最大许可载荷，知道了结构中每个构件的许可载荷，再根据结构的受力关系，确定出整个结构的许可载荷。例7-3 上料小车，每根钢丝绳的拉力Q=105kN，拉杆的面积A=60´100mm 材 料为Q235钢，安全系数n=4。试校核拉杆的强度。NN图7-10解：由于钢丝绳的作用，拉杆轴向受拉，每根拉杆的轴力横截面积：查表，Q235号钢的屈服极限为许用应力根据强度条件，有拉杆符合强度要求例7-4油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D=350mm，油压

18、p=1MPa。螺栓许用应力=40MPa，求螺栓的内径。 图7-11例7-5 AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，=120MPa。确定许可载荷F。 7.4 拉伸或压缩时的变形由实验可知，直杆在轴向载荷作用下，将会发生轴向尺寸的改变，同时还伴有横向尺寸的变化。轴向伸长时，横向就略有缩小；反之轴向缩短时，横向就略有增大。7.4.1 轴向变形设等直杆的原长度为 l(图7.12)，横截面面积为A。在轴向拉力F作用下，长度由l变成l。杆件在轴线方向的伸长为图 7.12l = l l由于拉(压)杆的轴向伸长是均匀变形，将l 除以l 得杆件轴线方向的线应变（7-3）杆件横截面

19、上的应力为胡克定律指出：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 = E式中，弹性模量E的值随材料而不同。几种常见材料的E 值已列入表7-1 中。若把上两式代入公式(7.3)，得 （7-4）这表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l 与载荷F 和杆件的原长度l 成正比，与横截面面积A 成反比。这是胡克定律的另一表达形式，以上结果同样可以用于轴向压缩的情况，只要把轴向拉力改为压力，把伸长l 改为缩短就可以了。从公式(7.4)可看出，对长度相同，受力相等的杆件，变形l 与EA 成反比，即EA 越大则变形l 越小，所以EA 称为杆件的拉伸(压缩)刚度。它是衡量杆件抵抗变形能力的一个量。7

20、.4.2 横向变形设等直杆变形前的横向尺寸为 b(图7.12)，变形后为b，则横向缩短为（7-5）由于拉(压)杆的横向变形也是均匀变形，所以，横向应变为(7-6)试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变 与轴向应变 之比的绝对值是一个常数，即(7-7) 称为泊松比，又称横向变形系数，与E 一样，也是材料固有的弹性常数，且是一个没有量纲的量，常用材料的弹性模量和泊松比见表7-1。表 7-1虎克定律在使用时需要注意以下几点：1. 应力不超过比例极限是虎克定律的适用范围。比例极限是材料的一个特性指标，通过实验测得，我们在材料的力学特性当中介绍。应力超过比例极限后，虎克定律误差较大，不再适用。2

21、. 应力与应变、轴力与变形必须在同一方向上。3. 在长度内，须保证N、E、A均为常量，所用经常用分段计算的方法以保证上述各量为常量。例7-6如图所示托架，水平杆BC为钢圆杆，其直径d=30mm。斜杆AB由两根70×70×6mm的等边角钢组成。若=160MPa，E=200GPa, 试校核托架的强度，并求B点的位移。设P=50kN。图7-13 解:1.求各杆轴力。取节点B为研究对象，由平衡方程可求得1、2杆轴力分别为 2.强度校核 BA、BC杆应力分别为 由此可见托架的两杆都满足强度要求，故整个结构强度是满足要求的。3求B点的位移。根据虎克定律分别求出BA、BC两杆的变形为 这

22、里l1为压缩变形，而l2为拉伸变形。对位移BB3的求解，通常有两种方法： 图解法，即按同一比例作出7-13b图所示多边形B2BB1B3，然后直接从图b中量出BB3的值； 解析法，即根据图b所示的三角关系进行求解。下面用解析法求出BB3。从图b中可看出B点的垂直位移 B点的水平位移B点的位移BB3为 7.5 材料在拉伸与压缩时的力学性质构件的强度、刚度与稳定性，不仅与构件的形状、尺寸及所受的外力有关，而且与材料的力学性能有关。所谓材料的力学性能是指材料受外力作用后，在强度和变形方面所表现出来的特性，也称为机械性质。材料的力学性能不仅与材料内部的成分和组织结构有关，还受到加载速度、温度、受力状态及

23、周围介质的影响。本节主要介绍常用材料在常温和静载作用下处于轴向拉伸和压缩时的力学性能，这是材料最基本的力学性能。7.5.1材料拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能主要通过拉伸试验得到。为了便于对试验结果进行比较，国家标准金属拉伸试验方法(GB 2281987)规定：试件必须做成标准尺寸，称为比例试件。一般金属材料采用圆截面或矩形截面比例试件(图7-14)。试验时在试件等直部分的中部取长度为l的一段作为测量变形的工作段，其长度l称为标距。对于圆截面试件，通常将标距l 与横截面直径d的比例规定为：l10d 或 l5d图7-14前者称为长试件，后者称为短试件。对于矩形截面试件，其标距与横截面面积A

24、 的比例规定为材料的拉伸试验通常在万能试验机上进行。万能试验机由三个部分组成，即加力部分、测力部分和自动绘图装置。试验时，将试件安装在试验机的夹具中，然后开动试验机，试件受到缓慢增加的拉力，直到拉断为止。试验过程中试件受到的拉力F 可由试验机的示力盘读出，而工作段的伸长量l 则可由变形仪表测出，同时自动绘图装置还可自动绘出Fl 曲线，称为材料的拉伸图。下面介绍几种典型材料的拉伸试验结果。1.低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是工程中广泛应用的金属材料，其拉伸时的力学性能最为典型，下面详细进行介绍。低碳钢的拉伸图(Fl 曲线)如图7-15(a)所示。为了消除试件尺寸的影响，将拉力F 除以试件横截面的原

25、始面积A，得到横截面上的正应力 F A；同时，将伸长量l 除以标距l，得到线应变l/ l。以 为纵坐标， 为横坐标，绘出与拉伸图相似的 曲线，如图7-15(b)所示。此曲线称为应力应变曲线。 图7-15根据试验结果(图7-15(b)，低碳钢的力学性能大致如下：1)弹性阶段弹性阶段可分为两段：直线段Oa 和微弯段ab。直线段Oa表示应力 与应变 成正比关系，故称Oa 段为比例阶段或线弹性阶段。a 点所对应的应力值称为材料的比例极限，用表示。是材料服从胡克定律的最大应力。即当 时， E 。其中，弹性模量E 等于直线段Oa的斜率，即Etan 。低碳钢Q235 的比例极限 200MPa ，弹性模量E

26、200GPa。过了 a 点后，图线ab微弯而偏离直线Oa，表示 与 不再成正比例关系，将ab曲线段称为非线弹性阶段。只要不超过b 点，在卸去载荷后，试件的变形能够完全消除，这说明试件的变形是弹性变形，故Ob段称为弹性阶段。b 点所对应的应力值称为弹性极限，用表示。在 曲线上，a、b 两点非常接近，所以工程上对a、b 两点并不严格区分。2)屈服阶段超过弹性极限后， 曲线上的bc 段呈接近水平线的小锯齿形阶段。这时应力几乎不增加，而变形却迅速增加，材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象称为屈服或流动。bc 段称为屈服阶段。使材料发生屈服的应力，称为材料的屈服应力或屈服极限(也称为屈服点)，用表示。

27、低碳钢Q235 的屈服应力 235MPa。如果试件表面光滑，则当材料屈服时，在试件表面可观察到与轴线约成45°角的倾斜条纹(图7-16(a)，称为滑移线。这是因为在试件的 45°斜面上，作用有最大切应力 ，当 达到某一极限值时，由于金属材料内部晶格之间产生相对滑移而形成了滑移线。材料屈服表现为显著的塑性变形，而工程中的大多数构件一旦出现显著的塑性变形，将不能正常工作(或称失效)。所以屈服应力 是衡量材料失效与否的强度指标。 (a) (b)图7-163)强化阶段经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使试件继续变形必须再增加载荷。这种现象称为材料的强化或称为应变硬化。这

28、时 曲线又逐渐上升，直到曲线的最高点e。所以ce 段称为材料的强化阶段或硬化阶段。e 点所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限或抗拉强度，它是衡量材料强度的另一个重要指标。低碳钢Q235的强度极限 b 380MPa 。在强化阶段中，试件的变形绝大部分是塑性变形，此时试件的横向尺寸有明显的缩小。4)颈缩阶段在 e 点之前试件产生匀布变形。过e 点后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成颈缩现象(图7-16(b)。由于试件颈缩处的横截面面积显著减小，载荷读数开始下降，在 曲线中应力随之下降，直至f 点试件断裂。ef 阶段称为局部变形阶段。在拉伸过程中，由于试件的横向尺寸不

29、断缩小，所以在 曲线中按试件原始面积求出的应力 F/ A，实质上是名义应力(或为工程应力)。相应地，按试件工作段的原始长度求出的线应变 l/ l，实质上是名义应变(或为工程应变)。对于解决弹性范围内的实际问题，按试件原始尺寸得到的名义 曲线所提供的数据足以满足工程实际的需要。5) 卸载定律及冷作硬化如果试件拉伸到强化阶段的任一点d处(图7-15(b)，然后逐渐卸除载荷，则应力和应变关系将沿着与直线段Oa 几乎平行的直线段dd下降到d点。这说明在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化，这就是卸载定律。若用 表示卸载时的应力增量，用 表示卸载时的应变增量，则有 = E 。如果卸载后不久又重新加载，应

30、力应变关系基本上沿着卸载时的同一直线d d 上升到d点，然后沿着原来的 曲线def 直到断裂。可见，在重新加载过程，材料的比例极限得到了提高，而塑性变形却减小了，这种现象称为冷作硬化。冷作硬化经过退火后又可消除。在工程中，经常利用冷作硬化来提高钢筋和钢缆绳等构件在线弹性范围内所能承受的最大载荷。6) 延伸率和断面收缩率试件拉断后，弹性变形消失，塑性变形Of 则保留下来。工程上用试件拉断后保留的变形来表示材料的塑性性能。衡量材料的塑性指标有两个：一个是延伸率(也称伸长率)，用 表示；另一个是断面收缩率(也称截面缩减率)，用 表示。它们的计算公式分别为工程中常用延伸率和断面收缩率来表示材料的塑性。

31、式中，l为试件拉断后工作段的长度，l 为试件标距原长； A为试件拉断后颈缩处的最小横截面面积，A为试件原始横截面面积。延伸率 越大，表明材料的塑性性能越好。工程上通常按延伸率的大小把材料分为两大类： 5%的材料称为塑性材料或韧性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；而把 5%的材料称为脆性材料，如铸铁、砖石、玻璃、陶瓷等。低碳钢Q235的延伸率 = 20% 30% 左右，这说明低碳钢是一种塑性性能很好的材料。断面收缩率 也是衡量材料塑性性能的重要指标， 越大，材料的塑性性能越好。低碳钢Q235的断面收缩率 60%。7.5.2 低碳钢压缩时力学性能用低碳钢做成短圆柱形压缩试件，一般做成高是直径的1.53

32、倍，过长的试件会被压弯而失稳，以后会介绍。压缩试验同样可以在万能材料试验机上进行。为了便于比较材料在拉伸和压缩时的力学性能，在图中同时以虚、实线画出应力应变曲线，不难看出，拉伸和压缩的前两个阶段是一样的，包括相同的比例极限、屈服极限和弹性模量。没有颈缩，压缩时，试件变扁成片，始终不会破坏，因而不存在强度极限。由于工程中多数构件设计时要求在弹性阶段内，所以，可以认为以低碳钢为代表的塑性材料，其抗拉与抗压性能基本相同，且抗拉抗压能力较强，因此工程中的受拉构件，尤其是受拉和受压交替变化的构件，多采用塑性材料，如内燃机中的连杆。7.5.3 铸铁拉伸压缩时的力学性能铸铁材料拉伸时应力应变是条弯曲的曲线，

33、如图7-17虚线所示。图7-17没有屈服阶段，没有颈缩阶段，塑性变形极小，延伸率通常只有O.5O.6,强度指标只有强度极限。严格意义上讲，应力与应变的关系不符合虎克定律，但由于铸铁总是较小的应力范围内工作，在应力较小时，应力应变曲线与直线相近似，可以近似使用虎克定律，误差较小，弹性模量E近似等于常量。 铸铁压缩时的应力应变曲线与其拉伸时相比形状极为相似。压缩时同样无明显的直线部分与屈服阶段，表明压缩时也是近似地符合虎克定律。且不存在屈服极限，其强度极限与延伸率都远比拉伸时高，强度极限是拉伸时的3倍，也比低碳钢高1.5倍以上。此外，铸铁拉伸时断面与轴线垂直，而压缩时断面与轴线成角。这表明拉伸是在

34、最大拉应力下造成的破坏，而压缩是在最大剪应力下造成的破坏。这要用应力状态的理论进行解释，后面还要讲到。 以上可以看出，以铸铁为代表的脆性材料，其抗拉抗压性能不同。抗压性能远高于抗拉性能，甚至高于塑性材料的抗拉性能。而抗拉性能则很差，与塑性材料相比，铸铁脆性材料造价十分低廉。因此，工程中的受压构件多采用脆性材料制成，如自重较大的机器底座常由铸铁制成。 工程中常见的几种材料的力学特性可参看下表表7-2几种常见材料的力学性能指标材料名称或牌号屈服极限（MPa）强度极限（MPa）延伸率（%）A3钢216235373461252745号钢265353530588131616Mn2753454715101

35、92140Cr343785588981815QT60-2球墨铸铁4125882HT1533灰铸铁（拉）98275（压）6377.6 拉伸、压缩静不定问题7.6.1 静不定问题的一般解法结构的约束反力或构件的内力均可由静力平衡方程求出，这类问题称静定问题。可是在工程实际中，常常会遇到另一类问题，即结构的约束反力或构件的内力未知量个数多于独立的静力平衡方程数目，则不能单纯凭静力平衡方程来求其解答。这类问题称静不定问题，也称超静定问题。对这类问题设未知量的个数为s，静力平衡方程的数目为n，则：称为静不定次数（或超静定次数），相应的问题称z次静不定问题。超静定问题不是不能求解，要解超静定问题，除列出全

36、部独立平衡方程以外，还需要列出含有未知力的补充方程，以增加方程个数，达到求解的目的。根据构件间变形协调关系列出的补充方程称作变形协调方程。增加变形协调方程，是解决超静定问题的关键。下面举例加以说明。例7-7 内燃机的气阀弹簧和车辆的缓冲弹簧经常采用双层圆柱螺旋弹簧（7-18图）。若内弹簧的刚度为C1，外弹簧的刚度为C2，压力为P，试求内、外弹簧各自分担的压力。解：设内、外弹簧所承担的压力分别为P1 、P2 ，静力平衡关系显然为：Y=0， P1+P=P因为s=2，n=1，z=s-n=1，所以此乃一次静不定问题。将弹簧看作杆件，则轴力分别为N1= P1、N2= P2。因弹簧采用双层内外结构，显然两

37、部分受压变形应相等，故变形协调关系应为：联系受力与变形的物理关系应为：联立求解以上三部分方程得： 图7-18可见，内、外弹簧所承担的力与各自的刚度成正比。而刚度C1和C2又与弹簧的尺寸和材料的机械性质等有关。图7-19 静不定的刚性梁板结构 例7-8 在图示结构中，假设AC梁为刚杆，杆1、2、3的横截面面积均为A，材料相同。试求三杆的轴力。 解：取横梁AB及1、2、3杆的部分为研究对象（7-19C图），静力平衡方程为：本题中s=3，n=2，则z=s-n=1，故此题也是一次静不定问题，有三个未知量N1、N2、N3，以上仅得到两个独立的平衡方程，故还不能求得解答。现考虑变形协调方面，设在载荷P作用

38、下，横梁移动到AB（7-19b图），则杆1、2、3的伸长量分别为l1、l2、l3。从而，根据图b可得变形协调关系为：联系受力与变形的物理关系即虎克定律为：联立求解以上三方面方程可得：上述的求解方法和步骤，对一般的超静定问题都是适用的，现总结如下：列出静力平衡方程，确定静不定次数。列出变形协调条件，其数目应与静不定次数相等。 列出物理方程。 联立求解以上方程，得到全部未知量。 刚性直杆AB通过三根材料、长度、截面积完全相等的竖直二力杆铰接成水平如图7-19(a)所示。设载荷F=30KN，杆截面为圆形，直径，材料许用应力=60MPa，试校核三根杆的强度。（c）图7-19解：（1）以AB杆为研究对象

39、，受力如图7-19(b)所示。列平衡方程 (1) 化简得 (2)（2）变形协调方程。根据刚性杆的变形协调关系，有代入虎克定律有化简得 (3)将方程（1）、（2）、（3）联立，求得（3）校核三杆的强度。因为三根杆的材料、截面积完全相同，而3杆的受力最大，故3杆最危险故此超静定结构强度不足。7.6.2 温度应力温度的变化将引起结构物或其部分构件的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，因此当温度在整个结构上均匀变化时，不会在结构杆件内产生应力。但在静不定结构中，由于“多余约束”，结构的变形部分或全部受到约束，温度变化将会引起杆内的应力，这种应力称为温度应力。计算温度应力的方法与静不定问题的解法相似，不同

40、之处在于杆的变形包括由温度引起的变形和应力引起的弹性变形两部分。下面以例题说明温度应力问题的求解方法及步骤。例7-9图中AB为一装在两个刚性支承间的杆件。设杆AB长为l，横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，试求温度升高T时杆内的温度应力。解：若无B端约束，则温度升高T后，杆将伸长lT(7-20b图)，但因刚性支承的阻挡，使杆不能伸长，这就相当于在杆的两端施加了轴向载荷，设其分别为P1 、P2（7-20c图）。考虑平衡： 图7-20 温度应力显然杆件轴力N= P1 =P2 ，但s=2，n=1，z=s-n=1，属一次静不定问题。考虑变形协调有： 式中lT表示温度升高引起的变形；lN表

41、示轴向载荷引起的弹性变形。考虑物理方面由线膨胀定律有 由虎克定律有 联立求解得由于温度升高T，引起的轴力则温度应力。由于事先假定了温度引起的轴力为压力，故此应力的正号说明此温度应力为压应力。若设杆的材料是钢，当温度升高时，则杆内温度应力为几种常用材料的线膨胀系数的数值列于表7.3中。表7.3 几种材料的线膨胀系数材料名称(10-6/)材料名称(10-6/)钢铜黄铜、青铜10.0130167170200铝混凝土木材25.510.014.02.05.07.6.3 装配应力在工程中，构件在加工时，尺寸出现微小误差是在所难免的，装配时就要按原尺寸强行安装。对于静定结构，尺寸的偏差是不会引起内力和应力的

42、；但对于静不定结构，这种误差使杆件在真正承载之前就在杆件内部产生了应力，这种应力称作装配应力。例7-10 图7-21a所示之刚性梁由三根刚杆支承，刚杆之横截面面积A均为20cm2 ,2杆的长度比1、3杆短了=0 .5mm。试求在结构安装后，各杆横截面上的应力。解：1. 平衡方程 s=3，n=1, z=s-n=2为二次静不定问题。 图7-21 装配应力 2. 变形协调条件 3. 物理方程 4. 联立求解以上各式并考虑到，得 由此可见，即使是很小的加工误差，也会产生很大的装配应力。对于超静定结构，其构件的加工精度要求一定要很高。7.7 应力集中图7-22a所示的带孔板条，未受力前在其表面上画出许多

43、细小方格。加轴向载荷后，可以看到-截面上，孔边方格比起离孔稍远的方格，其变形程度要严重得多（图7-22b）。这表明-截面上孔边应力比同截面上其它处应力大得多（图7-22c）。这种由于截面尺寸改变而引起的应力局部增大的现象称为应力集中。应力集中现象只是发生在孔边附近，而离孔稍远应力急剧下降且趋于平缓，所以应力集中现象是局部性的。为了描述应力集中的程度，通常把-截面上孔边的最大应力与同一截面上的平均应力的比值，称为应力集中系数，记作，即 对于板宽超过孔径四倍的板条，其应力集中系数。值的大小反映了应力集中的程度，是一个大于1的系数。图7-22 大量分析表明，构件的截面尺寸改变得越急剧，切口尖角越小，

44、应力集中的程度就越严重。各种材料对应力集中的敏感程度并不相同。低碳钢等塑性材料因有屈服阶段存在，当局部的最大应力到达屈服极限时，将发生塑性变形，应力基本不再增加。当外力继续增加时，处在弹性变形的其它部分的应力继续增长，直至整个截面上的应力都达到屈服极限时，才是杆的极限状态。所以，材料的塑性具有缓和应力集中的作用。由于脆性材料没有屈服阶段，当应力集中处的最大应力达到时，杆件就会在该处首先开裂，所以应考虑应力集中的影响。但铸铁等类组织不均匀的脆性材料，由于截面尺寸急剧改变而引起的应力集中对强度的影响并不敏感。对于在冲击载荷或在周期性变化的交变应力作用下的构件，应力集中对各种材料的强度都有较大的影响

45、。本章小结拉伸与压缩变形是四种基本变形中最常见，也是最基础的一种。作为第一种基本变形，我们希望通过这一章，把材料力学中基本变形研究方法的精髓介绍给大家。1基本概念（1）拉伸与压缩受力特点：所有外力或外力的合力沿杆轴线作用。变形特点：杆沿轴线伸长或缩短。（2）轴力：轴向拉伸与压缩任意截面的内力都沿轴线作用，称为轴力。（3）应力：是截面上一点的受力，是单位面积上的内力。应力通常分解为垂直截面的正应力和沿截面的剪应力。拉伸与压缩杆件横截面上只有正应力，且正应力沿横截面均匀分布，截面上任意点的应力为（4）危险截面：构件内部最大正应力所在截面。（5）变形：绝对变形：杆件的伸长量或缩短量。线应变：单位长度上的伸