北京四中高考数学总复习知识梳理函数的图象

1、学习必备欢迎下载函数的图像【考纲要求】1. 结合二次函数图像，明白函数的零点与方程根的联系，判定一元二次方程根的存在性及根的个数2. 依据详细函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解3. 明白指数函数、对数函数以及幂函数的增长特点知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义4. 明白函数模型 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用5. 会作简洁的函数图像并能进行图像变换；6. 结合图像懂得函数、方程、不等式之间的关系；【学问网络】函数的图像二幂二次指分函对法数函数图像与性质、图像变换【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1

2、. 当 xr时，二次方程ax2bxc0 （ a0 ）的根的个数可以用判别式b24 ac 与 0 的关系进行判定；2. 二次方程ax2bxc0 （ a0 ）的根x1 、x2 与系数的关系：x1x2bc， x1 x2；aa3. 二次方程ax 2bxc0 （ a0 ）的根的分布：结合f xax2bxc （ a0 ）的图像可以得到一系列有关的结论（a0 可以转化为a0 ）：（ 1）方程f x0 的两根中一根比r 大，另一根比r 小f r 0 .学习必备欢迎下载（ 2）二次方程f x0 的两根都大于rb24ac0 br2af r 0b 24ac0（ 3）二次方程f x0 在区间 p, q内有两根pbq

3、2af q 0f p0（ 4）二次方程f x0 在区间 p ,q 内只有一根f qf p 0 ，或f p0而另一根在 p, q 内，或f q0 而另一根在 p, q 内.（ 5）方程f x0 的一根比p 小且一根比 q 大（ pq ）f p0f q0考点二：零点1. 函数的零点(1) 一般地，假如函数yf x在实数 a 处的值为0，即f a 0 ，就 a 叫做这个函数的零点(2) 对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具以下性质： 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号转变； 相邻两个零点之间的全部的函数值保持符号不变；(3) 函数零点的性质是争论方程根的分布问题的基础，是通

4、过对二次函数的零点的争论而推出的是由特别到一般的思想方法；2. 二分法(1) 已知函数yf x 在区间 a ，b 上连续的，且f a f b0 ，通过不断地把函数yf x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，从而得到零点的近似值的方法，叫做二分法；(2) 二分法定义的基础，是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤只要按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点（ 3）二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识此步骤本身就是一个解题程学习必备欢迎下载序；这种程序化思想在运算机上得到了广泛的应用考点三：图像变换（一）函数图像1. 作图方法：

5、以解析式表示的函数作图像的方法有两种，即列表描点法和图像变换法，把握这两种方法是本节的重点运用描点法作图像应防止描点前的盲目性，也应防止盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图像的存在范畴、大致特点、变化趋势等作一个大致的争论而这个争论要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图像变换法作函数图像要确定以哪一种函数的图像为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点2. 作函数图像的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；争论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、特别点（如：零点、极值点、与轴的交点） ；描点连线，画出函数的图像；（

6、二）图像变换图像变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等；（ 1）平移变换（左加右减，上加下减）把函数f x 的图像向左平移a a0 个 a 单位，得到函数f xa 的图 像，把函数f x 的图像向右平移a a0 个 a 单位，得到函数f xa的图像，把函数f x 的图像向上平移a a0 个 a 单位，得到函数f xa 的图像，把函数f x 的图像向下平移a a0 个 a 单位，得到函数f xa 的图像；（ 2）伸缩变换把函数把函数yf x 图像的纵坐标不变，横坐标伸长到原先的1 倍得wyf x 图像的纵坐标不变，横坐标缩短到原先的1 倍得wyf yf x 0<<1x

7、 >1把函数yf x 图像的横坐标不变，纵坐标伸长到原先的w 倍得yf x>1把函数yf x 图像的横坐标不变，纵坐标缩短到原先的w 倍得yf x0<<1（ 3）对称变换：函数yf x 和函数yf x的图像关于x 轴对称函数 yfx 和函数yf x 的图像关于y 轴对称函数 yfx 和函数yf x 的图像 关于原点对称函数 yfx 和函数 yf1 x 的图像关于直线yx 对称简洁地记为：x 轴对称 y 要变， y 轴对称 x 要变，原点对称都要变；学习必备欢迎下载对于函 数 yf x xr,f xaf bx 恒成立 , 就函数f x 的对称轴是xab2（ 4）翻折变换：

8、把函数y=fx图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数yf x 的图像；保留 y 轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数yf x 的图像；【典型例题】类型一：图像变换例 1写出以下函数作图过程，然后画出以下函数图像的草图.（ 1） y2 x1x1（ 2） y x1 x2（ 3） y| lg x |（4） y2| x 1|【解析】（ 1） y2x12 x1121x1x1x11先作出函数y的图像，x再把函数1y的图像向右平移一个单位得到函数x1y的图像，x1最终把函数y1的图像向上平移2 个单位，x1得到函数y21的图像；x1x2x2 x2（ 2

9、）y x1 x2x2x2x2然后作出函数的图像；（ 3）第一作出函数ylgx 的图像，再把函数ylgx 的图像 x 轴上方保持不变，把 x 轴下方的图像对称地翻折到x 轴上方，即得函数y| lgx | 的图像；（ 4）第一作出函数y2 x 的图像 ，然后把y2 x 的图像 y 轴右边的保持不变，去掉y 轴左边的图像，再把 y 轴右边的图像对称地翻折到y 轴左边，即得函数y2|x| 的图像，最终把函数y2 |x| 的图像向左平移一个单位，得到函数y2|x1|的图像；【总结升华】作函数图像的基本方法有两种：学习必备欢迎下载(1) 描点法；(2) 图像变换法：利用基本初等函数变换作图，其中把握好1

10、平移变换； 2对称变换； 3伸缩变换；举一反三：【变式】作出以下函数的图像1y3yx2 x12xx12ylg x1【答案】类型二 ：一元二次方程的根的分布例 2 已知函数f xx 2a 21xa2的一个零点比1 大，一个零点比l小；求实数a 的取值范畴【解析】方法一： 设方程 x 2a 21 x a20 的两根分别为x 、 x（ x1x ）1221就 x21x110即 x2 x1x 2x110由韦达定理得：a2a2110即 a 2a20 ，解得：2a1方法二： 函数f x x 2a21 xa2的大致图像如图：就 f 10即 a2a 2110解得：2a1【总结升华】 1.这类题为方程的实根分布问

11、题，解决此类问题肯定要留意结合图像，从判别式、韦达定理、 对称轴、 端点函数值的大小、开口方向等方面去考虑使结论成立的全部条件；函数与方程联系亲密，可把函数问题转化为方程问题解决，也可用数形结合法；22.函数 y=ax +bx+c,当 a0 时，才是二次函数，详细问题时，切忌忽视争论a=0 的情形；3三个”二”次的关系是高考考查的重中之重，把二次方程和二次不等式的问题从二次函数的观点动身运用数形结合思想分析处理是高考应考必需落实的基本思路；举一反三：【变式】已知方程2mx m3 x10 至少有一正根，求实数m 的取值范畴 .【答案】从二次函数的观点动身，结合函数图像与x 轴交点的位置解决问题并

12、对m 进行分类争论；令 f xmx2m3 x1，学习必备欢迎下载就函数yf x的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，（ 1）如 m0 ，就f x3 x1 与 x 轴交点 1 ,03，符合题意；（ 2）如 m0 ，f 01 ，即函数yf x 的图像肯定过点0,1 ，有当 m0 时，yf x 的图像开口向上，只有下图所示情形符合题意，0b即0m323m4m0, 解得 0m1 .02a2m当 m0 时，yf x 的图像开口向下，必定有一个交点在原点右侧，符合题意.综上可得 m,1类型三：零点的判定例 3.求方程1 x 2x333 的解的个数x【解析】作出函数y13和 y21 x2x13 23x15的图像，x33243且 x时， y2215， y142 ，有y1y2 （如图）由图像可以知道：函数3y和1y2x1 x 23x3 的图像的交点的个数为3，学习必备欢迎下载即方程 1 x 332x3 x30 的解的个数为3.【总结升华】 1. 此题在求解的过程中，只需作出反映函数性状的“大致”图像，结合函数的单调区间便可解决本问题，只要得出极大值为正，微小值为负，便可立刻得到原方程有3 个根2. 把方程问题转化为函数问题，将方程和函数紧密联系起来，利用数形结合思想解决问题比较便利；通过运算作方程所对应函数的函数值表格或作出函数的图