北大附中高考数学专题复习数列极限数学归纳法练习

1、学科：数学教学内容：数列、极限、数学归纳法综合才能训练【综合才能训练】一、挑选题1.数列 a n 是等比数列，以下结论中正确选项（）a. an ·an+1 >0b. an· an+1· an+2 >0c. an·an+2 >0d. an· an+2· an+4 >02.在等比数列 a 中， a =sec 为锐角 ，且前 n 项和 s满 足 lim s = 1 ， 那 么 的n1nnna1取值范畴是（）a. （0，）b.（ 0，）c.（ 0，）d.（ 0，）2364n3.已知数列 a n 中， an=2n156n

2、 n，就数列 a n 的最大项是 a. 第 12 项b. 第 13 项c.第 12 项或 13 项d.不存在4.三个数成等差数列，假如将最小数乘等比数列，就原等差数列的公差肯定是（2，最大数加上）7，所得三数之积为1000，且成a.8b.8 或 15c.± 8d. ±155.已知数列 a n:1121,+,+233423+,44129+101010，那么数列1anan 1的全部项的和为（）a.2b.4c.3d.56.已知 a、b r,|a|>|b|，又limnn 1naba n> limnn 1naba n，就 a 的取值范畴是a. a>1b. 1<

3、a<1c.|a|>1d.a>1 或 1<a<07.lim 1 +1+1+1的值是 n4464684682n11a.1b.61111c.d.18248.等差数列 a n 中， a10<0,a11>0 ，且 |a10|<|a11|， sn 为其前 n 项之和，就 a. s 1,s2， s10 都小于零， s11， s12，都大于零b. s1,s2， s5 都小于零， s6， s7，都大于零c. s1,s2， s19 都小于零， s20， s21，都大于零d. s1,s2， s20 都小于零， s21，s22，都大于零9.将自然数1， 2， 3， n，

4、按第k 组含 k 个数的规章分组： （ 1），（2， 3），（4， 5，6），那么1996 所在的组是（）a. 第 62 组b. 第 63 组c. 第 64 组d. 第 65 组10.在等差数列中，前n 项的和为sn,如 sm=2n,sn=2m,m 、n n 且 m n，就公差d 的值为（）a. 4mn mnb.mn4mn c.2mnmnd.mn2mn11. 设 数 列 an 、 bn 都 是 公 差 不 为0的 等 差 数 列 ， 且limnan=2 ， 就bnml ib1nb2na3 nb2 n等于 111a.1b.2c.d.3412.a、b r，且 |a|<1,|b|<1，就

5、无穷数列：1,1+ba,1+b+b 2a2,1+b+b 2+bn 1an 1的和为（）1a.1a1b1b.1ab2c.1a1ab 1d.1a 1ab二、填空题13. 设 z1in= n n ， 记 s =|z z|+|z z |+|z z |， 就 lim s =；nn22132n+1nnn14.在等比数列 a n 中， a1=1,|q| 1，如 am=a1· a2· a3·· a10，就 m=；15.数列 a n 是公差为d0 的等差数列，如a1,a2 是方程 x 2 a3x+a 4=0 的二根，就通项公式 an=；16.fx 1=x+x 2+x 3+

6、x nx 0,1 ，设fx 中x 的系数为sn,x3 的系数为t n，limns2tnn=；n 4三、解答题17.一个含有7 项的数列，它的奇数位置的项顺次成等差数列，偶数位置的项顺次成等比数列，全部奇数位置的项之和减去第2 项 与第6 项之积所得的差是42，又首项、末项、中间项之和为27，求第 4 项；18.设 f nx=fffx （n 个 f ），（ 1）求 f2 x,f 3x;f xx1x 2（ 2）猜想 fnx ，并证明你的结论；19.已知 a>0 且 a 1，数列 a n 是首项、公比都为a 的等比数列，令bn=anlgann n；（ 1）当 a=2 时，求数列 b n 的前

7、n 项之和；（ 2）当 a= 6 时，数列 b7n 中从第几项开头每一项总小于它后面的项；x220.已知函数fx=x2xn n n的最小值为an，最大值为bn， 且 cn= n x141+3anbn；（ 1）求数列 c n 的通项公式；（ 2）求证：3 12nn1<1k 1 ck<2 1n 2；n21.曲线 c： xy=1x>0 与直线 l:y=x 相交于 a1 ,作 a 1b1l 交 x 轴于 b1，作 b1a 2 l 交曲线 c 于 a 2依此类推；（ 1）求点 a 1，a 2， a 3 和 b1， b 2， b3 的坐标；（ 2）猜想 a n 的坐标，并加以证明；（ 3

8、） lim| bn bn1 | ；nbn1 bn22.设 t n 为数列 a n 前 n 项的和， tn=（n n）；（ 1）求数列 a n 的通项公式；3an 1）n n；数列 b n 的通项公式为bn=4n+3（2（ 2）如 c a 1,a2,a3,an, b 1,b2,b3,bn, 就 c 称为数列 a n,b n 的公共项，将数列a n 与b n 的公共项按它们在原数列中的先后次序排成一个新的数列c n ；证明： 数列 c n的通项公式为cn=3 2n+1n n;（ 3）设数列 c n 中的第n 项是数列 b n 中的第m 项， b m 为数列 b n 前 m 项的和； d nan为数

9、列 c n 前 n 项的和，且a n=b m d n；求： lim4 ；nan 参考答案【综合才能训练】21.c2.d3.c4.c5.b6.d7.c8.c9.b10.a11.c12.d13.1+2514.4615.an=2n16.2417.解设这 7 个数为： a1,a2,a3,， a7，就 a1, a3,a5,a7，成等差数列，a2,a4,a6 成等比数列，依题意有：a1a3a5a1a4a7a7a2 a64227解、得：a4113 或 a4113 ；18.解（ 1） f 2x=x12x 2,f 3x=x13x 22f nx=x1nx219.解（ 1）依题有an=an, bn=nanlga；n

10、 sn=1+2a+3a2+nan 1 ·alga,可求得 s =a lg a1 1+n na· an1a 2当 a=2 时， sn=21+n 1· 2nlg2 ；666（ 2） 令 b>b ,（ k n），就 b b =k+1 ·（）k 1·lg6k ·k·lg6 =k· 6k+1kk+1k7777771k ·lg76,（76 ）k>0,lg76<0， 而 bk+1 >bk,761k<0 ； k>6 ，故从第七项开头每一77项总比它后面的项小；20.解（ 1）整理已知得

11、：y 1x2+y+1x+y n=0 ； x r, 0，即 =y+1 24y 1y n 0y 1， 3y2 4n+6y+4n 1 0.由此知：a ,b 就是方程3y24n+6y+4n 1=0 的两个根， 由根与系数的关系得：a ·b = 1nnnn3（4n 1）， cn=n2；n1n1n1当 y=1 时 ， x=, x，其中 x | x 22 只是 k 的一个子集，即不是全部2x r 都满意 y=1 ，舍去；（ 2）先证：n1k 1 c k> 3 21n 2n1n1n=k 1 c kk 1n11n2 >1+kk 211k k111=1+k 2kk=1+12n131=2n1n

12、 2再用同样方法证：n1k 1 c k<2 1n 2；n21.解（ 1） a 1（ 1， 1）， a 2（2 +1，2 1）， a 3（3 +2 ，3 2 ）b1（ 2， 0）， b2（ 22 ，0）， b3（ 23 ， 0）；（ 2）a nn +n1 ,n n1 ，证明略；（ 3）设 a n1,an,b nbn,0a n由图： a 1（ 1，1）， b 1（2， 0） a1=1,b 1=2 且1nbanan1nabn 1anan在直线 yxbn1上 lim| bn bn1 | = lim2an 1= limn1n ，分子分母同乘以（n1 +n ）n| bn1 bn |n2annnn1n +n1 及limnn11= lim11n =1nn1nn111n322. 解 （ 1） a1=2a1 1， a1=3；当 n 2 时， an=t n tn1 可求得：anan 1=3； a n是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，an=3n；（ 2 ） 设 a n 中 的 第k项 与 b n 中 的 第r项 相 同 ， 就 ： 3k =4r+3k,r n ， 又3k+1 =3·3k=3 ·4r+3=43r+2+1, ak+1 不是 b n 中的项，又329.3k49r63 ak 2 是 bn 中的项，且又a3br ，故知： c1