复数运算的常用规律和几何意义

1、复数的运算种类虽多， 但各种运算方式间有联系， 最本质的运算方式是代数形式的运算。多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：1.(1+i) 2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a(a,bR)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a+bi)2=a2-b 2+2abi(a,bR)(a-bi)2=a2-b 2-2abi(a,bR)等2.i 4k=1,i4k+1=i,i 4k+2 =-1,i4k+3 =-i(bN)3. Z+ Z =2ReZZ-Z =2(ImZ)i( 其中 ReZ,ImZ 分别表示复数 Z的实部和虚部 )4.Z

2、 · Z =Z2= Z 21315. 设 w=-2+ 2 i322则 w=1,1+w+w=0, w =w= wZ1)Z16. Z1(Z 2 (Z 20)Z 2Z1 Z2Z1 Z2Z1 Z2 Z2Z1Z11212Z2=Z220)7. Z·Z =Z · Z (Z8.Z= ZZ R9.Z=- ZZ=ki(kR)Z =Z10. r1(cos 1122+isin2k(cos +isin ) r(cos ) rk+isin k) =r 1r 2r 3 r k cos( 1+ 2+3+ +k)+isin(1+ 2+3+k) r r r0(R)其中 r1k 、2、 k2313复数

3、的几何意义加法的几何意义：设OZ1，OZ2各与复数 Z，Z对应，以OZ1，12OZ2为边的平行四边形的对角线OZ就与 Z +Z 对应。12减法的几何意义：设 OZ1， OZ2各与复数 Z 1，Z2 对应，则图中向量 Z1 Z2 所对应的复数就是 Z2-Z 1。 Z1-Z 2的几何意义是分别与 Z1，Z2 对应的两点间的距离。乘法的几何意义：设 AB 表示复数 r(cos +isin )(r 0) ，把 AB 绕 A 点按逆时针方向旋转角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的k 倍(k 0) 得到 AC ，则 AC 对应的复数是 r(cos +isin ) ·k( cos +isin )

4、 ，如果把 AB 绕 A 点按顺时针方向进行同样方式的旋转和伸缩，那么所得向量对应的复数是 r(cos +isin ) ·k(cos -isin)除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，Z1 ÷1Z2=Z1·( Z 2 ) 因此除法运算的几何意义与乘法运算的几何意义实质相同。复数方根的几何意义：设 OZ对应的复数是Z，Z 的n 次方根 (n 2,nN)对应于 从原点n出发且在原点处 n 等分圆周角的 n 个向量，这 n 个向量的模都是Z ，其中一个向量的辐角是复数Z 的辐角的 n 分之一，图中画出了模为 8的向量OZ 所对应的复数的三次方根OZ1 ， OZ

5、2 ， OZ3 其中 OZ1 的辐角取OZ 辐角的三分之一。由复数的几何意义推导的结论Z11.Z 1·Z20，则 Z1+Z2=Z1-Z2Z 2=i ( R 且0)对应的向量 OZ1 OZ22. 设 P 点对应的复数为 Z1，点 Q对应的复数为 Z2，则向量 PQ 对应的 复数是 Z2-Z 13. 向量 PQ 绕点 P 顺时针方向旋转角 ( 0) 所得到的向量对应的复数 应是 (Z -Z) cos(- )+isin(-) 而旋转之后点 Q 对应的复数应是 (Z21) +Z2-Z) cos(- )+isin(-114. Z-Z1=Z-Z2表示以复数 Z1、Z2 在复平面内对应的点为端点的

6、线段垂直平分线的方程。5. Z-Z0=r 表示以 Z0 为复平面内对应的点 Z0 为圆心，半径是 r 的圆的方程。6. Z-Z1+Z-Z2=2a(2a Z1Z2) 表示以 Z1、Z2 在复平面内对应的点 Z 1、Z2 为焦点，长轴是 2a 的椭圆方程。7. Z-Z1- Z-Z2=2a(2a Z1Z2) 表示以 Z1、Z2 在复平面内对应点 Z1 、Z2 为焦点，实轴长是 2a 的双曲线方程，在复数集上的方程主要有三个问题：复数集上 方程的求解；根据方程解的情况讨论参数的取值范围；与复数集上方程有关的计算或证明。求解复数集上的方程主要有以下四种解法：设 Z=x+yi(x ，y R)从而转 化为关于实数 x，y 的方