北师大数学九年级下册-二次函数知识点总结

1、一、二次函数概念：学习必备欢迎下载二次函数学问点总结1二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc （ a，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数；2这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数实数a0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体2. 二次函数yaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的肯定值越大，抛物线的开口越小；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ，0x0 时，

2、 y 随 x 的增大而增大；xy 轴0 时， y 随x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 a0向下0 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小；xy 轴0 时， y 随x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 2. yax2c 的性质：上加下减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而增大；xy 轴0 时， y 随x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c a0向下0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而减小；xy 轴0 时， y 随x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；a 的符号开口

3、方向顶点坐标对称轴性质xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随a0向上h ，0x=hx 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 0 a0向下h ，0x=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 0 24. ya xhk 的性质：学习必备欢迎下载a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随a0向上h ，kx=hx 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k a0向下h ，kx=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随x 的增大而增大；xh 时， y 有最大

4、值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式22ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线yax的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下：y=ax 2向上 k >0【或向下 k <0】平移 |k|个单位y=ax 2+k向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 个单位y=a x-h2向右 h>0 【或左 h<0 】平移 |k|个单位向上 k>0 【或下 k<0 】平移 |k|个单位向上 k>0 【或下 k <0】平移 |k|个单位向右 h>0【或左 h<0】平移 |k

5、| 个单位y=a x-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax 2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位，yax 2bxc 变成yax 2bxcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2bxc 变成ya xm2bxmc （或 yaxm 2b xmc ）四、二次函数2ya xhk 与 yax2bxc 的比较从解析式上看，2ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即yax22b4acb2a4a，

6、其中 hb ，k 2a24acb4a五、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式yaxhk ， 确定其开口方向、22对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、 与 y 轴学习必备欢迎下载的交点0，c、以及0 ，c关于对称轴对称的点2 h，c、与 x 轴的交点x1 ，0 ，x2 ，0（如与 x 轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .六、二次函数yax2bxc 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb ，顶

7、点坐标为2ab4acb2，2a4a当 xb 2a时， y 随 x 的增大而减小；当xb 时， y 随 x 的增大而增大；当x 2ab 时， y 有最小2a2值 4acb4abb4acb 2b2. 当 a0 时， 抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为2a，当 x2a4a时， y 随2ax 的增大而增大；当xb时， y 随 x 的增大而减小；当x 2ab时， y 有最大值2a24acb4a2七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yaxbxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2. 顶点式：yaxh2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3. 两根式：yaxx1 xx2 （

8、 a0 ， x1 ，x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即的这三种形式可以互化.b4ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数yax2bxc 中， a 作为二次项系数，明显a 0 当 a 当 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a 打算了抛物线开口的大小和方向，a 的正负

9、打算开口方向，a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0时，当 b0时，当 b0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，当 b0时，学习必备欢迎下载b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 打算了抛物线对称轴的位置bab 的符号的判定：对称轴x“

10、左同右异” 总结：3. 常数项 c在 y 轴左边就 ab2a0 ，在 y 轴的右侧就ab0 ，概括的说就是 当 c 当 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 打算了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式，

11、才能使解题简便一般来说，有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形，可以用一般式或顶点式表达21. 关于 x 轴对称2ya xb x关c于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxbxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2yaxhk ；22. 关于 y 轴对称2ya xb x关c于 y 轴对称后，得到的解析式是yaxbxc ；2ya xhk

12、关于 y 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；23. 关于原点对称2ya xb x关c于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc ；2yaxh关k 于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）222ya xb x关c于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxcb；2a2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 学习必备欢迎下载5. 关于点m ，n 对称2yaxhk 关于点m ，n对称后，得到的解析式是2ya xh2m2nk依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的外形肯定不会发生变化，因此a 永久不变求抛物线

13、的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便利运算的原就，挑选合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情形）：一元二次方程ax2bxc0 是二次函数yax2bxc 当函数值y0 时的特别情形 .图象与 x 轴的交点个数：2 当b4ac0 时，图象与x 轴交于两点a x ，0 ，b x ，0 xx ，其中的x ，x是一元二次1212122方程 ax2bxc0 a0 的两根这两点间的距离abx2x1b4ac

14、. a 当0 时，图象与x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与x 轴没有交点 .1'当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 2. 抛物线yax2bxc 的图象与y 轴肯定相交，交点坐标为0 ，c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判定图象

15、的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的仍有二次三项式，二次三项式ax2bxca0 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.学习必备欢迎下载二次函数图像参考：y=2x 2y=

16、x 2y=2x 2y=2x-4 2x 2y=2y=2x-4 2 -3y=2 x 2 +2y=2 x 2y=3x+4 2y=3x 2y=3x-2 2y=2 x 2 -4学习必备欢迎下载x 2y= -2y= -x 2y=-2x 2y=-2x+3 2y=-2x 2y=-2x-3 2十一、函数的应用二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型学习必备欢迎下载1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常显现在挑选题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y m2x 2m2m2 的图像经过原点，就 m 的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终

17、角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为挑选题，如：如图，假如函数ykxb 的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1 的图像大致是（）yyyy110xo-1 x0x0 -1 x abcd3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题显现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过0,3，4,6两点，对称轴为x5，求这条抛物线的解析式；34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线yax23bxc （ a 0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是2（ 1）确定抛物线的解析式；（2）用

18、配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几何的综合才能，常见的作为专项压轴题；【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （ 1）二次函数2yaxbxc 的图像如图1，就点m b, c a在（）a第一象限b其次象限c第三象限d第四象限（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c（ a 0）的图象如图2 所示， .就以下结论：a、b 同号；当x=1和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）a 1 个b 2 个c 3 个d4 个12【点评】弄清抛物线的位置与系数a， b， c 之间的关系，是解决问题的关键2例 2. 已知

19、二次函数y=ax+bx+c 的图象与x 轴交于点 -2 ， o、x 1， 0 ，且 1<x1<2，与 y 轴的正半轴的交点在点 o，2 的下方 以下结论： a<b<0； 2a+c>o；4a+c<o；2a -b+1>o，其中正确结论的个数为 a 1个b. 2个 c. 3个 d 4 个答案： d会用待定系数法求二次函数解析式2例 3. 已知： 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一个根为x=-2 ，且二次函数y=ax+bx+c 的对称轴是直线x=2 ，就抛物线的顶点坐标为 学习必备欢迎下载a2， -3b.2，1c2， 3d 3 ， 2答案： c

20、例 4、如图（单位： m），等腰三角形abc以 2 米/ 秒的速度沿直线l 向正方形移动，直到ab与 cd重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2（ 1）写出 y 与 x 的关系式；（ 2）当 x=2， 3.5 时， y 分别是多少？（ 3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴 .例 5、已知抛物线y= 12x 2+x- 5 2（ 1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（ 2）如该抛物线与x 轴的两个交点为a、b，求线段ab的长【点评】此题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6、

21、 “已知函数y1 x 22bxc 的图象经过点a（c， 2），求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3 ；”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字；（ 1）依据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？如能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；如不能，请说明理由；（ 2）请你依据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整；点评：对于第（ 1）小题，要依据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原先的结论“函数图象的对称轴是 x=3 ”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 a（ c， 2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知

22、数，所以能够求出题中的二次函数解析式；对于第（ 2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（ 1）小题中的解析式就可以了；而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等； 解答 （ 1）依据 y1 x 22bxc 的图象经过点a（ c， 2），图象的对称轴是x=3，1 c22得b212bcc2,3,b 3,解得c 2.所以所求二次函数解析式为y1 x223x2. 图象如下列图；（ 2）在解析式中令y=0，得1 x 223x20 ，解得 x135, x235 .所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（

23、3+5,0 ”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是35 ,0.令 x=3 代入解析式，得y学习必备欢迎下载5 ,2所以抛物线y1 x223 x2 的顶点坐标为3,5 ,2所以也可以填抛物线的顶点坐标为3,5 等等；2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）明白函数的详细特点；借助多种现实背景懂得函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关学问的联系；用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形abcde（如图），其中 af=2，bf=1试在 ab上求一点 p，使矩形pndm有最大面积【评析】此题是一道代数几何综合题，把

24、相像三角形与二次函数的学问有机的结合在一起，能很好考查同学的综合应用才能同时，也给同学探究解题思路留下了思维空间例 2某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元） .与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010如日销售量y 是销售价x 的一次函数（1）求出日销售量y（件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？.此时每日销售利润是多少元？【解析】（ 1）设此一次函数表达式为y=kx+b 就式为 y=-x+40 15kb2kb25,20解得 k=-1 ，b=40，.即一次函数表达（2）设每件产品

25、的销售价应定为x 元，所获销售利润为w元w=（ x-10 ）（ 40-x ） =-x 2+50x-400=- （ x-25 ） 2+225产品的销售价应定为25 元，此时每日获得最大销售利润为225 元【点评】 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区分， 主要有两点：（ 1）设未知数在 “当某某为何值时， 什么最大 （或最小、最省） ”的设问中， .“某某” 要设为自变量， “什么” 要设为函数； （ 2）.问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程二次函数对应练习试题一、挑选题1. 二次函数yx24 x学习必备欢迎下载7 的顶点坐标是 a.2, 11b.（ 2， 7）c.（ 2，

26、11）d.（ 2， 3）2. 把抛物线y2 x2 向上平移1 个单位，得到的抛物线是（）a. y2 x12b.y2 x12c.y2 x21d.y2x213. 函数ykx2k 和 yk k x0 在同始终角坐标系中图象可能是图中的4. 已知二次函数yax 2bxc a0 的图象如下列图, 就以下结论 : a,b 同号 ; 当 x1 和 x3 时, 函数值相等 ; 4ab0 当 y2 时,x 的值只能取0. 其中正确的个数是 a.1个b.2个c. 3个d. 4个5. 已知二次函数yax 2bxc a0 的顶点坐标（ -1 ，-3.2 ）及部分图象 如图 ,由图象可知关于x 的一元二次方程ax2bx

27、c0 的两个根分别是x1.3和x12（） . b.-2.3c.-0.3d.-3.36. 已知二次函数2yaxbxc 的图象如下列图，就点ac,bc 在（）a第一象限b其次象限c第三象限d 第四象限7. 方程2 xx22 的正根的个数为（）xa.0 个b.1个c.2个.3个8. 已知抛物线过点a2,0,b-1,0,与 y 轴交于点 c, 且 oc=2.就这条抛物线的解析式为a. yx2c.yx2x2x2 或b.yx2x2d.yx2yx2x2x2 或yx2x2二、填空题9二次函数yx2bx3 的对称轴是x2 ，就 b ；10 已知抛物线y=-2 （ x+3 ） 2+5 ，假如 y 随 x 的增大而

28、减小，那么x 的取值范畴是 .学习必备欢迎下载11一个函数具有以下性质：图象过点（1， 2），当 x 0 时，函数值满意上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） ；y 随自变量x 的增大而增大；12抛物线y2 x2 26 的顶点为c，已知直线ykx3 过点 c，就这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为；13.二次函数 y22 x4 x1 的图象是由y2x2bxc 的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移2 个单位得到的 , 就 b=,c=；14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是40 米，在线段ab上离中心m处 5 米的地方，桥的高度是 取 3.14.三、解答题：15.

29、已知二次函数图象的对称轴是(1) 求这个二次函数的解析式;x30 , 图象经过 1,-6,且与 y 轴的交点为 0,5 .2(2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0.(3) 当 x 在什么范畴内变化时, 这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大 .第 15 题图16. 某种爆竹点燃后，其上上升度h（米）和时间t （秒）符合关系式hv0t1 gt 22（ 0<t 2），其中重2力加速度g 以 10 米/ 秒运算这种爆竹点燃后以v 0=20 米/ 秒的初速度上升，（ 1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？（ 2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判定

30、爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17. 如图，抛物线yx2bxc 经过直线yx3 与坐标轴的两个交点 a、b，此抛物线与x 轴的另一个交点为c，抛物线顶点为d.（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）点 p 为抛物线上的一个动点，求使s apc ：s acd5 ：4 的点 p的坐标；学习必备欢迎下载18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费供应货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理） 当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，预备实行降价的方式进行促销经市场调查发觉：当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加7.5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（ 1）当每吨售价是240 元时，运算此时的月销售量；（ 2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范畴） ；（ 3）该建材店要获得最大月利润，售价