北京东城高三二模【文】数学试题(含答案

1、北京市东城区 2021-2021 学年度其次学期高三综合练习（二）数学（文科）学校 班级 姓名 考号 本试卷共 5 页， 150 分；考试时长120 分钟；考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效；考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回；第一部分 （挑选题共 40 分）一、挑选题共8 小题，每道题5 分，共 40 分；在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；（ 1）已知全集 ur ，集合 a x | x10 ， b x | x40 ，就eu a ib（ a） x | x1 或 x4错误 .未找到引用源；（ b ） x | x1或 x4（ c） x | x1错误 . 未找到引用源；（

2、 d） x | x4（ 2）某校高一年级有400 名同学，高二年级有360 名同学，现用分层抽样的方法在这760名同学中抽取一个样本已知在高一年级中抽取了60 名同学，就在高二年级中应抽取的同学人数为（ a） 66（ b） 54（ c） 40（ d） 36（ 3）执行如下列图的程序框图，如输入的x 值为 9，就输出的y 值为（ a） 0（ b） 1（ c） 2（ d） 4开头输入 x否x > 2（ 4）如 x2log x21 ，就 x 的取值范畴是y = 2 x是x = x -2（a ） 0,1（ b） 1,+（ c） 1,0（ d） 0,输出 y终止（ 5）已知圆x2y24xa0 截直

3、线 x3 y0 所得弦的长度为23 ，就实数 a 的值为（ a）2（b） 0（ c） 2（ d） 6（ 6）设a , b, cr ，就“ abc ”是“ ac 且 bc 错误 .未找到引用源；”的（ a ）充分而不必要条件1（ b）必要而不充分条件（ c）充分必要条件（ d）既不充分也不必要条件（ 7）已知 m 是平面的一条斜线，直线l 过平面内一点 a ，那么以下选项中能成立的是（ a） l，且 lm（ b） l，且 lm（ c） l，且 l m（ d） l，且 l m（ 8）已知函数f xx sin x ，现给出如下命题： 当 x4，3 时，f x0 ；f x 在区间 0,1 上单调递增；

4、f x 在区间 1,3 上有极大值； 存在 m0 ，使得对任意xr ，都有 |f x |m 其中真命题的序号是（ a）（ b）（ c）（ d）其次部分 （非挑选题共 110 分）二、填空题共6 小题，每道题5 分，共 30 分；（ 9）如复数 ai1i为纯虚数，就实数a x2y2（ 10）如双曲线221aab0,b0) 的一条渐近线方程为2 xy0 ，就双曲线的离心率为 （ 11）如2x, y 满意yx4,3,就 3x2 y 的最小值为 xy8,（ 12）已知向量a , b 满意 | a | | b |1，且 aba1，就 a 与 b 夹角的大小为2（ 13）在 abc 中，cosc14 ，

5、a2b ，就 cb； sin b （ 14）血药浓度（serum drug concentration）是指药物吸取后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来讨论药物的作用强度下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情形，其中点ai 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达到峰值时所用的时间， 其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度其次次达到峰值一半时所用的时间 单位： h，点ai 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值（ i1,2,3 ）2记 vi为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，就v1,v2 ,v3 中最大的是 ；记 ti 为服用第 i 种

6、药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，就最大的是 t1, t2 ,t3 中3三、解答题共6 小题，共80 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程；（ 15）（本小题13 分）已知 an 是公差为 2 等差数列，数列 bn 满意 b11 错误 . 未找到引用源；，错误 . 未找到引用源；b1 ，且 a1bnb 2nn 1n2（）求 an 的通项公式；（）求 bn 的前 n 项和sn 错误 .未找到引用源；（ 16）（本小题13 分）已知函数f x2sin x22 cos x 242（）求曲线yf x 的对称轴方程；（）当x0, 32 时，f xm 恒成立，求实数m 的最大值（ 17）（

7、本小题13 分）2021 年北京市百项疏堵工程基本完成有关部门为明白疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情形，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5 个数据， 记为 a 组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为b 组a 组： 128 ， 100， 151， 125， 120b 组： 100 ， 102， 96 ， 101，a 已知 b 组数据的中位数为100 ，且从中随机抽取一个数不小于100 的概率是4 .5（）求 a 的值；（）该路公交车全程所用时间不超过100 分钟，称为“正点运行” 从 a ， b 两组数据中各随机抽取一个

8、数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行” 的概率；（）试比较a ， b 两组数据方差的大小（不要求运算），并说明其实际意义45（ 18）（本小题14 分）如图，在三棱柱abca1 b1c1 中，侧棱垂直于底面，acbc ，acbccc1 ，e ， f 分别为（）求证：a1 b1 ， bc 的中点acc1f ；c 1b 1（）求证：be 平面a1c 1f ；ea 1（）在棱cc1 上是否存在一点g ，使得平面b1 eg平面a1c 1 f ？说明理由cfba（ 19）（本小题13 分）设函数f x2lnxx2ax2 .（） 当 a3 时，求f x 的单调区间和极值；（）如直线yx1

9、 是曲线yf x 的切线，求a 的值 .（ 20）（本小题共14 分）x2y21已知椭圆c : a2b21ab0) 的右焦点为f 1,0，离心率为2（）求椭圆c 的方程；（）a, b 是椭圆 c 在 y 轴右侧部分上的两个动点，如原点o 到直线 ab 的距离为3 ，证明：abf 的周长为定值6东城区 2021-2021 学年度其次学期高三综合练习（二）一、挑选题（共高三数学参考答案及评分标准8 小题，每道题5 分，共 40 分）（文科）（ 1） c（ 2）b（3） c（ 4） a（ 5） b二、填空题（共（ 6）d（ 7） a6 小题，每道题5 分，共 30 分）（ 8） b（ 9） 1（ 1

10、0）5（ 11） 12（12）3（ 13） 2158三、解答题（共6 小题，共 80 分）（ 15）（共 13 分）（ 14） v1t3解：（）由于所以 an a11) bn 1b21nbn ，1b1 1由于 b11， b2，2所以 a11由于等差数列 an 的公差为 2 ，所以 a n2n1， nn *6 分（）由（）知an2n1由于 an1) bn 1nbn ，所以 bn 1n1 bn2 n112所以数列 bn是首项为 1，公比为12的等比数列所以数列 bn的前 n 项和1 n112 n*sn11221 ， nn13 分27（ 16）（共 13 分）解：（）f x2sin x22 cos

11、x2422 sin x2 cos x222sin x 由于 y所以sin24x 的对称轴方程为x242k，xk，2即 x2k 2所以曲线yf x 的对称轴方程为x2k（ kz ）7 分2（）由于 0所以x3，2x424x所以当24，即当3x时，2f x 的最小值为0 .所以实数 m 的最大值 0 .13 分（ 17）（共 13 分）解：（）由于b 组数据的中位数为100，所以 a100 4由于从 b 组中随机抽取一个数不小于100 的概率是，5所以 a所以 a100 100 .5 分（）从a 组中取到 128,151,125,120 时， b 组中符合题意的取法为100,96,100 ，共 4

12、312 种；从 a 组中取到 100时， b 组中符合题意的取法为100,102,96,101,100 ，共 155 种；因此符合题意的取法共有12517种，而全部不同的取法共有5525 种，8所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率17p.10分25（） b 组的方差小于a 组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳固，而且“正点运行”率高，运行更加有保证13 分（ 18）（共 14 分）解：（）在三棱柱abca1b1c1 中，由于侧棱垂直于底面，所以 cc1平面 abc 所以 cc1ac 由于 ac所以 acbc ， cc1 ibc平面 bcc1 b1 c ，由于 c1f

13、平面 bcc1 b1 ，所以 acc1f 5 分（）取a1c1 中点 h ，连结 eh ， fh c 1b 11h就 eh b1c1 ，且ehb1c1 ，e2a 11又由于 bf b1c1 ，且bfb1c1 ， 2所 以 eh bf ， 且 eh bf 所以四边形 behf 为平行四边形所以 be fh cfba又 be平面a1c 1f ， fh平面a1c1 f ，所以 be 平面a1c 1f 10 分（）在棱连接cc1 上存在点 g ，且 g 为 cc1 的中点eg , gb1 c 1b 1在正方形bb1c1c 中，e由于 f 为 bc 中点，a1g所以b1c1g c1cf 所以c1cfb1

14、gc190所以 b1gc1f cfba9由（）可得ac平面bb1c1c ，由于 ac / a1c1 ，所以 a1c1平面 bb1c1c 由于 b1g平面 bb1c1c ，所以 a1c 1由于 a1c 1 ib1g c1fc1 ，所以 b1g平面由于 b1g平面a1c 1 f b1 eg ，所以平面b1 eg平面a1c1f 14 分（ 19）（共 13 分）解： f x 的定义域为0, 1 分（）当 a3 时，f x2lnxx23x2 ，22 x23 x2所 以 f'x2x3.xx2 x23 x2令 f ' x0 ，得x2 x23x20 ，由于 x0，所以 x2 .f x 与 f

15、 ' x 在区间 0, 上的变化情形如下：x0，2f ' x22，+0f x2ln 24所以 f x 的单调递增区间为0, 2 ，单调递减区间2， .f x有极大值 2ln 24，f x 无微小值.6分（）由于f x2lnxx2ax2 ，所 以 f' x22 xa .x设直线 yx1 与曲线yf x 的切点为（x0 ,f x0 ），22x2ax22所 以 f' x2 xa001，即 2 xa1x20 .0000x0x010又由于f x2ln xx2ax2x1 ，00000即 2lnxx2a1x10000xx00所以 2ln210 .设 g x2lnxx21 ，2

16、1x2 由于 g ' x0 xx0 ，所以 g x 在区间 0, 上单调递增 .所以 g x 在区间 0, 上有且只有唯独的零点.所以 g 10 ，即 x01.所以 a1 .13 分（ 20）（共 14 分）解：（）由题意得a2b21,c1,a2a 24,解得b 23.x2y2所以椭圆 c 的方程为431 4 分（）当ab 垂直于 x 轴时， ab 方程为 x3 ，a3,3 ， b3,23 ， f 1,0 223 21afbf3143 22由于 ab3 ，所以 afbfab4 当 ab 不垂直于 x 轴时，设ab 的方程为y由于原点 o 到直线 ab 的距离为3 ，kxm 所以| m |3 ，即 m231k2 1k 211ykxm,由x2y1,得 34k2 x28kmx4m2120 ，243即 34k 2 x28kmx12k 20 8km12k2设 a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，就 x1x2234k， x1 x22 34k所以 |ab |1k2 | xx |1k 2 xx 24 x x12121 21k 28km 241222234k| m |64k2 m234k48k 2 34k