定积分证明题方法工作总结

1、定积分证明题方法工作 总结对不定积分的求解方法 进行简单 的归类,不但使其 计算方法条理清楚 ,而且有助于 对不 定积分概念的理解 ,提高学 习兴 趣,对学好 积分具有一定的促 进作用。希望 对大家有所帮助， 欢迎阅读。一、 不定 积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代 换2) 根幂 代换3) 倒代 换4. 配方后 积分5. 有理化6. 和差化 积法7. 分部积分法(反、对、幂、指、三 )8. 降幂 法二、 定 积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定 积分 计算方法三、 定 积分与极限1. 积和式极限2. 利用 积分中 值 定理或微分中

2、 值定理求极限3. 洛必达法 则4. 等价无 穷小四、 定积分的估 值及其不等式的 应用1. 不计算积分，比 较积 分值的大小1) 比较定理：若在同一区间a,b上，总有f(x)=g(x), 则 = ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比 较之 a)b) 当 02. 估计具体函数定 积分的值积分估值定理：设 f(x)在a,b上连续，且其最大 值为M，最小值为 m 则M(b-a)= =M(b-a)3. 具体函数的定 积分不等式 证法1) 积分估 值定理2) 放缩 法3) 柯西 积分不等式 %4. 抽象函数的定 积分不等式的 证法1) 拉格朗日中 值定理和导数的有界性2) 积分中 值定理3) 常

3、数 变易法4) 利用泰勒公式展开法五、 变限积分的导数方法1 、 经验总结(1) 定积分的定义：分割近似代替 求和取极限(2) 定积分几何意 义：1f(x)dx(f(x)O)表示 y=f(x)与 x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面 积 ab2f(x)dx(f(x)0)表示 y=f(x)与 x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相 a反数(3) 定积分的基本性 质：1kf(x)dx=kf(x)dx aabb2f1(x)f2(x)dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa3f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac(4) 求定积分的方法： baf(x)dx=limf(i)xi

4、 ni=1nbbbbbcb定义法：分割一近似代替一求和一取极限利用定积分几何意义微 积分基本公式 f(x)F(b)-F(a), 其中 F(x)=f(x) ba1 、原函数存在定理定理如果函数 f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数 F(x)，使对任一 x 1 都有 F(x)=f(x 简单的说连续函数一定有原函数。分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或 幂函数和指数函数的乘 积，就可以考 虑用分部 积分 法，并设幂函数和指数函数 为 u ,这样用一次分部 积分法就可以使 幂函数的幂降低一次。 如果被积函数是幂函数和对数函数或 幂函数和反三角函数的乘 积，就可设对数和反三角函

5、 数为 u。2、对于初等函数来 说，在其定 义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都 是初等函数。定积分1 、定 积分解决的典型 问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可 积的充分条件定理设 f(x)在区间a,b上连续，则 f(x)在区间a,b上可积，即连续=可积。定理设 f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个 间断点，则 f(x)在区间a,b上可积。3、定 积分的若干重要性 质性质如果在区间a,b上 f(x)abf(x)dx。推论如果在区间a,b上 f(x) g(X 则 / abf(x)dx / abg(x)dx推论| / abf(x)dx| 0 且 a 工 1/

6、eAx dx = eAx + C/ cosx dx = si nx + C/ si nx dx二cosx + C/ cotx dx = In |si nx| + C =- ln| cscx| + C/ tanx dx二ln| cosx| + C = In |secx| + C/ secx dx =ln| cot(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C/ cscx dx = ln|tan( x/2)| + C= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1

7、+ cosx)| + C= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C/ secA2(x) dx = tanx + C/ cscA2(x) dx =- cotx + C/ secxta nx dx = secx + C/ cscxcotx dx二cscx + C/ dx/(aA2 + xA2) = (1/a)arcta n(x/a) + C/dx/V(aA2xA2) = arcsin(x/a) + C/dx/V(xA2 + aA2) = ln|x +V 仪人2 + aA2)| + C/dx/V(xA2aA2) = ln|x +V&公含人2)|

8、 + Cf(x)/ V(xA2aA2) dx = (x/2)V(xA2aA2) - (aA2/2)l n|x +V(xA2- aA2)| + C/ V(xA2 + aA2) dx = (x/2)V(xA2 + aA2) + 人 2/2)1 n|x +V仪人 2 + aA2-|xA2) dx = (x/2f V(血人 2xA2) + (aA2/2)arcsin(x/a) + C六、第一 换元法(凑微分 )设 F(u)为 f(u)的原函数，即 F(u)f(u)或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，贝 VdF(x)F(u)(x)f(u)(x)f(x)(x) dx即 F(x) 为

9、f(x)(x) 的原函数，或f(x)(x)dxF(x)CF(u)Cu(x)f(u)du 因此有定理 1 设 F(u)为 f(u)的原函数，u(x)可微，贝 Vf(x)(x)dxf(u)du公式(2-1)称为第一类换元积分公式。 u(x)u(x) (2-1)f(x)(x)dxf(x)d(x)f(u)duu(x)1f(axb)d(axb)1f(u)duf(axb)dxuaxb第一类换元法第二 类换元法 分部积分法 不定积分是高等数学中 积分学的基础,对不定积 分的理解与掌握的好坏直接影响到 该课程的学习和掌握。熟 练掌握不定 积分的理论与运算 方法,不但能使学生 进一步巩固前面所学的 导数与微分的

10、知 识,而且也将 为学习定积分,微分 方程等相关知 识打好基础。在高等数学中 ,函数的概念与定 义与初等数学相比 发生了很多的 变化,从有限到无限 ,从确定到不确定 ,计算结果也可能不唯一 ,但计算方法与 计算技巧 显得更 加重要。 这些都在不定 积分的计算中体会的淋漓尽致。 对不定积分的求解方法 进行简单的 归类,不但使其 计算方法条理清楚 ,而且有助于 对不定积分概念的理解 ,提高学习兴趣,对学好 积分具有一定的促 进作用。1 直接 积 分法直接积分法就是利用不定 积分的定义,公式与积分基本性 质求不定积分的方法。直接 积 分法重要的是把被 积函数通过代数或三角恒等式 变形,变为积分表中能

11、直接 计算的公式 ,利 用积分运算法贝 ,在逐项积 分。一、原函数与不定 积分的概念定义 1设 f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得 F(x)或 dF11(x)f(x)dx则称 F(x)为 f(x)的一个原函数定义 2.函数f(x)的全体原函数 F(x)C 叫做 f(x)的不定积分，记为：f(x)dxF(x)Cf(x)叫做被积函数 f(x)dx 叫做被积表达式 C 叫做积分常数其中”叫做 积分号二、不定 积分的性 质和基本积分公式性质 1. 不定积分的导数等于被 积函数，不定 积分的微分等于被 积表达式，即f(x)dxf(x);df(x)dxf(x)dx.性质 2. 函数

12、的导数或微分的不定 积分等于该函数加上一个任意函数，即 f(x)dxf(x)C,或 df(x)f(x)C性质 3. 非零的常数因子可以由 积分号内提出来，即kf(x)dxkf(x)dx(k0).性质 4. 两个函数的代数和的不定 积分等于每个函数不定 积分的代数和，即 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx基本 积分公式(1) kdxkxC(k 为常数)(2) xdx1C2(1)1(3)xlnxCx(4)exdxexC(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16) 11x11x2(5)axdxaxlnaC(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC(11)cscxcotxdxcscxC(13)cscxdxlncscxcotxC (15)1x21xarctanxCxarcsinxCxarcsinxC三、 换元 积分法和分部 积分法定理 1.设(x)可导，并且 f(u)d