平面向量知识点总结

1、平面向量基础知识复习平面向量知识点小结、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.luur举例1已知A(1,2) , B(4,2),则把向量AB按向量5 (1,3)平移后得到的向量是 . 结果：(3,0)r2 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,规定：零向量的方向是任意的；uuuruurAB3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是-AB-);I AB|4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量不传递性；r5.平行

2、向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作： / b ,规定：零向量和任何向量平行注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：r平行向量无传递性！(因为有0)；, uuur Luur ,三点 A、B、C共线AB、AC共线.rr6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作 a.举例2如下列命题：(1)若|5| |b| ,则S b.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.uuur uuuu(3)若AB DC ,则ABC

3、D是平行四边形.uuur uuu(4)若ABCD是平行四边形，则 AB DC . r r(5)右 a b, b c,贝lJa c .(6)若1/ /b , b /c则a/ /C .其中正确白是.结果：(5)二、向量的表示方法1 .几何表示：用带箭头的有向线段表示，如 AB ,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a, b, 3等；r r3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系， 以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j为 基底，则平面内的任一向量 a可表示为a xiyjj (x, y),称(x,y)为向量自的坐标，a (x, y)叫 做向量a的坐标表示.结

4、论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同三、平面向量的基本定理定理 设e1g同一平面内的一组基底向量, r r r(1, 2),使 a 1e 262.a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对10(1)定理核心：a而焉2；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当时，就说a62为对向量a的正交分解.举例 3(1)若 a (1,1), br (1,1), tr (1,2),则 c .结果：1a _b. 22(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是Brrrrrrrr 13A. e (0,0) ， e2 (1, 2) B

5、.e1 ( 1,2) , e2 (5,7) C. e (3,5) , e2 (6,10) D. e (2, 3),与-,-2 4uur uuriuir rum r uuurr r(3)已知AD,BE分别是ABC的边BC , AC上的中线，且AD a , BE b ,则BC可用向量a,b表示为 .结果:4A-b .3 uuruuur(4)已知ABC中，点D在BC边上，且CD 2DBuuurCDuuruurrAB sAC，则r s 的值是结果：0.四、实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a,它的长度和方向规定如下：(1)模：I ai | | 四|；(2)方向：当 0时，a的方向与ar的方

6、向相同，当 0时，a的方向与a的方向相反，当。时，a注意：a 0.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角r:对于非零向量a ,LLUU r 作 oa aruuu r,OB b ,则把 AOB (0rb的夹角.0时，a, b同向；当时,rb反向；当 ,时，a2.平面向量的数量积：如果两个非零向量我们把数量r r| a | b | cos叫做a与b的数量积(或内积或点积) 规定：零向量与任一向量的数量积是 注：数量积是一个实数，不再是一个向量.,记作:0.a brr，即a biair| b |cos .举例4(1)(2)已知(3)(4)已知已知iaiABC 中，1 r1, , br2, |b| 5

7、uuur|AB| 30,12 r r a bULLT|AC|4r kbuur|BC| 5 ,luur 则ABr r 一 .一一 .一a,b是两个非零向量，且3 ,Miiarb|r ibi iaLUUT BCr结果：9.结果：23 .ra b的夹角为结果：1.结果：30°.r . , 一 r3 .向量b在向量a上的投影:r rr r举例5 已知|a|3, |b|5,且abr r4 . a b的几何意义：数量积r|b|cos12 ,则向量r Ja b等于,它是一个实数，但不一定大于r , , 一 r ，一 .a在向量b上的投影为结果:0.12.5的模ii与b在a上的投影的积5.向量数耳积

8、的性质：设两个非零向量 (D r -其夹角为(2)rr rb同向时，a b iai，特别地,2 a,r .2, r .I a I |a Ira当当当r br a、r r|a| |b|是 rb反向时,为锐角时,为钝角时,(3)非零向量举例6(i)已知ar ar b r brb同向的充要分条件；iai |b且a、 且a、r ri, a br .b不同向, rb不反向;Miraarbrb(2)(3)rb反向的充要分条件(,2已知4OFQ的面积为已知 a (cosx,sinx)r用k表示a b ；求arb夹角的计算公式:cos。是。是r ra b-r r-|a|b|为锐角的为钝角的必要不充分条件；必要

9、不充分条件.r r|a|b |.rb (3川1r且OFr r,2),如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是uuur13 uuurFQ 1 ,若 1 S 星，则 OF ,22Luur , 一FQ夹角的取值范围是结果:4弓或0且(cosy,sin y),且满足 | ka b| J31a kb| (其中 kr 一 一, r . r ,b的最小值，并求此时a与b的夹角 的大小.结果：a2。)4k；最小值为-, 260o.六、向量的运算1.几何运算(1)向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则 r运算形式：若AB a, BC b,则向量AC叫做a与b的和，即a 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不

10、共线的向量.r uuub ABUUT UUrBC AC ;(2)向量的减法运算法则：三角形法则运算形式：若AB auurACuurABLUIT LLUAC CA,即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同uur uuur举例7(1)化简：AB BCUUirCDuut ABUULT ADLULUDCuuur CBuut；(ABUUirCD)UUir LUUT(AC BD)uuur结果：AD ;结果:线上.(2)(3)(4)2；(5)若正方形ABCD的边长为uut r1, AB a ,若O是4ABC所在平面内一点，且满足若D为4ABC的边BC的中点，ZXABC,1

11、， 一 UUT UUT若点 O是TXABC的外心，且 OA OBr2.坐标运算：设a (x ,y1)(1)向量的加减法运算：结果:(1)已知点 A(2,3) , B(5,4)1:一；2(2)已知 A(2,3) , B(1,4),且 1AB2(3)已知作用在点A(1,1)的三个力(2)实数与向量的积：urF1uur(3)若 A(&y1),iUirBCUUirOB1 , ulut OCLUUT rAC cluurOB,则|uuirOC :r r | a bLUUT2OAc|结果: ABC的形状为.2户；结果:直角三角形；所在平面内有一点P ,满足uuur r,一 _CO 0 ,贝U AAB

12、C的内角LUUPAuutBPuuruut r 、r | AP|CP 0 ,设m心，则|PD|的值为结果：1200 .rb rb(X2,、2)，则(xi X2,yi,uuurC(7,10),若 AP(sin x,cos y) , x, y(3,4)raUT，F 2(2,5)B(X2,y2)，则(XUuUf1)(AB(X2量的有向线段的终点坐标减去起点坐标uur举例 9 设 A(2,3) , B( 1,5),且 AC1 uur _AB ,ULLTAD(4)平面向量数量积举例10r已知向重 a (sinx,cosx),3 r br buuur3AB ,(1)(2)rx ,求向重a、33X y,-,函

13、数c的夹角；r f(x) a(5)向量的模：a21a，UUir ABV2)，UULTAC(R)rb(X1,则当X2,y1 y2).一时，点p在第一、三象限的角平分2 ur F32八，wuuuur(3,1)，则合力 FF1F2结果：_或_ ；62Fr的终点坐标是结果：(9,1).X, y).x,y2 %)，即一个向量的坐标等于表示这个向则C,D的坐标分别是结果：吗口.X1X2(sin X,sin x)ym.r，c(1,0).的最大值为12，1a 求的值.结果:(1)1 .、150。；(2) 一 或 2一. r r 举例11已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么1a2y .r3b| =结

14、果：.E.(6)两点间的距离：若A(x1,y1)8(X2'),则 |AB| 收X)2 (y2 y)2.举例12如图，在平面斜坐标系 uur的斜坐标是这样定义的：若 OP位向量，则P点斜坐标为(x, y).XOy 中,rXerye?XOy,其中60。，平面上任一点e ,e2分别为与x轴、P关于斜坐标系 y轴同方向的单(1)若点(2)求以结果：(1)P的斜坐标为(2, 2),求P到O的距离| PO | ;O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.2； (2) X2y2Xy七、向量的运算律1.交换律：2.结合律:r ar ar b r b3.分配律:举例13给出下列命题:r br c

15、)a r a ( r b)r aa) r c .(T)a b(ra(ar r a c ;)a r br b)r ar arar r(b 5r br (br b(a 1r b)r a ；c)， (a )c;a)bb) crb)，r rb c.r(b)；r -(a b) |a |r r ,2|a|b| |b|2；,2,r r右a b.rr rr r rr r .r0 ,贝！Ja0或 b0;右 a bc b 贝！Ja一 r r -r r 一 rr r r rrg(a b)2a2 b2；(ab)2a22abb2.其中正确的是_ 结果：.说明：(i)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等

16、式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两 边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a (br C)(a br) c,为什么？八、向量平行 r r a/b(共线)的充要条件r rr r 2r ra b (a b) (| a | b|)2x1y2y1x20.举例14 (1)若向量ar(k1)， b(4,x)，当x 时，a与b共线且方向相同.结果：2r(2)已知ar(1,1), b，、 r(4,x) ， ur r a 2b ,r 2al 且r ru/v ,则 x.结果：4.(3)设 PA(

17、k,12),uuPB (4,5),uuureiPC (10,k),则 k 一时，A,B,C共线.结果:2 或 11.九、向里垂自的充要条件r r a br 1 a b0 iar r b 1 |arb |x1 x2y1 y20.uuuuuuruuuLuLr特别地AB11 iin -uuu-AC1 L Ilf -uuuABi u un -uuu-AC11 ii r uuu|AB|AC|AB| AC|举例15 (1)uur 已知OALuu(1,2) , OB(3,m),uur uur若OA OB ,贝U m. 结果：3m 2;(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB , B 90

18、 ,则点B的坐标是. 结果：(1,3)或(3, 1);已知n (a,b)向量n m,且|而，则m 的坐标是 结果：(b, a)或(b,a).十、线段的定比分点uur uuur1.定义：设点P是直线PP2上异于P、P2的任意一点，若存在一个实数，使PPPP2，则实数叫做点P分有向线段PuPu所成的比，P点叫做有向线段Puuu的以定比为的定比分八、.2.的符号与分点P的位置之间的关系uuuu(1) P内分线段P1P2 ,即点P在线段PP2上 0 ；(2) P外分线段PuPr时，点P在线段PP2的延长线上1 ,点P在线段PP2的反向延长线上 10 .注：若点P分有向线段常所成的比为,则点P分有向线段

19、uiuuP2P所成的比为J .结果：Z.举区K6若点P分AB所成的比为4,则A分BP所成的比为,则定比分点坐标公式为3.线段的定比分点坐标公式设P(x,y1), P2(x2,y2),点P(x,y)分有向线段PP2所成的比为X21V1( V21).X1X2一x -,特别地，当 1时，就得到线段PP2的中点坐标公式2y .2说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确 (x,y) , (x1,y1)、(X2,y。的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比luuu1 uuur7举例17(1)若M ( 3, 2) ,

20、 N(6, 1),且MP -MN ,则点P的坐标为 结果：(6,二);3 31uuur uui r(2)已知A(a,0) , B(3,2 a),直线y 3ax与线段AB交于M ,且AM 2MB ,则a.结果：2或 4.卜一、平移公式如果点P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y),则x x h,;曲线f(x,y) 0按向量a (h,k) y y k.平移得曲线f(x h, y k) 0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!举例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2),则按向量a把点(7,2)平移到点(2)函数y sin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1 , J结果:(8,3)；结果：(_,1).4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;2.模的性质:r rIaI IbIr rIa bI(1)右边等号成立条件:(2)左边等号成立条件: r r(3)当a、b不共线ra、ra、r br br|b3.三角形重心公式在4ABC中，G(X1x2x3 y1y2IaI IbI. r r 同向