第三章傅立叶变换和信号的频域分析第一讲

1、Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理第 三 章 信号与系统的频域分析Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, La

2、b of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理本章提要：本章提要：LTI系统的特征函数与特征值系统的特征函数与特征值周期信号的傅里叶级数表示及性质周期信号的傅里叶级数表示及性质非周期信号的傅里叶变换及性质非周期信号的傅里叶变换及性质LTI系统的频域分析系统的频域分析采样和采样定理采样和采样定理Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技

3、大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理傅里叶生平傅里叶生平17681768年生于法国年生于法国18071807年提出年提出“任何周期任何周期 信号都可用正弦函信号都可用正弦函 数级数表示数级数表示”拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表18221822年首次发表在年首次发表在“热热 的分析理论的分析理论”书中书中18291829年狄里赫利第一个年狄里赫利第一个 给出收敛条件给出收敛条件Fig. 3.1Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, La

4、b of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和权和” 傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示示” 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianz

5、i University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.0 引言引言我们已经讨论了时域分析方法的基本思路：我们已经讨论了时域分析方法的基本思路：信号在时域的分解信号在时域的分解利用利用LTI系统的线性、时不变性系统的线性、时不变性从分解信号的角度出发，基本信号单元必须：从分解信号的角度出发，基本信号单元必须：本身简单本身简单具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号系统对基本单元信号的响应易于求得系统对基本单元信号的响应易于求得 ( ) tn；( ) h th

6、n；( ) y ty n；Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理频域分析的思路是一样的频域分析的思路是一样的: : 将任意信号分解成复指数信号将任意信号分解成复指数信号(est)的线性的线性组合组合, 通过研究系统对通过研究系统对(est)的响应的响应, 利用线性和利用线性和时不变性取得系统的响应时不变性取得系统的响

7、应, 其响应就是系统对其响应就是系统对复指数单元信号响应的线性组合复指数单元信号响应的线性组合.Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.1 连续时间连续时间LTI系统的特征函数系统的特征函数由时域分析有由时域分析有: : 表明表明: :LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应, ,仍然是同样的仍然是同样的

8、复指数信号复指数信号, ,只是幅度有一个只是幅度有一个H(S)的加权的加权, ,这说明了：这说明了： ste( )y t)(th()( )( )( )sts ty teh thed( )stsehed( )stH se( )( )stH sh t edt（令：）Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理LTI系统对复指数

9、输入信号的作用仅仅改变系统对复指数输入信号的作用仅仅改变了它的幅度了它的幅度( (可以是复数可以是复数) ) .H(S)由由h(t)决定的决定的,是是S的函数的函数,称称H(S)为为LTI系统系统的系统函数的系统函数,由于由于H(S)与与h(t)之间具有一一对应之间具有一一对应的关系的关系,它们是一对拉普拉斯变换关系。它们是一对拉普拉斯变换关系。因此可以断言因此可以断言: H(S)一定可以刻画一个一定可以刻画一个LTI系统。系统。Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dian

10、zi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.1 连续时间连续时间LTI系统的特征函数系统的特征函数特征函数特征函数: 如系统对某个信号所产生的响应，仅仅是如系统对某个信号所产生的响应，仅仅是给输入信号乘上一个给输入信号乘上一个(复复)常数，则该信号称为此系统的常数，则该信号称为此系统的特征函数，其加权的复常数称为系统的与特征函数对特征函数，其加权的复常数称为系统的与特征函数对应的特征值。应的特征值。 是所有是所有LTI系统的特征函数，而且是唯一能成系统的特征函数，而且是唯一能成为所

11、有为所有LTI系统特征函数的信号。系统特征函数的信号。 应该强调指出：应该强调指出：不同不同的的LTI系统可能有不同的特征系统可能有不同的特征函数；但是，复指数信号是唯一能够成为所有函数；但是，复指数信号是唯一能够成为所有LTI系统系统特征函数的信号，特征函数的信号，H(S)是与之对应的特征值。是与之对应的特征值。 steSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子

12、科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理 ( )( )h tt( )( )h ttSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理( )()h ttTste( )( )* ( )()( ) 1y tx th tx tTx t( )()( )()h ttTx tx tT，( )x t( )()kx ttkTSignals a

13、nd Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.1 连续时间连续时间LTI系统的特征函数系统的特征函数 可见可见,只要能实现将信号只要能实现将信号 x(t) 分解成为分解成为 的线性的线性组合组合,则系统对则系统对 x(t) 的响应就迎刃而解了的响应就迎刃而解了.( )( )( )iis tiis tiiix tAey tAH s e若：则

14、：is teSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理本章先讨论本章先讨论 s= j 情况：情况：频域分析：频域分析： 傅里叶变换，自变量为傅里叶变换，自变量为j ；对于连续时间对于连续时间LTI系统：系统：此时输入信号为此时输入信号为 ，是一个在频率，是一个在频率 上的上的一个复指数信号，那么对应的系统函数一个复指数信

15、号，那么对应的系统函数 就称为该系统的频率就称为该系统的频率响应；响应；stj tee( )()( )j tH SH jh t edtSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理本章先讨论本章先讨论 s= j 情况：情况：频域分析：频域分析： 傅里叶变换，自变量为傅里叶变换，自变量为j ；对于离散时间对于离散时间LTI系统

16、：系统：此时记输入信号为此时记输入信号为 ， 是一个在频率是一个在频率 上的一个复指数信号，那么对应的系统函数上的一个复指数信号，那么对应的系统函数 就称为该系统的频率响应；就称为该系统的频率响应； ( )() jj nH SH eh n enjzze，nSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理 复频域分析：复频域分析

17、： 拉氏变换：拉氏变换：连续时间傅里叶变换的延伸和连续时间傅里叶变换的延伸和扩展，自变量为扩展，自变量为 S = +j ；Z变换：变换：离散时间傅里叶变换的延伸和扩离散时间傅里叶变换的延伸和扩展，展，Z= Rej；Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.2 连续时间周期信号与傅里叶级数连续时间周期信号与傅里叶级数

18、是周期信号是周期信号, ,基波频率基波频率 , ,基波周期基波周期我们已经介绍过成谐波关系的复指数信号集我们已经介绍过成谐波关系的复指数信号集: : ；每个信号的频率都是基波频率的每个信号的频率都是基波频率的 整数倍。整数倍。若若: : 则则x(t)必定是以必定是以 为周期的为周期的, ,该级数就是傅里叶该级数就是傅里叶级数，这表明成谐波关系的复指数信号的线性组合可级数，这表明成谐波关系的复指数信号的线性组合可以表示周期信号。即以表示周期信号。即: :连续时间周期信号可以分解为成连续时间周期信号可以分解为成谐波关系的复指数信号的线性组合谐波关系的复指数信号的线性组合。0jte0002T0jkt

19、ke 0( )jktkkx tA e002TSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理 若若x(t)是实信号是实信号, ； 即即 所以所以: ，或，或 3.21 连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间周期信号的傅里叶级数( )( )x tx t00jktjktkkkkA eA ekkAAkkAA0( )jktkkx tA

20、e连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理改写上述表达式改写上述表达式, ,可得到傅里叶级数的其他形式可得到傅里叶级数的其他形式: :( (互为共轭互为共轭) ) 3.21 连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间周期信号的傅里叶级数0000001010100

21、1( )22cos()jktjktkkkjktjktkkkjktekkkkkx tAA eA eAA eA eAR A eAAktkjkkAA e记：Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理令令 得到另一种三角形式得到另一种三角形式: :由由: : , ,从从 推得推得: :表明表明 的模是偶函数的模是偶函数, , 的

22、相角是奇函数的相角是奇函数; ; 由由 , , ,表明表明: : 的实部是偶函数的实部是偶函数, , 的虚部是奇函数的虚部是奇函数 kkkAajb0001( )2(cossin)kkkx tAaktbktkkAAkjkkkkAA eAA；kkAA；kk kAkAkkkAajbkkAA,kkkkaabb kAkASignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号

23、系统与信号处理信号系统与信号处理其中其中: 显然显然, y(t)也是一个傅里叶级数也是一个傅里叶级数, 其系数是其系数是h(t)0jte00()jtHe0jkte00()jktH ke0( )jktkkx tA e00( )()jktkky tA H ke00()( )jktH kh t edt0()kA H k( )x t( )y tSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PR

24、IS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理00000000000( )1( )1( )TjntnTjntnjntnTx t edtA TAx t edtTAx t edtT如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数:3.22 傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数0( )jktkkx tA e；002T；000000()()00( )( )TTjntj k ntjntj k ntkkkkx teA ex t edtAedt00()000Tj k ntknedtT kn，( )x tkASignals and Systems All Rights Reserve

25、d by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理 傅里叶级数与系数的一对关系：傅里叶级数与系数的一对关系：0( )jktkkx tA e； 一个周期信号一个周期信号x(t)可以表示为无穷多个成谐波关系可以表示为无穷多个成谐波关系的复指数信号的线性组合。的复指数信号的线性组合。0000001( );1( );jktkTTAx t edtTAx t dtT（即是信号在一个（即是信号在一个周期内的平均值）周

26、期内的平均值）Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理 3.23 频谱的概念频谱的概念 傅里叶级数揭示了周期信号是由各次谐波分量迭加傅里叶级数揭示了周期信号是由各次谐波分量迭加而成的而成的,而每个谐波分量为而每个谐波分量为 ; 各个分量仅仅是各个分量仅仅是幅度与频率不同幅度与频率不同, 只要知道了只要知道了 ; 则相应

27、的谐波则相应的谐波分量就确定了分量就确定了.我们可以用幅度和频率来完全代表各个分量我们可以用幅度和频率来完全代表各个分量, 用线段用线段的长度表示幅度的长度表示幅度, 用其位置表示频率。用其位置表示频率。称为信号的频谱称为信号的频谱0,kA0jktkA eFig. 3.2Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理 3.2

28、3 频谱的概念频谱的概念 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。利用谱图可以直观看出：各分量的大小，各分量处。利用谱图可以直观看出：各分量的大小，各分量的频移。的频移。 00kkA00kkAFig. 3.2Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理周期复指数信号的频谱

29、图00000k0k0kAkA00kkAFig. 3.3Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.24 傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛狄里赫利条件：狄里赫利条件：P139在任何周期内，在任何周期内， 必须绝对可积；必须绝对可积；在任意单个周期内，在任意单个周期内， 具有有限个最大值和最小值；具有有限个最大值和最小值；

30、在在 的任何有限区间内，只有有限个不连续的点，的任何有限区间内，只有有限个不连续的点，而且在这些不连续的点上，而且在这些不连续的点上， 取有限值；取有限值；保证除了某些不连续的孤立点外， 等于它的傅里叶级数表示；而在那些不连续的点上，级数收敛于不连续点两边值（极限）的平均值；Gibbs现象：现象：一个不连续信号的傅里叶级数的截断近似一个不连续信号的傅里叶级数的截断近似导致的在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量导致的在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量 ( )x t( )Tx tdt ( )x t( )x t( )x t( )x tSignals and Systems All Rights R

31、eserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.25 连续时间周期信号的傅里叶级数性质连续时间周期信号的傅里叶级数性质已知已知 为一周期信号，周期为为一周期信号，周期为 ，基波频率为，基波频率为 ；周期相同的另一信号；周期相同的另一信号 ；则则线性：线性： 时移特性：时移特性：时间反转：时间反转：时域尺度变换：时域尺度变换：相乘：相乘：共轭及对称性：共轭及对称性： P146( )x t

32、0 00()jktkx ttAe ；FS( )kx tA FS0T002T( )kx tA；1( )kx tB FS1( )( )kkx tx tAB FS()kxtA ；FS0()()jktkkxtA e ， 为正实数；FS1( )( )klk llx t x tHAB ；FSSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理

33、3.25 连续时间周期信号的傅里叶级数性质连续时间周期信号的傅里叶级数性质已知已知 为一周期信号，周期为为一周期信号，周期为 ，基波频率为，基波频率为 ；帕斯瓦尔定理：帕斯瓦尔定理：一个周期信号的总平均功率就等于一个周期信号的总平均功率就等于它的全部谐波分量的平均功率之和。它的全部谐波分量的平均功率之和。( )x t( )kx tA FS0T002 /T221( )Tkkx tdtAT；022211jktTkTkkA edtAdtATT；Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi

34、Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.3 离散时间周期信号的傅里叶级数离散时间周期信号的傅里叶级数离散时间周期信号离散时间周期信号 ，基波周期为该式成立，基波周期为该式成立的最小的最小 ，基波频率为，基波频率为 ；用成谐波关系的复；用成谐波关系的复指数信号的线性组合来表示，则称为离散时间傅里叶指数信号的线性组合来表示，则称为离散时间傅里叶级数：级数： 称为傅里叶级数的系数，也往往称为称为傅里叶级数的系数，也往往称为 的频谱的频谱系数。系数。 离散时间周期信号的傅里叶级

35、数是一个只有离散时间周期信号的傅里叶级数是一个只有 项的有项的有限级数，因此不存在收敛问题，也没有限级数，因此不存在收敛问题，也没有Gibbs现象。现象。 x nx nNNN x n0(2/) jknjkN nkkkNkNx nA eA e0(2/) jknjkN nkkkkNkNAx n ex n eAA11=；且NNkA02 / N Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of P

36、RIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.3 离散时间周期信号的傅里叶级数性质离散时间周期信号的傅里叶级数性质已知已知 为一周期信号，周期为为一周期信号，周期为 ，基波频率为，基波频率为 傅里叶级数表示记为：傅里叶级数表示记为： ，性质和连续时，性质和连续时间周期信号大部分都相似（间周期信号大部分都相似（P157），不同的是：），不同的是：相乘：一次差分：帕斯瓦尔定理：和连续时间相同，一个周期信号的和连续时间相同，一个周期信号的总平均功率就等于它的全部谐波分量的平均功率之和。总平均功率就等于它的全部谐波分量的平均功率之和。 x n kx nA FSN02 / N 1 kl

37、k llNx n x nHAB ；FS(2/) 1(1)jkNkx nx neA ；FS221 knNkNx nAN；kAN也是周期的，周期为Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理LTI系统及傅里叶级数的重要性质：系统及傅里叶级数的重要性质：由由复指数信号复指数信号是所有是所有LTI系统的系统的特征函数特征函数可得：

38、可得：一个周期信号输入一个周期信号输入LTI系统，那么输出也一定是周期系统，那么输出也一定是周期信号，且和输入信号的周期相同；同时输出的每一个信号，且和输入信号的周期相同；同时输出的每一个傅里叶系数就是对应输入的傅里叶系数和系统的频率傅里叶系数就是对应输入的傅里叶系数和系统的频率响应函数在对应频率的值的乘积。响应函数在对应频率的值的乘积。Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of P

39、RIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.4 滤波滤波改变信号中各个频率分量的大小或者消除某个频率改变信号中各个频率分量的大小或者消除某个频率分量的过程。分量的过程。滤波器：实现滤波功能的系统；通常可以分为滤波器：实现滤波功能的系统；通常可以分为频率成型滤波器频率成型滤波器频率选择滤波器频率选择滤波器Signals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子

40、科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.4 滤波滤波根据根据LTI系统对特征函数的响应特性，如果周期信号系统对特征函数的响应特性，如果周期信号 可以写成可以写成 ，那么系统的输出，那么系统的输出 同同样可以表示为样可以表示为 ： ， 为系统的频率响应为系统的频率响应 ；那么一个；那么一个LTI系统输出的系统输出的傅里叶级数系数可以用输入的傅里叶级数系数和系统傅里叶级数系数可以用输入的傅里叶级数系数和系统的频率响应的乘积来表示。的频率响应的乘积来表示。因此滤波的功能可以利用因此滤波的功能可以利用LTI系统来改变输入的傅里叶系统来改变输入的傅里叶级数系数来实现。级数系数来实现。( )y t

41、0( )jktkx tAe()H j( )x t000( )()()jktjkjktkkkky tH jA eA H eeSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS University, Lab of PRIS 杭州电子科技大学信号系统与信号处理信号系统与信号处理3.4 滤波滤波频率成型滤波器频率成型滤波器P166通常应用在音响系统中，频率响应的模一般以对数通常应用在音响系统中，频率响应的模一般以对数-对对数坐标表示数坐标表示,频率响应包括幅度和相位响应频率响应包括幅度和相位响应. 幅度响应又称为增益（幅度响应又称为增益（ ），单位是分贝），单位是分贝或或dB。1020log()H jSignals and Systems All Rights Reserved by Stone, 2008 HangZhouHangZhou Dianzi Dianzi University, Lab of PRIS Univ