初二期末压轴题答案及解析

1、学习必备欢迎下载1（ 2021.铁岭） abc 是等边三角形，点d 是射线 bc 上的一个动点（点d 不与点 b、c 重合）， ade是以 ad 为边的等边三角形，过点e 作 bc 的平行线，分别交射线ab 、ac 于点 f、g，连接 be（ 1）如图（ a）所示，当点d 在线段 bc 上时 求证： aeb adc ； 探究四边形bcge 是怎样特殊的四边形？并说明理由；（ 2）如图（ b）所示，当点d 在 bc 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（ 3）在（ 2）的情形下，当点d 运动到什么位置时，四边形bcge 是菱形？并说明理由考点 ： 全等三角形的判定；平行四边形的判定

2、；菱形的判定；专题 ： 几何综合题；分析： 此题要娴熟多方面的学问，特殊是全等三角形和平行四边形和菱形的判定解答： 证明：（ 1） abc 和ade 都是等边三角形， ae=ad ，ab=ac ， ead= bac=60 °（ 1 分）又 eab= ead bad ， dac= bac bad ， eab= dac ， aeb adc （ 3 分） 方法一：由 得aeb adc ， abe= c=60° 又 bac= c=60 °， abe= bac ， eb gc （5 分）又 eg bc ，四边形bcge 是平行四边形 （6 分）方法二：证出 aeg adb

3、，得 eg=ab=bc （5 分）由 得aeb adc 得 be=cg 四边形bcge 是平行四边形 （6 分）（ 2） 都成立（ 8 分）（ 3）当 cd=cb（ cad=30 °或 bad=90 °或 adc=30 °）时，四边形bcge 是菱形（ 9 分）理由：方法一：由 得 aeb adc ， be=cd （ 10 分） 又 cd=cb ，学习必备欢迎下载 be=cb （ 11 分）由 得四边形bcge 是平行四边形，四边形bcge 是菱形（ 12 分）方法二：由 得aeb adc ， be=cd （ 9 分）又四边形bcge 是菱形， be=cb （ 1

4、1 分） cd=cb （ 12 分）方法三：四边形bcge 是平行四边形， be cg ， eg bc， fbe= bac=60 °， f= abc=60 °（ 9 分） f= fbe=60 °， bef 是等边三角形 （ 10 分）又 ab=bc ，四边形bcge 是菱形， ab=be=bf ， ae fg（ 11 分） eag=30 °， ead=60 °， cad=30 度（ 12 分）点评： 此题考查三角形的全等以及菱形的判定2如图，在rt abc 中， acb=90 °， b=60 °， bc=2 点 o 是 ac

5、 的中点，过点o 的直线 l 与 ab 边相交于点 d 过点 c 作 ce ab 交直线 l 于点 e，设 aod= （ 1）当 等于多少度时，四边形edbc 是等腰梯形？并求此时ad 的长；（ 2）当 =90°时，判定四边形edbc 是否为菱形，并说明理由考点 ： 菱形的判定；等腰梯形的判定；分析： （ 1）要使四边形edbc 是等腰梯形，题中已有ec ab ，求出 bc=ed ， edb= b=60 °即可；（ 2）当 =90 °时，直线l ac，可得出bc ed，利用角相等求出四边形edbc 为平行四边形，再加上一组邻边相等，即bc=bd 即可解答： 解：（

6、 1）解法一：当=30°时，四边形edbc 是等腰梯形 （ 1 分）当 =30°时， edb=60 °，在 rt abc 中， acb=90 °， b=60 °，bc=2 ， a=30 °， ab=4 ，（ 2 分）在等腰梯形edbc 中，过点c 作 db 的垂线，易得db=2+ec ，（ 3 分）所以 ab=ad+db=2+ec，又 ad=ec ，所以 ab=2+2ad ，即 4=2+2ad ，所以 ad=1 （ 4 分）解法二：当=30°时，四边形edbc 是等腰梯形 （ 1 分）学习必备欢迎下载 ed=bc=2 ce

7、ab a= eca点 o 是 ac 的中点 oa=oc又 = eoc eoc doa （ 2 分）（ 3 分） a= =30° ad=od=1 ；（ 4 分）（ 2）当 =90 °时，四边形edbc 是菱形证明： = acb=90 °， bc ed ce ab ，四边形edbc 是平行四边形 （ 5 分）在 rt abc 中， acb=90 °， b=60 °，bc=2 ， a=30 °，（ 6 分）直角 abc 中， b=60 ° cab=30 ° ab=2bc=4点 o 是 ac 的中点且 =90 °

8、 od bc ad=ab=2在 rtaod 中， a=30 °， ad=2 bd=2 ，bd=bc （ 7 分）又四边形edbc 是平行四边形，四边形edbc 是菱形（ 8 分）点评： 娴熟把握菱形的性质及判定，懂得等腰梯形的性质3（ 2021.郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点m （ 2， 1），且 p（ 1， 2）为双曲线上的一点，q 为坐标平面上一动点，pa 垂直于 x 轴， qb 垂直于 y 轴，垂足分别是a 、b（ 1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（ 2）当点 q 在直线 mo 上运动时，直线mo 上是否存在这样的点q，使得 obq 与 oap

9、面积相等？假如存在，恳求出点的坐标，假如不存在，请说明理由；学习必备欢迎下载（ 3）如图 2，当点 q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以op、oq 为邻边的平行四边形opcq ，求平行四边形 opcq 周长的最小值考点 ： 反比例函数综合题；专题 ： 压轴题；分析： （ 1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点m （ 2， 1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；（ 2）由于 p（ 1， 2）为双曲线y=上的一点，所以 obq 、 oap 面积为 2，依据反比例函数的图象和性质，点q 在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；（ 3

10、）由于四边形opcq 是平行四边形，所以op=cqoq=pc ，而点 p（ 1， 2）是定点，所以op 的长也是定长，所以要求平行四边形opcq 周长的最小值就只需求oq 的最小值解答：解：（ 1）设正比例函数解析式为y=kx ，将点 m （ 2， 1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x ，同样可得，反比例函数解析式为；（ 2）当点 q 在直线 om 上运动时，设点 q 的坐标为q（ m，m），于是 sobq2=|ob ×bq|=× m ×m=m ，而 soap=|（ 1） ×（ 2）|=1，所以有，m2=1，解得 m= ±2，所以点

11、 q 的坐标为q1（ 2， 1）和 q2（ 2， 1）；（ 3）由于四边形opcq 是平行四边形，所以op=cq ， oq=pc ，学习必备欢迎下载而点 p（ 1， 2）是定点，所以op 的长也是定长，所以要求平行四边形opcq 周长的最小值就只需求oq 的最小值，（ 8 分）由于点 q 在第一象限中双曲线上，所以可设点q 的坐标为q（ n，），由勾股定理可得2oq =n2+=（ n）2+4，所以当（ n）2=0 即 n=0 时， oq2 有最小值4，又由于 oq 为正值，所以oq 与 oq2 同时取得最小值，所以 oq 有最小值 2，由勾股定理得op=，所以平行四边形opcq 周长的最小值是

12、2（op+oq ） =2（+2）=2+4（ 10 分） 点评： 此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强要留意对各个知识点的敏捷应用4阅读探究：例：如图1， abc 是等边三角形，点m 是边 bc 的中点， amn=60 °，且 mn 交三角形外角的平分线cn 于点 n、求证： am=mn 思路点拨：取的ab 中点 p，连接 pm ，易证 apm mcq 从而 am=mn 问题解决：（ 1）如图 2，四边形 abcd是正方形，点m 是边 bc 的中点， cn 是正方形abcd的外角 dcq 的平分线 填空：当 amn=90° °时，

13、am=mn ； 证明 的结论（ 2）请依据例题和问题（1）的解题过程，在正五边形abcde中推广出一个类似的真命题（请在图3中作出相应图形，标注必要的字母，并写出已知和结论，无需证明）考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；分析： （ 1）当 amn=90 °时， am=mn 取的 ab 中点 p，连接 pm ，依据正方形的性质，四边相等，四个角都是直角， 以及直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半等结论，最终能证明 apm mcq从而得到结论（ 2）依据例题和问题（1）可知都是取一个边的中点，所以正五边形abcde 中点 m 是边 bc 的中点， cn 是正

14、五边形abcde的外角 dcq 的平分线，当amn=108 °求证： am=mn 解答： （ 1）解： 填空：当 amn=90 °时， am=mn ；（ 2 分） 证明：取的ab 中点 p，连接 pm ，（ 3 分）四边形abcd是正方形，学习必备欢迎下载 pam+ amb=90 °， amn=90 °， cmn+ amb=90 °， pam=cmn ，（ 4 分）点 m 是边 bc 的中点， 点 p 是边 ab 的中点， ab=bc ， ap=mc ，bp=bm ， b=90 °， bpm 是等腰直角三角形， bpm=45 

15、6;， apm=135 °， dcb=90 °， dcq=90 °， ncq=45 °， mcn=135 °， apm= mcn ，（ 5 分） apm mcn ， am=mn；（ 6 分）（ 2）正五边形abcde中点 m 是边 bc 的中点， cn 是正五边形abcde的外角 dcq 的平分线，当 amn=108 °求证： am=mn （ 8 分）（图形和文字均正确得（2 分），否就不得分）点评： 此题考查懂得题意才能，依据例题可类比做其他题目，此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质学习必备欢迎下载5（

16、 2006.沈阳）如图1，在正方形abcd 中，点 e、f 分别为边bc 、cd 的中点， af 、de 相交于点g， 就可得结论： af=de ， af de （不须证明） （ 1）如图 ，如点 e、f 不是正方形abcd 的边 bc、cd 的中点，但满意ce=df ，就上面的结论 、 是否仍旧成立； （请直接回答“成立 ”或“不成立 ”）（ 2）如图 ，如点 e、f 分别在正方形abcd 的边 cb 的延长线和dc 的延长线上，且ce=df ，此时上面的结论 、 是否仍旧成立？如成立，请写出证明过程；如不成立，请说明理由（ 3）如图 ，在（ 2）的基础上，连接ae 和 ef，如点 m 、n

17、、p、q 分别为 ae 、ef 、fd、ad 的中点，请先判定四边形mnpq 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程考点 ： 正方形的性质；直角三角形全等的判定；正方形的判定；专题 ： 几何综合题；分析： （ 1）依据正方形的性质证明 dec afd 即可知道结论成立（ 2）由已知得四边形abcd 为正方形，证明rt adf rt ecd，然后推出 ade+ daf=90 °；进而得出af de；（ 3）第一依据题意证明四边形mnpq 是菱形， 然后又由于af de ，得出四边形mnpq 为正方形解答： 解：（ 1） df=ce ， ad=dc ，且 adf=

18、dce ， dec afd ；结论 、 成立（ 1 分）（ 2）结论 、 仍旧成立理由为：四边形abcd为正方形， ad=dc=cb且 adc= dcb=90 °，在 rt adf 和 rt ecd 中， rt adf rt ecd （ sas），（3 分） af=de ， daf= cde ， ade+ cde=90 °， ade+ daf=90 °， agd=90 °， af de ；（ 5 分）（ 3）结论：四边形mnpq 是正方形（ 6 分）证明： am=me ， aq=qd ，学习必备欢迎下载 mq de 且 mq=de ，同理可证： pn d

19、e， pn=de ； mn af ， mn=af ； pq af ， pq=af ； af=de ， mn=np=pq=qm，四边形mnpq 是菱形，（ 8 分）又 af de ， mqp= qmn= mnp= npq=90 °，四边形mnpq 是正方形（ 10 分）点评： 此题考查的是全等三角形的判定，正方形的判定以及正方形的性质，难度一般6在直角坐标系xoy 中，将面积为3 的直角三角形ago 沿直线 y=x 翻折，得到三角形cho ，连接 ac ，已知反比例函数的图象过 a 、c 两点，如图 （ 1） k 的值是6；（ 2）在直线y=x 图象上任取一点d，作 ab ad ， a

20、c cb ，线段 od 交 ac 于点 f，交 ab 于点 e， p为直线 od 上一动点，连接pb、pc、ce如图 ，已知点a 的横坐标为1，当四边形aecd 为正方形时，求三角形pbc 的面积；如图 ，如已知四边形pebc 为菱形，求证四边形pbcd 是平行四边形；如 d、p 两点均在直线y=x 上运动，当 adc=60 °，且三角形pbc 的周长最小时，请直接写出三角形pbc 与四边形abcd 的面积之比考点 ： 反比例函数综合题；专题 ： 代数几何综合题；分析： （ 1）已知 aog 的面积为3，即 a 点横、纵坐标的乘积为6，由此可得k 的值（ 2） 已知了 a 点横坐标，

21、 依据双曲线的解析式可确定a 点坐标， 依据旋转的性质即可得到点c 的坐标；如四边形aecd 是正方形，易证得四边形ebcd 是平行四边形，即ed、 bc 间的距离相等，因此 pcb 的面积是定值，且是正方形面积的一半，由此得解 易知 ago 、 cho 关于直线y=x 对称，那么od 垂直平分ac ，由于 ab ad ，就必有 ec cd ，再依据菱形的对角线相互垂直，即可得到所求的结论 由于 od 垂直平分 ac ，且 d 在直线 od 上，如 adc=60 °，那么 acd 是等边三角形， 在 rtead中， af de ，且 ade=30 °，易证得 df=3ef

22、，即 dac 是 aec 面积的 3 倍；由于 a 、c 关于直线 y=x 对称，因此当p、e 重合时， pbc 的周长最小，此时e 是斜边 ab 的中点，即ae=be ，由此可证得 bpc、 aec 的面积相等，即： acd 也是 pbc 面积的 3 倍，由此可求得四边形学习必备欢迎下载abcd和pbc 的面积比解答： （ 1）解：设a （ a， b），（ a 0， b 0）；就 ag=a ，og=b ，由 ago 的面积是3，即 ab=6； k=ab=6 （ 1 分）（ 2）解：（一）双曲线的解析式为：， a 为双曲线上的点，且横坐标为1， 可求得 a 点纵坐标为6；又四边形abcd为正方

23、形，点e 在直线 y=x 上， e（1， 1）， abcd为正方形边长为5，对角线ac 长为， ac ed ， ae cd ；又 ab ad ， ed bc ， eb cd，四边形ebcd 为平行四边形， ed bc ， ed=bc ， fc bc ，正方形abcd对角线 ac=， spbc=（4 分）（二）证明：四边形pebc 为菱形， ep bc； ago 与 cho 关于 y=x 对称， od 平分 ac ； 又 ab ad ， ec cd ； 又 ec pb， pb cd ；四边形pbcd 为平行四边形 （ 6 分）（三） od 垂直平分ac ， ad=cd ， ae=ec ，且 f

24、是 ac 的中点；在 rt abc 中， f 是 ac 中点，且ef ac 、bc ac ， ef 是 abc 的中位线，即e 是 ab 的中点， ae=be ；由于 a 、c 关于直线y=x 对称，所以当p、e 重合时， pbc 的周长最小；此时 ap=bp ，即 spbc=s aec ； adc 中，由于od 垂直平分ac ，如 adc=60 °，可得： abc 是等边三角形，且ade=30 °；在 rt ade 中， af de， ade=30 °，易得 df=3ef ； sadc =3saec=3spbc，学习必备欢迎下载故：（ 8 分）点评： 此题是反比

25、例函数的综合题，涉及到反比例函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形及正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及轴对称图形的性质等学问，综合性强，难度较大7如图， 在等腰 rt abc 与等腰 rt dbe 中， bde= acb=90 °，且 be 在 ab 边上， 取 ae 的中点 f，cd 的中点 g，连接 gf（ 1） fg 与 dc 的位置关系是fg cd， fg 与 dc 的数量关系是fg=cd；（ 2）如将 bde 绕 b 点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判定（1）中的结论是否仍旧成立？请证明你的结论考点 ： 全等三角形的判定与性质；等腰直角

26、三角形；专题 ： 探究型；分析： （ 1）证 fg 和 cd 的大小和位置关系， 我们已知了g 是 cd 的中点，猜想应当是fg cd ，fg=cd 可通过构建三角形连接fd， fc，证三角形dfc 是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过全等三角形来证明； 延长 de 交 ac 于 m ，连接 fm ，证明三角形def 和 fmc 全等即可 我们发觉bdmc 是个矩形，因此bd=cm=de 由于三角形deb 和 abc 都是等腰直角三角形，bed= a=45 °，因此 aem= a=45 °，这样我们得出三角形aem 是个等腰直角三角形，f 是斜边 ae 的中点，因 此 m

27、f=ef ， amf= bed=45 °，那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出def= fmc ，这样就构成了三角形def 和 emc 的全等的全部条件，可得到df=fc ，即三角形dfc 是等腰三角 形，下面证直角 依据两三角形全等，我们仍能得出mfc= dfe ，我们知道 mfc+ cfe=90 °，因此 dfe+ cfe= dfc=90 °，这样就得出三角形dfc 是等腰直角三角形了，也就能得出fg cd ， fg=cd 的结论了（ 2）和（ 1）的证法完全一样 解答： 解：（ 1）fg cd ， fg=cd （ 2）延长 ed 交 ac 的延长线于m

28、，连接 fc、fd 、fm ，四边形bcmd是矩形 cm=bd 又 abc 和 bde 都是等腰直角三角形， ed=bd=cm e= a=45 °， aem 是等腰直角三角形学习必备欢迎下载又 f 是 ae 的中点， mf ae ，ef=mf ， def= fmc=135 ° efd mfc fd=fc ， efd= mfc 又 efd+ dfm=90 °， mfc+ dfm=90 °即 cdf 是等腰直角三角形， 又 g 是 cd 的中点， fg=cd ， fg cd 点评： 此题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键8（ 2021.呼和浩

29、特）如图，正方形oabc 的面积为4，点 o 为坐标原点，点b 在函数 y=（ k 0，x 0）的图象上，点p（ m， n）是函数y=（k 0， x 0）的图象上异于b 的任意一点，过点p 分别作 x 轴、 y轴的垂线，垂足分别为e， f（ 1）设矩形oepf 的面积为s1，试判定s1 是否与点p 的位置有关； （不必说明理由）（ 2）从矩形oepf 的面积中减去其与正方形oabc 重合的面积，剩余面积记为s2，写出 s2 与 m 的函数关系，并标明m 的取值范畴考点 ： 反比例函数综合题；专题 ： 综合题；分析： （ 1）点 p 是函数 y=的图象上一点，因此矩形oepf 面积肯定是4，所以

30、 s1 与点 p 的位置无关；（ 2）观看图形，s2 为两矩形面积之差，依据坐标意义，可用m 代数式表示它们面积，即解解答： 解：（ 1）s1 与点 p 的位置无关；（ 2）正方形oabc 的面积为 4， oc=oa=2 b （ 2， 2）学习必备欢迎下载把 b（ 2， 2）代入 y=中， 2=； k= 4解析式为y= p（ m， n）在 y= 的图象上， 当 p 在 b 点上方时，s2=（ m） 2（ m）=4+2m （ 2m 0）； 当 p 在 b 点下方时，s2=s 矩形 peofs 矩形 maof =m×（） 2×（，=4+（ m 2）点评： 此题考查了反比例函数与

31、正方形性质的综合应用，综合性较强，同学们要重点把握9（ 1）如图 1，点 e， f， m ， n 分别是菱形abcd四条边上的点，如ae=bf=cm=dn，求证：四边形efmn 是平行四边形；（ 2）如图 2，当 e， f， m ，n 分别是菱形abcd四条边的中点时，试判定四边形efmn 的外形，并说明理由考点 ： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质；专题 ： 证明题；分析： （ 1）运用菱形的性质，证明三角形全等，利用三角形全等的性质证明en=mf ， ef=mn ，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证学习必备欢迎下载（ 2）第一连接 ac 、bd 要

32、证四边形 efmn 是矩形，只要证得 ne nm 即可先由菱形的对角线相互垂直，得 ac bd ，再结合题意证得四边形 efmn 是平行四边形，利用平行四边形的性质， 易证 ne nm ，从而证得四边形 efmn 是矩形解答： （ 1）证明：四边形abcd 是菱形， ab=bc=cd=da ae=bf=cm=dn ，又 a= c， b= d， aen cmf ， bfe dnm en=mf ， ef=mn 四边形 efmn 是平行四边形（ 2）四边形efmn 是矩形证明：连接ac 、bd ， ac bd ， e，f， m ， n 分别是菱形 abcd 四条边的中点 ne bd ， mf bd

33、ne mf 同理，得： nm ac ， ef ac nm ef四边形 efmn 是平行四边形 ne bd ，ac bd ， ne ac nm ac ， ne nm 平行四边形 efmn 是矩形点评： 平行四边形的判定方法共有五种，应用时要仔细领悟它们之间的联系与区分，同时要依据条件合理、敏捷地挑选方法10已知：如图，在四边形abfc 中， acb=90 °， bc 的垂直平分线ef 交 bc 于点 d，交 ab 于点 e，且 cf=ae （ 1）求证：四边形becf 是菱形；（ 2）当 a 的大小为多少度时，四边形becf 是正方形？学习必备欢迎下载考点 ： 正方形的判定；线段垂直平

34、分线的性质；菱形的判定；分析： （ 1）依据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有be=ec ，bf=fc ，依据四边相等的四边形是菱形即可判定；（ 2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当abc=45 °时， ebf=90 °，就菱形为正方形，依据直角三角形中两个角锐角互余得，a=45 度解答： 解：（ 1） ef 垂直平分bc， cf=bf ， be=ce ， bde=90 °， bd=cd ，又 acb=90 °， ef ac ， d 为 bc 中点， e 为 ab 中点，即 be=ae ， cf=ae ， cf=be ， cf

35、=fb=be=ce ，四边形becf 是菱形（ 2）当 a=45 °时，四边形becf 是正方形证明： a=45 °， acb=90 °， cba=45 °， ebf=2 cba=90 °，菱形 becf 是正方形点评： 此题主要考查了菱形的判定方法以及正方形的判定和中垂线的性质、直角三角形的性质等学问，依据已知得出cba=45 °是解题关键11（ 2002.烟台）如图，点a 、b 在反比例函数的图象上，且点a 、b 的横坐标分别为a、2a（a 0）， ac x 轴，垂足为点c，且 aoc 的面积为2（ 1）求该反比例函数的解析式；（

36、 2）如点（ a， y1），（ 2a， y2）在该反比例函数的图象上，试比较y 1 与 y2 的大小；（ 3）求 aob 的面积学习必备欢迎下载考点 ： 反比例函数综合题；专题 ： 运算题；数形结合；aoc分析： （ 1）由 s=xy=2 ，设反比例函数的解析式y=，就 k=xy=4 ；（ 2）由于反比例函数的性质是：在x 0 时， y 随 x 的增大而减小，a 2a，就 y1 y 2；（ 3）连接 ab ，过点 b 作 be x 轴，交 x 轴于 e 点，通过分割面积法saob =saoc+s 梯形 aceb sboe 求得解答： 解：（ 1） saoc=2 ， k=2s aoc=4； y=

37、；（ 2） k 0，函数 y 在各自象限内随x 的增大而减小； a 0， 2a a； y 1 y2；（ 3）连接 ab ，过点 b 作 be x 轴，saoc=sboe=2， a （ a，）， b（ 2a，）；s 梯形 =，学习必备欢迎下载 saob =saoc+s 梯形 aceb sboe=3点评： 此题重点检查函数性质的应用和图形的分割转化思想同学们要娴熟把握这类题型12（ 2021.黄石）如图， abc 中，点 o 是边 ac 上一个动点，过o 作直线 mn bc ，设 mn 交 bca的平分线于点e，交 bca 的外角平分线于点f（ 1）探究：线段oe 与 of 的数量关系并加以证明；

38、（ 2）当点 o 在边 ac 上运动时，四边形bcfe 会是菱形吗？如是，请证明；如不是，就说明理由；（ 3）当点 o 运动到何处，且 abc 满意什么条件时，四边形aecf 是正方形？考点 ： 正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定；专题 ： 几何综合题；分析： （ 1）利用平行线的性质由角相等得出边相等；（ 2）假设四边形bcfe ，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相冲突；（ 3）利用平行四边形及等腰直角三角形的性质证明四边形aecf 是正方形解答： 解：（ 1）oe=of 证明如下： ce 是 acb 的平分线， 1=2 mn

39、bc ， 1=3 2=3 oe=oc 同理可证oc=of oe=of （ 3 分）（ 2）四边形bcfe 不行能是菱形，如bcfe 为菱形，就bf ec，而由（ 1）可知 fc ec，在平面内过同一点f 不行能有两条直线同垂直于一条直线（ 3 分）（ 3）当点 o 运动到 ac 中点时，且 abc 是等腰直角三角形（acb=90 °）时，四边形aecf 是正方形理由如下： o 为 ac 中点， oa=oc ， 由（ 1）知 oe=of ，四边形aecf 为平行四边形； ef bc， acb=90 °， .aecf 为矩形，又 ac ef .aecf 是正方形当点 o 为 a

40、c 中点且 abc 是以 acb 为直角的等腰直角三角形时，四边形 aecf 是正方形（ 3学习必备欢迎下载分）点评： 此题考查的是平行线、角平分线、等腰三角形的性质及正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要留意角的运用，一般通过角判定一些三角形，多边形的外形，需同学们娴熟把握13（2021 .密云县）附加题：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点a（ 3，2）（ 1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（ 2）依据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（ 3） m （ m， n）是反比例函数图象上的一

41、动点，其中0 m 3，过点 m 作直线 mn x 轴，交 y 轴于点b；过点 a 作直线 ac y 轴交 x 轴于点 c，交直线 mb 于点 d 当四边形oadm的面积为6 时，请判定线段 bm 与 dm 的大小关系，并说明理由考点 ： 反比例函数综合题；专题 ： 探究型；分析： （ 1）将 a （ 3， 2）分别代入y=， y=ax 中，得 ak 的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；（ 2）观看图象，得在第一象限内，当0 x 3 时，反比例函数的图象在正比例函数的上方；故反比例函数的值大于正比例函数的值；（ 3）有 somb =soac=×|k|=3，可得 s 矩形 ob

42、dc 为 12；即 oc .ob=12 ；进而可得mn 的值，故可得 bm 与 dm 的大小；比较可得其大小关系解答： 解：（ 1）将 a （ 3， 2）分别代入y=， y=ax 中，得： 2=， 3a=2 k=6 ， a=（ 2 分）反比例函数的表达式为：y=（3 分）正比例函数的表达式为y=x （ 4 分）学习必备欢迎下载（ 2）观看图象，得在第一象限内，当0 x 3 时，反比例函数的值大于正比例函数的值（ 6 分）（ 3） bm=dm （7 分）理由： mn x 轴， ac y 轴，四边形ocdb 是平行四边形， x 轴 y 轴， .ocdb 是矩形 somb =soac=×|

43、k|=3，又 s 四边形 oadm =6， s 矩形 obdc=s 四边形 oadm +s omb +s oac=3+3+6=12 ， 即 oc.ob=12 oc=3 ob=4 （8 分）即 n=4 m= mb=， md=3 = mb=md （ 9 分）点评： 此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个学问点此题难度稍大，综合性比较强，留意对各个学问点的敏捷应用14请阅读以下材料：问题：如图，在正方形abcd和平行四边形befg 中，点 a ， b， e 在同一条直线上，p 是线段 df 的中点，连接 pg，pc探究：当 pg 与 pc 的夹角为多少度时，平行四边形befg 是正方形？小聪同学

44、的思路是：第一可以说明四边形befg 是矩形；然后延长gp 交 dc 于点 h ，构造全等三角形，经过推理可以探究出问题的答案请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题（ 1）求证：四边形befg 是矩形；（ 2） pg 与 pc 的夹角为90度时，四边形befg 是正方形理由：学习必备欢迎下载考点 ： 矩形的判定；正方形的判定与性质；专题 ： 证明题；分析： （ 1）由正方形abcd ，易得 ebg=90 °，依据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形 befg 是矩形；（ 2）第一作帮助线：延长gp 交 dc 于点 h ，依据正方形与平行四边形的性质，利用aas 易得

45、dhp fgp，就有 hp=gp，当 cpg=90°时，利用sas 易证 cph cpg，依据全等三角 形与正方形的性质，即可得bg=gf ，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得.befg 是菱形，而 ebg=90 °，即得四边形befg 是正方形解答： 解：（ 1）正方形abcd 中， abc=90 °，（ 1 分） ebg=90 °，（ 2 分） .befg 是矩形（ 3 分）（ 2） 90°；（4 分）理由：延长gp 交 dc 于点 h，正方形abcd和平行四边形befg 中， ab dc ，be gf， dc gf， hdp= g

46、fp， dhp= fgp，（ 5 分） p 是线段 df 的中点， dp=fp ， dhp fgp， hp=gp ，（ 6 分）当 cpg=90°时， cph=cpg ， cp=cp， cph cpg， ch=cg ，（7 分）正方形abcd中， dc=bc ， dh=bg ，（ 8 分） dhp fgp， dh=gf ， bg=gf ， .befg 是菱形，（ 9 分）由（ 1）知四边形befg 是矩形，四边形befg 是正方形 （ 10 分）点评： 此题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等学问此题综合性比较强，解题时要留意数形结合思想

47、的应用学习必备欢迎下载交于点 a 、c，其中点a 在2m+115如图，直线y=kx+2k （ k 0）与 x 轴交于点 b ，与双曲线y=（ m+5 ） x第一象限，点c 在第三象限（ 1）求双曲线的解析式；（ 2）求 b 点的坐标；（ 3）如 s aob=2 ，求 a 点的坐标；（ 4）在（ 3）的条件下，在x 轴上是否存在点p，使 aop 是等腰三角形？如存在，请直接写出p 点的坐标；如不存在，请说明理由考点 ： 反比例函数综合题；专题 ： 开放型；分类争论；分析： （ 1）依据双曲线函数的定义可以确定m 的值；（ 2）利用 y=kx+2k 当 y=0 时， x=2 就知道 b 的坐标；（

48、 3）依据（ 1）知道 ob=2 ，而 saob =2，利用它们可以求出a 的坐标；（ 4）存在点p，使 aop 是等腰三角形只是确定p 坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类争论，不要漏解解答： 解：（ 1） y= （ m+5 ） x2m+1 是双曲线 m= 1（ 2 分）（3 分）（ 2）直线y=kx+2k （ k 0）与 x 轴交于点b当 y=0 时， 0=kx+2k x= 2（ 5 分） b （ 2， 0）（ 6 分）（ 3） b（ 2， 0） ob=2 （7 分）过 a 作 ad x 轴于点 d点 a 在双曲线y=上，设 a （ a， b） ab=4，ad=b （ 8 分）学习

49、必备欢迎下载又 aob=ob.ad=×2b=2 b=2 （ 9 分） a=2， a （ 2， 2）（10 分）（ 4） p1（ 2， 0），p2（ 4，0）， p3（ 2， 0）， p4 （2， 0）（写对一个得一分） （ 14 分）点评： 此题考查了反比例函数的定义确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质确定点的坐标，最终考查了依据图形变换求点的坐标16（ 2007.巴中）在学习勾股定理时，我们学会运用图（i）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：（ a+b）2，也可表示为：2c+4.（ab），即（ a+b） 22222 ，这种依据图形可以极简洁地直观推论或验证数学=c +4.（ab）由此推出勾股定理a +b =c规律和公式的方法，简称“无字证明 ”（ 1）请你用图（ ii ）（ 20xx年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；=x（