高中数学平面向量专题复习(含例题练习)

1、1 平面向量专题复习一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：2零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与ABu uu r共线的单位向量是|ABABu uu ru uu r)；4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相

2、等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （因为有0r) ；三点ABC、 、共线ABACuuu ruuu r、共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如例 1： （ 1）若abrr，则abrr。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若ABDCu uu ruuur，则ABCD是平行四边形。 （4）若ABCD是平行四边形，则ABDCuuu ruuu r。 （ 5）若,ab bcrr rr，则acrr。 （6）若/ ,/ab bcrr rr，则/a

3、crr。其中正确的是_ 二、向量的表示1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx yrrr，称, x y为向量a的坐标，a, x y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e12e2。如例 2（1）若(1,1),a

4、brr(1, 1),( 1,2)cr，则cr_ （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1, 2)eeu ru u rB. 12( 1,2),(5,7)eeu ru u rC. 12(3,5),(6,10)eeu ru u rD. 1213(2, 3),(,)24eeu ru u r（3）已知,AD BEuuu r uuu r分别是ABC的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEbuuu rr uuu rr,则BCuuu r可用向量,a br r表示为_ （4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是 _ 四实数与向量的积：实

5、数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1, 2aarr当0 时，a的方向与a的方向相同， 当0时，a的方向与a的方向相反，当0 时，0arr，注意：a0。2 五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAa OBbuu u rr u uu rr，AOB0称为向量a，b的夹角，当0 时，a，b同向，当时，a，b反向，当2时，a，b垂直。2平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量| cosabrr叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a ? b，即a ? bcosa br r。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一

6、个实数，不再是一个向量。3b在a上的投影为| cosbr，它是一个实数，但不一定大于0。4a ? b的几何意义：数量积a ? b等于a的模|ar与b在a上的投影的积。5向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：0abab?rrrr；当a，b同向时，a ? ba br r，特别地，222,aaaaaa?rrrrrr；当a与b反向时，a ? ba br r；当为锐角时，a ? b0，且a brr、不同向，0a brr是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a ? b0，且a brr、不反向，0a br r是为钝角的必要非充分条件；非零向量a，b夹角的计算公式：cosa ba b?rrr

7、r；| |abab?rrrr。例 3 如（ 1） ABC 中，3| AB，4| AC，5| BC，则BCAB_ （2）已知11(1, ),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrr，cr与du r的夹角为4，则k等于 _ （3）已知2,5,3aba brrr rg，则abrr等于 _ （4）已知,a br r是两个非零向量，且ababrrrr，则与aabrrr的夹角为 _ 例 4 已知3| a，5| b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为 _ 例 5（1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是 _ （2）已知OFQ的面积为S，且1FQOF，若23

8、21S，则FQOF ,夹角的取值范围是。六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABa BCbuu u rr uuu rr，那么向量ACuu u r叫做ar与br的和，即abABBCACrru uu ru uu ruuu r；向量的减法：用“三角形法则”：设,ABa ACbabABACCAuuu rr uuu rrrruuu ruu u ruu u r那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。2坐标运算：设1122(,),(,)axybxyrr，则

9、：向量的加减法运算：12(abxxrr，12)yy。实数与向量的积：1111,ax yxyr。3 若1122(,),(,)A x yB xy，则2121,ABxx yyuuu r，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：1212a bx xy y?rr。如已知向量a（ sinx ，cosx ）, b（ sinx ，sinx ）, c（ 1，0） 。 （1）若 x3，求向量a、c的夹角；（2）若 x4,83，函数baxf)(的最大值为21，求的值向量的模：222222|,|axyaaxyrrr。两点间的距离：若1122,A x yB xy，则222121

10、|ABxxyy。例 6：ABBCCDuuu ruuu ruuu r_；ABADDCuuu ruuu ruuu r_；()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu r_ 例 7（1）已知点(2,3),(5,4)AB，(7,10)C，若()APABACRuuu ruuu ruu u r，则当_时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（2）已知1(2,3),(1,4),(sin,cos )2ABABxyuuu r且，,(,)22x y，则xy例 8 设(2,3),( 1,5)AB，且13ACABuuu ruuu r，3ADABuuu ruuu r，则 C、D 的坐标分别是_ 例 9 已

11、知,a br r均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3 |abu u rr_ 七向量的运算律：1交换律：abbarrrr，aarr，a bba?rrrr；2结合律：,abcabc abcabcrrrrrr rrrrrr，aba bab?rrrrrr；3分配律：,aaaababrrrrrrr，abca cbc?rrrrrrr。例 10 下列命题中：cabacba)(；cbacba)()(；2()ab2|a22| |abb； 若0ba， 则0a或0b； 若,a bc br rr r则acrr； 22aarr； 2a bbaar rrrr；222()a babr rrr；222()2abaa b

12、brrrr rr。其中正确的是_ 提醒： （1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约 )； （ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即cbacba)()(?，为什么？八向量平行( 共线 ) 的充要条件：/ababrrrr22()(|)a babr rrr1212x yy x0。例 11(1)若向量( ,1),(4, )axbxrr，当x_时ar与br共线且方向相同（2）已知(1,1),(4, )abxrr，2uabrrr，2vab

13、rrr，且/uvrr，则x_ （3）设( ,12),(4,5),(10, )PAkPBPCkuu u ruuu ruuu r，则k_时， A,B,C 共线4 九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：0| |aba bababrrrrrrrr12120 x xy y. 特 别 地()()ABACABACABACABACuuu ruuu ruuu ru uu ruuu ruuu ruuu ru uu r。例 11(1)已知( 1,2),(3,)OAOBmuuu ruuu r，若OAOBuuu ruuu r，则 m（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B，则点

14、B 的坐标是 _ （3）已知( , ),na br向量nmru r，且nmru r，则mur的坐标是 _ 十向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）| | |abababrrrrrr，特别地，当a brr、同向或有0r| |ababrrrr| |ababrrrr； 当a brr、反 向 或 有0r| |ababrrrr| |ababrrrr； 当a brr、不 共 线| | |abababrrrrrr( 这些和实数比较类似). （3 ）在ABC中， 若112233,A x yB xyC x y， 则 其重 心的 坐 标为123123,33xxxy

15、yyG。1()3PGPAPBPCuu u ruu u ru uu ru uu rG为ABC的重心，特别地0PAPBPCPuu u ruu u ruuu rr为ABC的重心；PA PBPB PCPC PAPuu u r u uu ru uu r uuu ruuu r uu u r为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABACuuu ruu u ruu u ruuu r所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平分线所在直线) ；（ 4 ） 向 量PA PB PCuu u ruuu ruuu r、中 三 终 点ABC、 、共 线存 在 实 数、使 得PAPBPCu u u ru u u ruu u

16、 r且1. 例 12 若 ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （ -3， 4） 、 （-1，-1） ，则 ABC 的重心的坐标为_ 例 13 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1 ,3(A,)3, 1(B,若点C满足OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹是 _ 5 ADBCP高考真题选讲一、选择题1 设xR , 向量( ,1),(1, 2),axbrr且abrr , 则|abrr（）A5B10C2 5D103 在ABC中 ,90A,1AB,设点,P Q满足,(1),APAB AQACRuuu ruuu r uuu ruuu r.若2BQ CPuuu r u uu r

17、,则（）A 13B23C43D24 设ar、br都是非零向量 , 下列四个条件中, 使|ababrrrr成立的充分条件是（）A| |abrr且/abrrBabrrC/abrrD2abrr5 已知向量a = (1,1),b = (2,x).若 a b = 1,则 x =（）A 1 B12C12D16 对任意两个非零的平面向量和, 定义, 若平面向量a、b满足0ab,a与b的夹角0,4, 且oab和ob a都在集合2nnZ中, 则oab（）A12B1 C32D527 若向量1,2ABuuu r,3,4BCuuu r, 则ACuuu r（）A4,6B4, 6C2, 2D2,29 ABC中,AB边的高

18、为CD, 若CBau uu rr,CAbuu u rr,0a br r,| 1ar,| 2br, 则ADuuu r（）A1133abrrB2233abrrC3355abrrD4455abrr二、填空题10在 ABC中,M 是 BC的中点 ,AM=3,BC=10, 则AB ACuuu r uuu r=_.12已知向量a,b夹角为045, 且|a|=1,|2ab|=10, 则|b|=_.14如图 , 在平行四边形ABCD 中 ,AP BD,垂足为 P,3AP且AP ACuuu v uuu vg= . 6 15已知向量(1,0),(1,1)abrr, 则( ) 与2abrr同向的单位向量的坐标表示为_; ( ) 向量3barr与向量ar夹角的余弦值为_.16已知正方形ABCD 的边长为 1, 点 E是 AB边上的动点 , 则DE CBuu u r uuu r的值为 _. 17设向量(1,2),(1,1),(2,)am bmcmrrr, 若()acrrbr, 则ar_.巩固练习例 1 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简：ABBCCDuuu ruu u ru uu r，DBACBDu